Wavelet-transformatie-algoritme. Discrete wavelet-transformatie

Onderwerp Wavelet-transformaties.

Lezingen 6-8

Schaalfuncties. Orthogonale, continue en discrete wavelettransformatie.

Schattings- en benaderingsproblemen. Tweedimensionale en multidimensionale wavelet-transformaties en beeldverwerking (ruisverwijdering, rasterbeeldverwerking).

Meerschalige weergave van oppervlakken voor golfanalyse. Wavelet-compressie van signalen, afbeeldingen, videobeelden.

Wavelet-transformatie van signalen is een generalisatie van spectrale analyse, waarvan de klassieke Fourier-transformatie een typische vertegenwoordiger is. De term 'wavelet', vertaald uit het Engels, betekent 'kleine (korte) golf'. Wavelets zijn een algemene naam voor families van wiskundige functies van een bepaalde vorm, die lokaal zijn in tijd en frequentie, en waarin alle functies worden verkregen vanuit één basis (genererend) door middel van verschuivingen en rekkingen langs de tijdas. Wavelet-transformaties beschouwen de geanalyseerde tijdfuncties in termen van oscillaties gelokaliseerd in tijd en frequentie. Typisch worden wavelettransformaties (WT) verdeeld in discreet (DWT) en continu (CWT).

DWT wordt gebruikt voor signaalconversie en codering, CWT wordt gebruikt voor signaalanalyse. Wavelet-transformaties worden nu toegepast voor een grote verscheidenheid aan toepassingen, waarbij ze vaak de conventionele Fourier-transformatie vervangen. Dit wordt op veel gebieden waargenomen, waaronder moleculaire dynamica, kwantummechanica, astrofysica, geofysica, optica, computergraphics en beeldverwerking, DNA-analyse, eiwitonderzoek, klimaatonderzoek, algemene signaalverwerking en spraakherkenning.

Waveletanalyse is een speciaal type lineaire transformatie van signalen en fysieke gegevens. Basis eigenfuncties, dat wordt gebruikt voor de ontleding van signalen, heeft veel specifieke eigenschappen en mogelijkheden. Wavelet-basisfuncties maken het mogelijk om de aandacht te concentreren op bepaalde lokale kenmerken van de geanalyseerde processen die niet kunnen worden geïdentificeerd met behulp van traditionele Fourier- en Laplace-transformaties. Dergelijke processen in de geofysica omvatten gebieden van verschillende fysieke parameters van natuurlijke omgevingen. In de eerste plaats gaat het hier om velden van temperatuur, druk, seismische spoorprofielen en andere fysieke grootheden.

Wavelets hebben de vorm van kortegolfpakketten met een gemiddelde waarde van nul, gelokaliseerd langs de as van argumenten (onafhankelijke variabelen), onveranderlijk wat betreft verschuiving en lineair ten opzichte van de schaalbewerking (compressie/uitrekken). In termen van lokalisatie in tijd- en frequentierepresentatie nemen wavelets een tussenpositie in tussen harmonische functies gelokaliseerd in frequentie en de Dirac-functie gelokaliseerd in de tijd.

De Wavelet-theorie is geen fundamentele natuurkundige theorie, maar biedt een handig en effectief hulpmiddel voor het oplossen van veel praktische problemen. Het belangrijkste toepassingsgebied van wavelet-transformaties is de analyse en verwerking van signalen en functies die niet-stationair zijn in de tijd of niet-uniform in de ruimte, wanneer de resultaten van de analyse niet alleen de frequentierespons van het signaal moeten bevatten ( verdeling van signaalenergie over frequentiecomponenten), maar ook informatie over de lokale coördinaten waarop ze zich in bepaalde groepen frequentiecomponenten manifesteren of waarop snelle veranderingen frequentiecomponenten van het signaal. Vergeleken met de ontleding van signalen in Fourierreeksen zijn wavelets in staat lokale kenmerken van signalen met een veel grotere nauwkeurigheid weer te geven, tot aan discontinuïteiten van de eerste soort (sprongen). In tegenstelling tot Fourier-transformaties zorgt de wavelet-transformatie van eendimensionale signalen voor een tweedimensionale zwaai, terwijl frequentie en coördinaat als onafhankelijke variabelen worden beschouwd, wat het mogelijk maakt om signalen in twee ruimtes tegelijk te analyseren.

Een van de belangrijkste en vooral vruchtbare ideeën van de golfrepresentatie van signalen op verschillende ontbindingsniveaus (decompositie) is om de functies van benadering van het signaal in twee groepen te verdelen: benaderen - ruw, met een vrij langzame tijdsdynamiek van veranderingen, en detaillering - met lokale en snelle dynamiek van veranderingen in de vloeiende dynamiek van de achtergrond, gevolgd door hun fragmentatie en detaillering op andere niveaus van signaalontbinding. Dit is mogelijk zowel in de tijd- als in de frequentiedomeinen van golfrepresentatie van signalen.

De geschiedenis van de spectrale analyse gaat terug tot I. Bernoulli, Euler en Fourier, die voor het eerst de theorie van de uitbreiding van functies in trigonometrische reeksen ontwikkelden. Deze uitbreiding werd echter lange tijd gebruikt als wiskundige techniek en was niet geassocieerd met fysieke concepten. Spectrale concepten werden gebruikt en ontwikkeld door een relatief kleine kring van theoretische natuurkundigen. Vanaf de jaren twintig van de vorige eeuw kregen spectrale decomposities, in verband met de snelle ontwikkeling van radiotechniek en akoestiek, echter een fysieke betekenis en praktische toepassing. Het belangrijkste middel om echte fysieke processen te analyseren is harmonische analyse geworden, en de wiskundige basis van analyse is de Fourier-transformatie. De Fourier-transformatie ontleedt een willekeurig proces in elementaire harmonische oscillaties met verschillende frequenties, en alle noodzakelijke eigenschappen en formules worden uitgedrukt met behulp van één basisfunctie exp(jt) of twee reële functies sin(t) en cos(t). Harmonische oscillaties zijn wijdverspreid van aard en daarom is de betekenis van de Fourier-transformatie intuïtief duidelijk, ongeacht wiskundige analyses.

De Fouriertransformatie heeft een aantal opmerkelijke eigenschappen. Het domein van de definitie van de transformatie is de ruimte L 2 van vierkant-integreerbare functies, en veel fysieke processen in de natuur kunnen worden beschouwd als functies die tot deze ruimte behoren. Om de transformatie toe te passen, zijn efficiënte computerprocedures zoals snelle conversie Fourier-transformatie (FFT). Deze procedures zijn opgenomen in alle pakketten van toegepaste wiskundige programma's en zijn geïmplementeerd in hardware in signaalprocessors.

Er werd ook ontdekt dat functies niet alleen kunnen worden uitgebreid in termen van sinussen en cosinussen, maar ook in andere orthogonale basissystemen, bijvoorbeeld Legendre- en Chebyshev-polynomen, Laguerre- en Hermite-functies. Ze kregen echter pas in de laatste decennia van de twintigste eeuw praktische toepassing dankzij de ontwikkeling van computertechnologie en methoden voor de synthese van digitale lineaire gegevensverwerkingssystemen. Direct voor doeleinden van spectrale analyse hebben dergelijke orthogonale functies geen brede toepassing gevonden vanwege moeilijkheden bij het interpreteren van de verkregen resultaten. Om dezelfde redenen werden functies van het “rechthoekige golf”-type van Walsh, Rademacher, enz. niet ontwikkeld in de spectraalanalyse.

Theoretische studies van basissystemen leidden tot de creatie van de theorie van gegeneraliseerde spectraalanalyse, die het mogelijk maakte om de grenzen van de praktische toepassing van Fourier-spectraalanalyse te beoordelen en methoden en criteria creëerde voor de synthese van orthogonale basissystemen. Een illustratie hiervan is de theorie van basisfuncties van het wavelet-type, die zich sinds het begin van de jaren 80 van de vorige eeuw actief heeft ontwikkeld. Vanwege de transparantie van de fysieke interpretatie van de analyseresultaten, vergelijkbaar met de "frequentie" -benadering in de Fourier-transformatie, is de orthogonale waveletbasis een populair en effectief middel geworden voor het analyseren van signalen en beelden op het gebied van akoestiek, seismiek, geneeskunde en andere gebieden. van wetenschap en technologie.

Waveletanalyse is een soort spectrale analyse waarbij de rol van eenvoudige oscillaties wordt gespeeld door functies van een speciaal soort, genaamd wavelets. De basisfunctie van een golfje is een ‘korte’ oscillatie, maar niet alleen dat. Het concept van frequentie van spectrale analyse wordt hier vervangen door een schaal, en om de hele tijdas met “korte golven” te bestrijken, wordt een verschuiving van functies in de tijd geïntroduceerd. De waveletbasis is een functie van het type ((t-b)/a), waarbij b de verschuiving is en de schaal. De functie (t) moet een oppervlakte nul hebben en, nog beter, het eerste, tweede en andere momenten gelijk aan nul. De Fourier-transformatie van dergelijke functies is gelijk aan nul bij =0 en heeft de vorm van een banddoorlaatfilter. Voor verschillende waarden van de schaalparameter "a" zal dit een set banddoorlaatfilters zijn. Families van golfjes in het tijd- of frequentiedomein worden gebruikt om signalen weer te geven en functioneren als superposities van golfjes op verschillende schaalniveaus van signaalontbinding.

De eerste vermelding van dergelijke functies (die geen wavelets werden genoemd) verscheen aan het begin van de vorige eeuw in de werken van Haar. De Haar-golf is een korte rechthoekige oscillatie op het interval getoond in Fig. 1.1.1. Theoretisch gezien is het echter interessanter, omdat het geen continu differentieerbare functie is en lange “staarten” heeft in het frequentiedomein. In de jaren dertig ontdekte natuurkundige Paul Levy tijdens zijn studie van de Brownse beweging dat de Haar-basis beter geschikt was dan de Fourier-basis voor het bestuderen van de details van de Brownse beweging.

De term 'wavelet' zelf, als concept, werd geïntroduceerd in hun artikel van J. Morlet en A. Grossman, gepubliceerd in 1984. Ze bestudeerden seismische signalen met behulp van een basis, die ze een wavelet noemden. Belangrijke bijdragen aan de wavelettheorie werden geleverd door Guppilaud, Grossman en Morlet, die de fundamenten van CWT formuleerden, Ingrid Daubechies, die orthogonale wavelets ontwikkelde (1988), Nathalie Delpraz, die de tijdfrequentie-interpretatie van CWT creëerde (1991), en vele anderen. anderen. De wiskundige formalisering van wavelets in de werken van deze en andere auteurs leidde tot de creatie van de theoretische grondslagen van waveletanalyse, genaamd multi-resolutie (multiple-scale) analyse.

Momenteel zijn er speciale uitbreidingspakketten voor wavelets aanwezig in de belangrijkste systemen van de computerwiskunde (Matlab, Mathematica, Mathcad, enz.), en wavelet-transformaties en wavelet-analyse worden in veel wetenschaps- en technologiegebieden gebruikt voor een breed scala aan problemen. Veel onderzoekers noemen waveletanalyse een "wiskundige microscoop" voor het nauwkeurig bestuderen van de interne samenstelling en structuren van heterogene signalen en functies.

Wavelet-methoden voor signaalverwerking en -analyse mogen niet worden beschouwd als een nieuwe universele technologie voor het oplossen van eventuele problemen. De mogelijkheden van wavelets zijn nog niet volledig onthuld, maar dit betekent niet dat hun ontwikkeling zal leiden tot een volledige vervanging van traditionele middelen voor informatieverwerking en -analyse, die goed ontwikkeld en beproefd zijn. Wavelets maken het mogelijk om de instrumentele basis van informatietechnologieën voor gegevensverwerking uit te breiden.

De analyse van wavelettransformaties van signalen wordt bepaald door de wiskundige basis van signaalontleding, die vergelijkbaar is met Fourier-transformaties. Het belangrijkste onderscheidende kenmerk van wavelet-transformaties is een nieuwe basis voor signaalontbinding: wavelet-functies. De eigenschappen van wavelets zijn van fundamenteel belang, zowel voor de mogelijkheid om signalen te ontbinden in afzonderlijke waveletfuncties, als voor gerichte acties op de waveletspectra van signalen, inclusief de daaropvolgende reconstructie van signalen met behulp van verwerkte waveletspectra.

Wavelets kunnen orthogonaal, semi-orthogonaal of biorthogonaal zijn. Wavelet-functies kunnen symmetrisch, asymmetrisch en asymmetrisch zijn, met of zonder een compact definitiedomein, en hebben ook een verschillende mate van vloeiendheid. Sommige functies hebben een analytische uitdrukking, andere - snel algoritme berekeningen voor wavelettransformaties. Voor de praktijk zou het wenselijk zijn om orthogonaal symmetrische en asymmetrische golfjes te hebben, maar zulke ideale golfjes bestaan ​​niet. Biorthogonale golfjes worden het meest gebruikt.

De basisfuncties van wavelettransformaties kunnen een verscheidenheid aan functies zijn met een compacte draaggolf - pulsgemoduleerde sinusoïden, functies met niveausprongen, enz. Ze zorgen voor een goede weergave en analyse van signalen met lokale kenmerken, waaronder sprongen, pauzes en waardeverschillen met een grote steilheid.

Het zou wenselijk zijn om een ​​wavelet-transformatie van signalen te hebben die volledige informatie-equivalentie van het wavelet-spectrum van signalen met de tijdrepresentatie en de ondubbelzinnigheid van decompositie-reconstructie van signalen zou garanderen. Dit is echter alleen mogelijk bij gebruik van orthogonale en biorthogonale wavelets. Voor een kwalitatieve analyse van signalen en lokale kenmerken in signalen kan een uitgebreider scala aan wavelet-functies worden gebruikt, die, hoewel ze geen signaalreconstructie bieden, het mogelijk maken de informatie-inhoud van signalen en de dynamiek van veranderingen in deze informatie te evalueren. .

Wavelet-definitie. Wavelets omvatten gelokaliseerde functies die zijn opgebouwd uit één moederwavelet (t) (of een andere onafhankelijke variabele) door de bewerkingen van verschuiving langs het argument (b) en schaalverandering (a):

 ab (t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L 2 (R).

waarbij de factor (1/) de onafhankelijkheid van de norm van functies van het schaalnummer “a” garandeert.

De continue wavelet-transformatie van het signaal s(t)L 2 (R), dat wordt gebruikt voor kwalitatieve tijd-frequentieanalyse, komt in betekenis overeen met de Fourier-transformatie met de vervanging van de harmonische basis exp(-jt) door de waveletbasis ((t-b)/a ):

С(a, b) = s(t),  ab (t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a 0.

Het wavelet-schaal-tijdspectrum C(a,b) is, in tegenstelling tot het Fourier-spectrum, een functie van twee argumenten: de schaal van de wavelet “a” (in eenheden van inverse frequentie), en de tijdverplaatsing van de wavelet langs het signaal "b" (in tijdseenheden), in dit geval kunnen de parameters "a" en "b" alle waarden aannemen die binnen het bereik van hun definitie vallen.

Rijst. 24.1.1. Wavelets Mhat en Wave.

Voor kwantitatieve analysemethoden kunnen alle gelokaliseerde functies (t) worden gebruikt als waveletbases, als er voor hen tweelingfuncties  # (t) zijn, zodat de families ( ab (t)) en (  ab ( t) ) kunnen gepaarde basen vormen van de functieruimte L 2 (R). Op deze manier gedefinieerde golfjes maken het mogelijk om elke willekeurige functie in de ruimte L 2 (R) als een reeks weer te geven:

s(t) = С(a,b)  ab (t), (a, b)I,

waarbij coëfficiënten C(a,b) de projectie zijn van het signaal op de golfbasis van de ruimte:

С(a,b) = s(t),  ab (t) =s(t) ab (t) dt.

Als de wavelet (t) de eigenschap orthogonaliteit heeft, dan is   (t) ≡ (t) en is de waveletbasis orthogonaal. Een wavelet kan echter niet-orthogonaal zijn als hij een tweeling heeft, en het paar ((t),   (t)) het mogelijk maakt families te vormen ( mk (t)) en (  zp ( t)), die voldoet aan de voorwaarde van biorthogonaliteit op gehele getallen I:

 mk (t),   zp (t) =  mz · kp , m,k,z,p О I,

dan is het mogelijk om de signalen te ontbinden in waveletreeksen met de inverse reconstructieformule.

Wavelet-eigenschappen ,

Lokalisatie. De golf moet continu zijn, integreerbaar, een compacte drager hebben en zowel in tijd (in ruimte) als in frequentie gelokaliseerd zijn. Als een golfje in de ruimte smaller wordt, neemt de ‘gemiddelde’ frequentie toe, het spectrum van de golf beweegt naar een gebied met een grotere hoge frequenties en breidt zich uit.

Dit proces zou lineair moeten zijn - door de golf met de helft te verkleinen zou de “gemiddelde” frequentie en spectrale breedte ervan moeten verdubbelen. Nul gemiddeld

, d.w.z. vervulling van de voorwaarde voor nulmoment:

wat zorgt voor een nulversterking van de constante component van de signalen, een nulwaarde van het waveletfrequentiespectrum bij =0, en lokalisatie van het waveletspectrum in de vorm van een banddoorlaatfilter gecentreerd op een bepaalde (dominante) frequentie  0. Beperking.

Noodzakelijke en voldoende voorwaarde:< 

||(t)|| 2 =|(t)| 2 dt Zelfgelijkenis van de basis

of zelfgelijkenis. De vorm van alle basisgolfjes  ab (t) moet vergelijkbaar zijn met de moedergolf (t), d.w.z. moet hetzelfde blijven tijdens verschuivingen en schaling (uitrekken/compressie), hetzelfde aantal oscillaties hebben. . Transformatie weergave Het resultaat van de wavelettransformatie van een eendimensionale getalreeks (signaal) is waarden van coëfficiënten C(a,b). De verdeling van deze waarden in de ruimte (a, b) - tijdschaal, tijdlokalisatie, geeft informatie over de verandering in de tijd van de relatieve bijdrage van waveletcomponenten van verschillende schalen in het signaal en wordt het spectrum van wavelettransformatiecoëfficiënten genoemd , schaal-tijd (tijd-frequentie) spectrum of eenvoudigweg waveletspectrum.

Het spectrum C(a,b) van een eendimensionaal signaal vertegenwoordigt een oppervlak in een driedimensionale ruimte. Spectrumvisualisatiemethoden kunnen heel verschillend zijn. De meest gebruikelijke methode is projectie op een vlak ab met isolijnen (isolevels), waarmee u veranderingen in coëfficiënten kunt volgen verschillende schalen in de tijd, en om het beeld te onthullen van lokale extrema van deze oppervlakken ("heuvels" en "valleien"), het zogenaamde "skelet" van de structuur van het geanalyseerde proces. Voor een breed scala aan schalen kunnen logaritmische coördinaten (log A, B). Een voorbeeld van het waveletspectrum van het eenvoudigste signaal wanneer het wordt ontleed door de Mhat-wavelet, wordt getoond in Fig. 24.1.2.

Rijst. 24.1.2. Signaal, wavelet Mhat - spectrum- en schaaldelen van het spectrum.

Langs verticale secties (afschuifsecties B) waveletspectrum weerspiegelt de componentsamenstelling van het signaal (van een gegeven reeks wavelets) bij elk huidige moment. In de zin van de transformatie als een scalair product van een signaal met een wavelet, is het duidelijk dat de waarden van de coëfficiënten op elk huidig ​​tijdstip langs schaalsecties groter zijn, hoe sterker de correlatie tussen de wavelet van een bepaalde schaal en het gedrag van het signaal in de buurt van dit punt. Dienovereenkomstig laten dwarsdoorsneden voor de parameter “a” veranderingen zien in het signaal van een component van een bepaalde schaal “a” in de loop van de tijd.

De waveletcomponenten van het signaal in de secties van zijn spectrum hebben niets gemeen met sinusoïden en worden in de regel weergegeven door signalen met een nogal complexe en niet altijd begrijpelijke vorm, wat hun visuele representatie en begrip kan bemoeilijken.

Wavelet-functies . De keuze voor het analyseren van wavelet wordt bepaald door welke informatie uit het signaal moet worden gehaald. Door rekening te houden met de karakteristieke kenmerken van verschillende golfjes in tijd en frequentieruimte, is het mogelijk om bepaalde eigenschappen en kenmerken in de geanalyseerde signalen te identificeren die onzichtbaar zijn in signaalgrafieken, vooral in de aanwezigheid van ruis. In dit geval hoeft het probleem van de signaalreconstructie mogelijk niet te worden gesteld, waardoor de familie van gebruikte reguliere waveletfuncties wordt uitgebreid, inclusief niet-orthogonale functies. Bovendien kan een golfje rechtstreeks worden ontworpen voor dat lokale kenmerk in het signaal dat moet worden geïsoleerd of gedetecteerd, als de vorm ervan a priori bekend is.

Bij het analyseren van signalen met golven van het even type (symmetrisch of bijna symmetrisch), komen harmonische signalen gewoonlijk overeen met heldere horizontale banden van golfpieken en dalen op de dominante golffrequenties, die samenvallen met de frequentie van de harmonischen van de signalen. Overtredingen van de signaalgladheid worden geregistreerd door verticale strepen, pieken in de signalen worden gemarkeerd door maxima, en dalen door minima van golfcoëfficiënten. Integendeel, golfjes van het vreemde type reageren scherper op sprongen en snelle veranderingen in signalen, en markeren ze met maxima of minima, afhankelijk van het teken van de verschillen. Hoe duidelijker de signaalkenmerken zijn, hoe meer ze opvallen in de spectrogrammen.

Om dergelijke golfjes te construeren, worden vaak afgeleiden van Gaussische functies gebruikt, die de beste lokalisatie hebben in zowel het tijd- als het frequentiedomein. In algemene vorm is de vergelijking van de basisgolf:

 n (x) = (-1) n +1 d n /dx n , n ≥ 1, (24.1.1)

GOLF golfje wordt berekend met behulp van de eerste afgeleide (n=1) en wordt getoond in Fig. 24.1.3 in het tijd- en frequentiedomein voor drie waarden van schaalfactoren "a". De golfvorm verwijst naar vreemde functies en dienovereenkomstig is het golfspectrum denkbeeldig. Waveletvergelijking volgens (24.1.1) met eenheidsnorm:

Rijst. 24.1.3. Golfje Golf.

MNAT-golfje (Mexicaanse hoed) wordt berekend met behulp van de tweede afgeleide (n=2) en wordt getoond in Fig. 24.1.5. De wavelet is symmetrisch, het spectrum van de wavelet wordt alleen weergegeven door het reële deel en is goed gelokaliseerd in frequentie, de nul- en eerste momenten van de wavelet zijn gelijk aan nul. Wordt gebruikt om complexe signalen te analyseren. Waveletvergelijking volgens (24.1.1):

Rijst. 24.1.5. Wavelet MHAT.

In afb. 24.1.6 toont een voorbeeld van het gebruik van een wavelet om een ​​complex signaal y(t) te analyseren. Het signaalmodel wordt gevormd door de som van signalen van verschillende structuren. Signalen y1-y2 vertegenwoordigen Gaussische functies van verschillende schaalniveaus, signaal y3 is een rechthoekige puls, signaal y4 wordt gespecificeerd als een trend met een constante differentiële waarde. Op de contourplot van waveletcoëfficiënten kunt u de identificatie van alle drie de belangrijkste signaalstructuren zien, met volledige uitsluiting van de trend. Vooral de grenzen van de sprongen van de rechthoekige structuur zijn duidelijk zichtbaar. Rechts in de figuur ziet u een volledig driedimensionaal beeld van de wavelettransformatie.

Wavelet wordt veel gebruikt in tweedimensionale vorm voor de analyse van isotrope velden. Op basis hiervan is het ook mogelijk om een ​​tweedimensionale niet-isotrope basis met goede hoekselectiviteit te construeren door de rotatie ervan toe te voegen aan de verschuivingen en schaling van de golf.

Rijst. 24.1.7.

Het praktische gevolg van het vergroten van de mate van lokalisatie van golfjes in het frequentiedomein is duidelijk zichtbaar in figuur 2. 24.1.8 met behulp van het voorbeeld van het transformeren van dezelfde functie als in Fig. 24.1.6. Vergelijking van de figuren laat een significante toename zien in de gevoeligheid van de golven voor hoogfrequente signaalcomponenten bij kleinschalige factoren.

Eigenschappen van de wavelettransformatie

De resultaten van de wavelet-transformatie bevatten, als een scalair product van de wavelet en de signaalfunctie, gecombineerde informatie over het geanalyseerde signaal en de wavelet zelf. Het verkrijgen van objectieve informatie over het signaal is gebaseerd op de eigenschappen van de wavelettransformatie, die gebruikelijk is voor alle soorten wavelets. Laten we de belangrijkste van deze eigenschappen bekijken. Om de werking van de wavelettransformatie van willekeurige functies s(t) aan te duiden, zullen we de index TW gebruiken.

Lineariteit .

TW[·s 1 (t)+·s 2 (t)] = ·TW+·TW.

Verschuivingsinvariantie . Een tijdverschuiving van het signaal met t 0 leidt ook tot een verschuiving van het golfspectrum met t 0:

TW = C(a, b-t o).

(24.2.2) . Schaalinvariantie

Het uitrekken (compressie) van het signaal leidt tot compressie (uitrekken) van het waveletspectrum van het signaal:

TW = (1/a o)·C(a/a o,b/a o). .

(24.2.3)

Differentiatie

d n (TW)/dt n = TW.

(24.2.4) TW = (-1) n s(t) dt. (24.2.5)

Als de analyserende wavelet wordt gegeven door een formule, kan dit erg handig zijn voor signaalanalyse. Kenmerken van hoge orde of kleinschalige variaties van het signaal s(t) kunnen worden geanalyseerd door de golf of het signaal zelf het vereiste aantal keren te differentiëren.

Analoog aan de stelling van Parseval

voor orthogonale en biorthogonale golfjes.

s 1 (t) s 2 *(t) = C   a -2 С(a,b) С*(a,b) da db. (24.2.6)

Hieruit volgt dat de signaalenergie kan worden berekend via de wavelettransformatiecoëfficiënten.

De definities en eigenschappen van de eendimensionale continue wavelettransformatie worden gegeneraliseerd naar de multidimensionale en discrete gevallen.

24.3. Wavelet-transformatie van eenvoudige signalen.

De wavelet-transformatie, uitgevoerd bij het analyseren van signalen om eventuele kenmerken daarin en de locatie van hun lokalisatie te identificeren zonder omgekeerde reconstructie, maakt het gebruik van elk type wavelet mogelijk, zowel orthogonaal als niet-orthogonaal. Meestal worden voor deze doeleinden symmetrische golven gebruikt. Hieronder staan ​​de resultaten van het gebruik van de Mhat-wavelet om eenvoudige golfvormen te analyseren. Berekeningen worden uitgevoerd met wavelet (24.1.3) volgens de formule:

с(a,b) =s(t)(t,a,b), (24.3.1)

De secties van het spectrum laten zien dat de convolutie van enkele pulsen met golfjes van verschillende schalen de vorm van de golfjes herhaalt, zoals verwacht wordt tijdens de convolutieoperatie. Dienovereenkomstig bepalen de lijnen van maximale extrema op de secties ("ruggen" en "valleien", afhankelijk van de polariteit) de temporele positie van de pulsen, en vormen de laterale extrema van de tegenovergestelde polariteit karakteristieke lobben in de kegel van de invloedshoek , wat goed gedefinieerd is.

Rijst. 24.3.2. Transformatie van Laplace-functies.

Een vergelijkbare aard van het spectrum blijft behouden voor eventuele lokale inhomogeniteiten in signalen in de vorm van pieken (Fig. 24.3.2) met een verschuiving in de maxima (minimum) van de coëfficiënten c(a,b) van waarden a = 1 tot het gebied met grote waarden van "a" (afhankelijk van de effectieve piekbreedte).

Rijst. 24.3.3. Transformatie van Gaussische functies.

In afb. 24.3.3 toont het spectrum van Gaussische functies. Bij het gladstrijken van de toppen van piekinhomogeniteiten wordt ook de vorm van de kleurkegels gladgestreken, maar de “ridge” (“dal”) lijnen bepalen vrij nauwkeurig de positie van de centra van lokale inhomogeniteiten op de tijdas.

Rijst. 24.3.4. Transformatie van differentiële constante waarde van functies.

In afb. Figuur 24.3.4 toont de spectra van twee verschillende steilheidsverschillen in de constante waarden van de functie. De middelpunten van de druppels liggen vast wanneer de waarden van de coëfficiënten c(a,b) door nul gaan, en de steilheid van de druppels wordt voornamelijk weerspiegeld in de waarden van de functie c(a,b) voor kleine waarden van de parameter “a”.

Wanneer de functies breken, registreren de spectrogrammen op betrouwbare wijze de locatie van de breuken met de maximale (minimale) waarden van de coëfficiënten c(a,b), zoals weergegeven in figuur 1. 24.3.5. Wanneer ruis op dergelijke functies wordt toegepast, wordt een nauwkeurige bepaling van de locatie van knikken met behulp van schaalsecties bij kleine waarden van de parameter "a" onmogelijk, maar bij grote waarden van de parameter "a" blijft deze mogelijkheid uiteraard bestaan, met een afname van de lokalisatienauwkeurigheid.

Rijst. 24.3.5. Transformatie van functiepauzes.

De invloed van ruis op andere lokale signalen is vergelijkbaar (Fig. 24.3.1-24.3.4). Als de spectrale kenmerken van de signalen zich uitstrekken tot het waardenbereik van de parameter “a”, dan is het mogelijk om deze signalen en hun plaats op de tijdas te identificeren.

Rijst. 24.3.6. Transformatie van harmonische functies.

De scheiding van harmonische functies op de schaalas van de spectra, inclusief de superpositie van sterke ruisprocessen, wordt getoond in de voorbeelden in Fig. 24.3.6. Het gegeven voorbeeld is puur illustratief, aangezien het raadzaam is om spectrale analyse en frequentiebanddoorlaatfilters te gebruiken om harmonische processen met een constante frequentie in de tijd te isoleren. Echter, voor lokale signalen, zoals gemoduleerde harmonischen, laten waveletspectra vrij goed de locatie van hun lokalisatie op de tijdas zien.

Rijst. 24.3.7. Het veranderen van de fase van een harmonisch signaal.

In afb. 24.3.7 toont een voorbeeld van een ander karakteristiek kenmerk van een harmonisch signaal: een faseverandering van 180 o, die goed wordt geregistreerd op alle golfschalen, en daarom vrij gemakkelijk kan worden bepaald, zelfs in de aanwezigheid van sterke ruissignalen.

Wanneer sinusoïdale signalen op een trend worden gesuperponeerd, maakt de wavelettransformatie op grote schaal het mogelijk om met vertrouwen de trends te identificeren karakteristieke kenmerken trend. Een voorbeeld van het identificeren van trendbreuken wordt getoond in Fig. 24.3.8.

Rijst. 24.3.8. Het omzetten van de som van drie signalen.

De vorm van de wavelet (even of oneven), de dominante frequentie en de mate van lokalisatie ervan beïnvloeden aanzienlijk de waveletspectra van de geanalyseerde signalen en de mogelijkheid om de lokale kenmerken ervan te identificeren. De volgende figuren tonen vergelijkende spectra van eenvoudige signalen met behulp van wavelets Wave (oneven, Fig. 24.1.3), Mhat (even, Fig. 24.1.5) en een wavelet gebaseerd op de 8e afgeleide van Gauss (Fig. 24.3.9-24.3 .16), die ook even is, en een vier keer hogere dominante frequentie heeft dan de Mhat-golf.

Rijst. 24.3.9. Kronecker-impulsen.

Rijst. 24.3.10. Pieken van Laplace.

Rijst. 24.3.11. Gaussische functies.

Rijst. 24.3.12. Coole sprongen.

Rijst. 24.3.13. Gladde sprongen.

Rijst. 24.3.14. Functie knikt

Rijst. 24.3.15. Fasesprongen van harmonischen.

Rijst. 24.3.16. De som van twee gemoduleerde sinusoïden.

Bij het analyseren van willekeurige signalen maakt het gebruik van verschillende soorten wavelets het mogelijk om de betrouwbaarheid van het identificeren van lokale signaalkenmerken te vergroten.

Wavelet-transformatieprincipe. De harmonische basisfuncties van de Fourier-transformatie zijn extreem gelokaliseerd in het frequentiedomein (tot aan de Dirac-impulsfuncties op T) en zijn niet gelokaliseerd in de tijd (gedefinieerd in het gehele tijdsinterval van - tot). Het tegenovergestelde zijn impulsbasisfuncties zoals Kronecker-impulsen, die extreem gelokaliseerd zijn in het tijdsdomein en ‘wazig’ zijn over het hele frequentiebereik. Lokalisatiegolfjes in deze twee representaties kunnen worden beschouwd als functies die een tussenpositie innemen tussen harmonische en impulsfuncties. Ze moeten gelokaliseerd zijn in zowel het tijd- als het frequentiedomein van representatie. Bij het ontwerpen van dergelijke functies zullen we echter onvermijdelijk het onzekerheidsprincipe tegenkomen, dat de effectieve waarden van de duur van functies en de breedte van hun spectrum met elkaar in verband brengt. Hoe nauwkeuriger we de temporele positie van een functie lokaliseren, hoe breder het spectrum ervan zal worden, en vice versa, wat duidelijk te zien is in figuur 2. 1.1.5.

Een onderscheidend kenmerk van waveletanalyse is dat het functiesfamilies kan gebruiken die verschillende versies van de onzekerheidsrelatie implementeren. Dienovereenkomstig heeft de onderzoeker de mogelijkheid om flexibel tussen deze te kiezen en die wavelet-functies te gebruiken die de problemen het meest effectief oplossen.

Het is raadzaam om de waveletbasis van de ruimte L 2 (R), R(-,) te construeren uit eindige functies die tot dezelfde ruimte behoren en die in het oneindige naar nul zouden moeten neigen. Hoe sneller deze functies naar nul neigen, des te handiger is het om ze te gebruiken als transformatiebasis bij het analyseren van echte signalen. Laten we aannemen dat zo'n functie psi is - een functie t die buiten een bepaald eindig interval gelijk is aan nul en een gemiddelde nulwaarde heeft over het gespecificeerde interval. Dit laatste is nodig om de lokalisatie van het waveletspectrum in het frequentiedomein te specificeren. Op basis van deze functie construeren we een basis in de ruimte L 2 (R) met behulp van schaaltransformaties van de onafhankelijke variabele.

De functie van het veranderen van de frequentie-onafhankelijke variabele in de spectrale weergave van signalen wordt weergegeven in de tijdweergave door het signaal uit te rekken/comprimeren. Voor een waveletbasis kan dit gedaan worden met een functie als (t) =>(a m t), a = const, m = 0, 1, … , M, d.w.z. door middel van een lineaire rek-/krimpoperatie die gelijkheid van de functie op verschillende representatieschalen garandeert. De locatie van de functie(t) op de tijdas vereist echter een extra onafhankelijke variabele van opeenvolgende verschuivingen van de functie(t) langs de as, zoals(t) =>(t+k), om bestrijk de gehele numerieke as van ruimte R(-, ). Wanneer beide voorwaarden tegelijkertijd in aanmerking worden genomen, kan de structuur van de basisfunctie als volgt worden aangenomen:

(t) => (a m t+k).

(1.1.10)

Om verdere berekeningen te vereenvoudigen, nemen we de waarden van de variabelen m en k als geheel getal. Wanneer we de functie (1.1.10) terugbrengen tot de eenheidsnorm, verkrijgen we:

 mk (t) = a m/2 (a m t+k).

(1.1.11)

Als voor een familie van functies  mk (t) aan de orthogonaliteitsvoorwaarde is voldaan:

 nk (t), lm (t)= nk (t)·* lm (t) dt = nl · km , (1.1.12)

dan kan de familie  mk (t) gebruikt worden als orthonormale basis van de ruimte L 2 (R). Een willekeurige functie van deze ruimte kan worden uitgebreid tot een reeks ten opzichte van de basis mk (t):

s(t) =S mk  mk (t), (1.1.13)

waarbij de coëfficiënten S m k de projecties zijn van het signaal op een nieuwe orthogonale basis van functies, zoals bij de Fourier-transformatie, worden ze bepaald door het scalaire product

S mk = s(t),  mk (t) =s(t) mk (t) dt, (1.1.14)

in dit geval convergeert de reeks uniform:

||s(t) –S mk  mk (t),|| = 0.

Wanneer aan deze voorwaarden is voldaan, wordt de basistransformatiefunctie (t) een orthogonale wavelet genoemd. (1.1.15)

Het eenvoudigste voorbeeld van een orthogonaal systeem van functies van dit type zijn de Haar-functies. De Haar-basisfunctie wordt gedefinieerd door de relatie

(t) =

Het is gemakkelijk om te controleren dat voor a = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1,2, ... elke twee functies verkregen met behulp van deze basiswavelet door het schalen van transformaties en overdrachten een eenheidsnorm hebben en orthogonaal. In afb. 1.1.6 toont voorbeelden van functies voor de eerste drie waarden van m en b voor hun verschillende combinaties, waarbij de orthogonaliteit van de functies duidelijk zichtbaar is. , in tegenstelling tot de Fourier-transformatie, is tweedimensionaal en definieert een tweedimensionaal oppervlak in de ruimte van variabelen m en k. In een grafische weergave is de spectrumuitbreidings-/compressieparameter m uitgezet langs de abscis-as, en de lokalisatieparameter k langs de ordinaat-as - de as van de onafhankelijke signaalvariabele. Laten we de wiskunde van het proces van wavelet-ontbinding van een signaal in vereenvoudigde vorm bekijken met behulp van het voorbeeld van de ontleding van een signaal s(t) door een Haar-wavelet met drie opeenvolgende schaal m-waveletfuncties met parameter a=2, terwijl de signaal s(t) zelf wordt gevormd door het optellen van dezelfde waveletfuncties met dezelfde amplitude met verschillende verschuivingen vanaf nul, zoals weergegeven in figuur 2. 1.1.7.

Rijst. 1.1.7. Scalaire producten van een signaal met golfjes.

Voor de initiële waarde van de compressieschaalfactor m wordt de waveletfunctie bepaald (1(t) in figuur 1.1.7), en het scalaire product van het signaal met de wavelet1(t), s(t). +k)met het shift-argument wordt k berekend. Voor de duidelijkheid: de resultaten van het berekenen van scalaire producten in Fig. 1.1.7 zijn geconstrueerd op basis van de middelpunten van waveletfuncties (dat wil zeggen gebaseerd op het argument k vanaf nul met een verschuiving van de helft van de lengte van de waveletfunctie). Zoals je zou verwachten, worden de maximale waarden van het scalaire product genoteerd waar dezelfde waveletfunctie is gelokaliseerd.

Na het construeren van de eerste schaallijn van de uitbreiding verandert de schaal van de waveletfunctie (2 in figuur 1.1.7) en wordt de tweede schaallijn van het spectrum berekend, enz.

Zoals te zien is in afb. 1.1.7: hoe nauwkeuriger het lokale kenmerk van het signaal samenvalt met de overeenkomstige golffunctie, des te effectiever is de identificatie van dit kenmerk op de overeenkomstige schaallijn van het golfspectrum. Het is duidelijk dat voor een sterk gecomprimeerde Haar-golf een karakteristiek, goed geïdentificeerd lokaal kenmerk een signaalsprong is, en niet alleen de functiesprong wordt onderscheiden, maar ook de richting van de sprong.

In afb. 1.1.8 toont een voorbeeld van een grafische weergave van het golfoppervlak van een echt fysiek proces /4/. Het type oppervlak bepaalt de veranderingen in de tijd van spectrale componenten van verschillende schalen en wordt het tijdfrequentiespectrum genoemd. Het oppervlak wordt weergegeven in tekeningen, meestal in de vorm van isolijnen of conventionele kleuren. Om het scala aan schalen uit te breiden, kan een logaritmische schaal worden gebruikt.

Continue wavelet-transformatie

Eigenschappen van wavelettransformatie

Vereisten voor golfjes

Om de wavelet-transformatie te implementeren, moeten wavelet-functies aan de volgende criteria voldoen:

1. De golf moet eindige energie hebben:

2. Als de Fourier-transformatie voor, dat wil zeggen:

dan moet aan de volgende voorwaarde worden voldaan:

Deze voorwaarde wordt de ontvankelijkheidsvoorwaarde genoemd, en hieruit volgt dat een wavelet met een frequentiecomponent van nul aan de voorwaarde moet voldoen of, in een ander geval, dat de wavelet een gemiddelde gelijk aan nul moet hebben.

3. Voor complexe wavelets wordt een aanvullend criterium gepresenteerd, namelijk dat voor hen de Fourier-transformatie zowel reëel moet zijn als moet afnemen voor negatieve frequenties.

4. Lokalisatie: de wavelet moet continu zijn, integreerbaar, een compacte drager hebben en zowel in tijd (in ruimte) als in frequentie gelokaliseerd zijn. Als een golfje in de ruimte smaller wordt, neemt de gemiddelde frequentie toe, het spectrum van de golf beweegt naar het gebied met hogere frequenties en breidt zich uit. Dit proces zou lineair moeten zijn; het halveren van de golf zou deze moeten vergroten gemiddelde frequentie en de spectrumbreedte wordt ook verdubbeld.

1. Lineariteit

2. Shift-invariantie

Een tijdverschuiving van het signaal met t0 leidt ook tot een verschuiving van het golfspectrum met t0.

3. Schalingsinvariantie

Het uitrekken (compressie) van het signaal leidt tot compressie (uitrekken) van het waveletspectrum van het signaal.

4. Differentiatie

Hieruit volgt dat het geen verschil maakt of er onderscheid wordt gemaakt tussen de functie of de analyserende wavelet. Als de analyserende wavelet wordt gegeven door een formule, kan dit erg handig zijn voor signaalanalyse. Deze eigenschap is vooral handig als het signaal is gespecificeerd als een discrete reeks.

De wavelettransformatie voor een continu signaal met betrekking tot een waveletfunctie wordt als volgt gedefinieerd:

waar betekent complexe vervoeging want de parameter komt overeen met de tijdverschuiving en wordt de positieparameter genoemd, de parameter specificeert de schaling en wordt de stretchparameter genoemd.

Gewicht functie.

We kunnen een genormaliseerde functie als volgt definiëren

wat betekent tijdverschuiving met b en tijdschaling met a. Dan verandert de formule voor gewichtstransformatie in

Het oorspronkelijke signaal kan worden hersteld met behulp van de inverse transformatieformule

In het discrete geval worden de schaalparameters a en verschuiving b weergegeven door discrete waarden:

Dan heeft de analyserende wavelet de volgende vorm:

waarbij m en n gehele getallen zijn.

In dit geval zullen voor een continu signaal de discrete wavelettransformatie en de inverse transformatie ervan worden geschreven met de volgende formules:

De grootheden worden ook wel waveletcoëfficiënten genoemd.

er is sprake van een voortdurende normalisatie.

12.3 Discreet wavelettransformatie-algoritme

Om een ​​discreet wavelet-transformatie-algoritme te construeren, introduceren we er enkele lineaire transformaties. Laten we eerst en vooral de som van de getallen modulo aangeven S als volgt: , en neem ook aan dat er een vector is waarin S zelfs. Vervolgens stellen we de geïntroduceerde transformaties als volgt:

,

voor iedereen. Het is duidelijk dat deze uitdrukkingen analogen zijn van hoogfrequente en laagfrequente filters (12.1), (12.2), waarbij rekening wordt gehouden met de periodieke optelling van gegevens met behulp van modulo-sommatie. Het is duidelijk dat transformaties de verdeling van de oorspronkelijke vector met lengte uitvoeren S in twee vectoren van halve lengte.

Het wavelettransformatie-algoritme komt dus neer op de implementatie van een iteratieve procedure van - en - transformaties die op de vector worden toegepast. Het resultaat van dergelijke transformaties zijn de vectoren , benadering en detailcoëfficiënten.

Met andere woorden, recursief dit algoritme ziet er zo uit:

Merk op dat de geïntroduceerde notaties voor de expansiecoëfficiënten sterk lijken op de notaties voor de coëfficiënten, terwijl recursies (12.12), (12.13) vergelijkbaar zijn met het cascade-algoritme. Het punt is dat de constructie van het algoritme discrete transformatie is volledig gebaseerd op de theorie van discrete transformatie op basis van waveletfuncties (zie vorige paragraaf). Het belangrijkste verschil hier is het feit dat in statistische toepassingen de coëfficiënten komen slechts bij benadering overeen met de uitzettingscoëfficiënten.

Merk op dat recursies (12.12), (12.13) met succes kunnen worden toegepast op de berekening van benaderings- en detailleringscoëfficiënten, ook voor gevallen: het feit is dat de uitgebreide reeksen periodiek zijn, en

,

.

Het inverse floppy-conversiealgoritme reduceert zich tot de implementatie van expressie (12.11), eveneens onderworpen aan periodisering van de gegevens. Het algoritme begint met vectorherstel

,

en gaat door totdat de vector is hersteld totdat dat niet het geval is. De recursieve uitdrukking voor gegevensherstel ziet er in dit geval als volgt uit:

12.4 Statistisch discrete waveletanalyse

Gegevenspartitionering

De berekening van waveletschattingen is dus gebaseerd op de hierboven beschreven discrete wavelettransformatie. Zoals is aangetoond, impliceert een dergelijke analyse het werken met gegevens waarvan de lengte gelijk is aan , waar NAAR- sommige geheel. In de praktijk blijkt de lengte van de onderzochte gegevens echter vaak niet gelijk te zijn aan een macht van 2, en daarom is het nodig om dergelijke gegevens uit te rekken op een equidistant raster met het aantal knooppunten. Het bovenstaande geldt zowel voor problemen bij het schatten van de distributiedichtheid als voor problemen bij het afvlakken van regressiegegevens.

Procedures voor het verdelen van gegevens in intervallen om de dichtheid te schatten regressie analyse geïntroduceerd in respectievelijk paragrafen 10.2 en 10.8. IN deze plek Het effect dat een dergelijke verdeling heeft op de kwaliteit van gesynthetiseerde schattingen wordt besproken. De voorbeelden die worden gebruikt om het effect te bespreken, zijn ontleend aan hoofdstuk. 10, afb. 10.1 - 10.11.

Bijvoorbeeld gegevens over lengte, het effect van het opdelen in intervallen bestaande uit punten wordt onderzocht. De integrale wortel-gemiddelde-kwadraatfouten bij het construeren van schattingen worden gegeven in Tabel 12.1.

Tabel 12.1

Integrale gemiddelde kwadratische fouten

voor gesplitste intervallen van verschillende lengtes

Zoals uit de tabel blijkt, bereikt de integrale standaardafwijking zijn minimum bij . De grafiek van deze fout wordt getoond in Fig. 12.1.

Ondanks het feit dat het voor dergelijke schattingen mogelijk is om te definiëren optimale maat interval moet men zeer voorzichtig zijn bij de statistische interpretatie ervan. Feit is dat het verdelen van gegevens in intervallen een soort voorlopige afvlakking is, waarmee in theorie vaak geen rekening wordt gehouden. Het is duidelijk dat naarmate het aantal partitie-intervallen toeneemt, de meest computationele efficiëntie van een snel algoritme. De punten die de RMSD-waarden tonen in Fig. 12.1 vormen een compromis tussen de snelheid van de schattingsberekening en de kwaliteit van de voorlopige afvlakking.

Geschatte constructie van waveletschattingen

Algoritme voor het implementeren van de discrete wavelettransformatie voor constructiedoeleinden statistische schattingen(12.6) - (12.8) ziet er als volgt uit:

Integrale standaardafwijking geconstrueerd voor het S8-symmlet

Laten we op dit punt een paar opmerkingen maken over het bovenstaande algoritme. Ten eerste omvat de definitie van een discrete transformatie het gebruik van gegevens die periodiek worden aangevuld bij elke stap van het algoritme. Met andere woorden: de gegevens zijn het resultaat van dyadische sommatie, waarbij de oorspronkelijke gegevens periodiek worden aangevuld Z dus dat voor.

In de tweede plaats, zoals eerder benadrukt, hoogste niveau expansie is niet betrokken bij het gegeven algoritme: in de praktijk wordt ervan uitgegaan, en worden drempelprocedures toegepast op de expansiecoëfficiënten van alle niveaus, met uitzondering van het niveau K, die alleen benaderingscoëfficiënten bevat. Als echter wordt aangenomen dat uitzettingscoëfficiënten van niveaus hoger dan , zoals in het voorbeeld gebeurt met een lineaire waveletschatting, worden uitgesloten, wordt definitie (12.6) aangevuld met de voorwaarde:

.

Net als (12.3) kunnen acties 1 - 3 van het algoritme in matrixvorm worden weergegeven. Voor dit doel duiden we de vector van gegevens aan die worden bestudeerd door . Dan zal de directe transformatie de vorm aannemen:

waarin een operator van dimensie is. Dat is gemakkelijk aan te tonen deze exploitant is orthogonaal omdat het producten bevat van een eindig aantal orthogonale operatormatrices die overeenkomen met de verschillende stappen van het algoritme van Mull.

Laat de operator de vector-dorswerkprocedure aanduiden:

terwijl de inverse transformatie-operator , of is vanwege orthogonaliteit. Daarom is het resultaat van de opeenvolgende toepassing van acties 1 - 3, uitgedrukt door de vector , kan als volgt worden verkregen:

In het geval dat het probleem dat wordt opgelost de constructie is van een lineaire golfschatting en het niveau als niveau wordt genomen, wordt het geselen gereduceerd tot een identiteitstransformatie die uiteindelijk zorgt voor . Het punt is dat het behoud van de uitzettingscoëfficiënten op elk niveau in in dit geval maakt het mogelijk dat de uiteindelijke beoordeling louter de originele gegevens repliceert.

Vervolgens wordt het algoritme weergegeven door de stappen 1 - 3 algemene regel het maken van waveletschattingen. Merk op dat dit algoritme sneller is dan FFT, omdat het alleen bewerkingen vereist. Over het algemeen stelt het algoritme ons in staat gegevens te benaderen in plaats van te schatten. De uitzondering hierop is de ontleding van gegevens in een Haar-basis. Helaas, dit feit niet besproken in de literatuur.

Laten we even stilstaan deze kwestie iets meer details. Laten we voor dit doel eens nadenken lineaire schatting, zetten voor elke en k. Laten we er ook van uitgaan dat de brongegevens aan de eis voldoen:

.

(12.18)

Het is bekend dat recursie (12.9), (12.10) het mogelijk maakt schattingen van de coëfficiënten te berekenen, terwijl recursie-uitdrukkingen (12.12), (12.13) ongeveer dezelfde coëfficiënten zijn, ervan uitgaande dat de initiële gegevens voor de recursie absoluut de zelfde zijn. dezelfde. Als echter aan vereiste (12.18) wordt voldaan, verschillen de initiële gegevens voor (12.12), (12.13) in stap 3 van het algoritme met een bepaalde factor van de vergelijkbare omgekeerde recursiegegevens (12.9), (12.10). Bijgevolg brengt de lineariteit van het algoritme de noodzaak met zich mee om een ​​correctie in de directe transformatie te introduceren:

,

.

Bovendien is de belangrijkste uitdrukking voor directe conversie onderhevig aan correctie:

en de operator heeft de vorm:

Door uitdrukkingen (12.17) en (12.19) te combineren, kunnen we dat nu schrijven

Dat is bekend willekeurig signaal, waarvoor aan de voorwaarde is voldaan kan worden weergegeven door een orthogonaal systeem van functies:

, (18)

coëfficiënten worden bepaald op basis van de relatie

,

Waar - kwadratische norm of energie van de basisfunctie. Reeks (18) wordt een gegeneraliseerde Fourierreeks genoemd. In dit geval vertegenwoordigen producten van de vorm , opgenomen in reeks (18), de spectrale dichtheid van het signaal, en vertegenwoordigen de coëfficiënten het spectrum van het signaal. De essentie van spectrale analyse van een signaal is het bepalen van de coëfficiënten. Als je deze coëfficiënten kent, is het mogelijk om (bij benadering) signalen te synthetiseren voor een vast aantal series:

.

Gegeneraliseerde Fourierreeks op gegeven systeem basisfuncties en het aantal termen, biedt het de beste synthese volgens het criterium van minimale gemiddelde kwadratische fout, wat wordt opgevat als de waarde

.

De bekende transformaties (Hadamard, Karhunen-Loeve, Fourier) vertegenwoordigen “slecht” het niet-stationaire signaal in de uitzettingscoëfficiënten. Laten we dit aantonen met het volgende voorbeeld. Laat een niet-stationaire functie gegeven worden

en zijn Fourier-transformatie (Fig. 9).

Analyse van afb. 9 laat zien dat de niet-stationariteit van het tijdsignaal wordt weergegeven door een groot aantal hoogfrequente coëfficiënten die verschillend zijn van nul. Dit levert de volgende problemen op:

Het is moeilijk om een ​​tijdsignaal te analyseren op basis van het Fourier-beeld;

Door er rekening mee te houden is een aanvaardbare benadering van het tijdsignaal mogelijk groot aantal hoge frequentiecoëfficiënten;

Slechte visuele kwaliteit van echte beelden gereconstrueerd op basis van laagfrequente coëfficiënten; enz.

Bestaande problemen hebben de ontwikkeling van een wiskundig apparaat voor het omzetten van niet-stationaire signalen noodzakelijk gemaakt. Een van mogelijke manieren De analyse van dergelijke signalen is de wavelettransformatie (WT) geworden.

Rijst. 9. Fourier-transformatie van een sinusoïdaal signaal met kleine stappen bij het overschrijden van nul

De VP van een eendimensionaal signaal is de representatie ervan in de vorm van een gegeneraliseerde Fourierreeks of een Fourier-integraal over een systeem van basisfuncties gelokaliseerd in zowel het ruimtelijke als het frequentiedomein. Een voorbeeld van een dergelijke basisfunctie is de Haar-wavelet, die wordt gedefinieerd door de uitdrukking

(20)

Grafisch wordt de Haar-golf als volgt weergegeven:

Rijst. 10. Haargolfbasisfunctie

Laten we het proces van signaalontbinding in het systeem van Haar-basisfuncties bekijken. De eerste basisfunctie is, in tegenstelling tot alle volgende, een rechte lijn. In het geval van een genormaliseerde basis zal de convolutie van de eerste basisfunctie met het oorspronkelijke signaal de gemiddelde waarde ervan bepalen. Laat een discreet signaal met monsterlengte worden gegeven. De genormaliseerde basisfunctie op het interval wordt beschreven door de uitdrukking . Vervolgens leidt convolutie van deze functie met het signaal tot de uitdrukking

Als we een signaal synthetiseren met behulp van een coëfficiënt met behulp van de synthesefunctie, verkrijgen we een constante component die overeenkomt met de gemiddelde waarde van het signaal. Om het signaal gedetailleerder te kunnen beschrijven, berekenen we de tweede coëfficiënt met behulp van de basisfunctie die wordt weergegeven door uitdrukking (20):

Analyse uitdrukking gegeven laat zien dat de coëfficiënt het verschil tussen de gemiddelde waarden van de helften van het signaal karakteriseert. Als we nu de synthese uitvoeren met behulp van twee coëfficiënten met een synthetiserende basisfunctie voor de tweede coëfficiënt

we krijgen de volgende benadering:

De verdere werking van de analyse, d.w.z. berekening van coëfficiënten en synthese, is vergelijkbaar met die in beschouwing, met het verschil dat alle acties worden herhaald voor de helft van het signaal, vervolgens voor kwartalen, enz. Bij de allerlaatste iteratie wordt de analyse uitgevoerd voor paren willekeurige variabelen (Figuur 11).

Rijst. 11. Transformatie van paren willekeurige variabelen

Als resultaat wordt het oorspronkelijke signaal nauwkeurig beschreven door de coëfficiënten van de Haar-wavelettransformatie. Waveletcoëfficiënten van signaal (19) worden getoond in Fig. 10.

Uit de bovenstaande figuur is het duidelijk dat niet-stationariteiten van signalen (scherpe veranderingen) gelokaliseerd zijn in een klein aantal golfcoëfficiënten. Dit leidt tot de mogelijkheid van een betere reconstructie van een niet-stationair signaal op basis van onvolledige gegevens.

Rijst. 12. Waveletcoëfficiënten van één functieperiode (19)

Bij het berekenen van waveletcoëfficiënten dekten de basisfuncties het geanalyseerde signaal als volgt (Fig. 12). Vanaf afb. 12 kan worden gezien dat het systeem van Haar-basisfuncties in een discrete ruimte moet worden gespecificeerd door twee parameters: verschuiving en frequentie (schaal):

,

waar is de schaal van de basisfunctie; - verschuiving. In het discrete geval is de schaalparameter, waarbij een positief geheel getal bestaat, de verschuivingsparameter. De gehele set basisfuncties kan dus worden geschreven als

.

Directe en inverse discrete VP's worden berekend met behulp van de formules

,

.

Opgemerkt moet worden dat als het aantal monsters gelijk is, de maximale waarde gelijk is aan . De grootste waarde voor de huidige is .

Voor continue signalen de volgende integrale uitdrukkingen zijn geldig:

,

.

Door waveletfuncties te specificeren is het dus mogelijk een signaal te ontbinden in een waveletbasis van continue of discrete signalen.

Rijst. 13. Verdeling van Haar-basisfuncties in signaalanalyse

Een functie kan een waveletbasis vormen als deze aan de volgende voorwaarden voldoet:

1. Beperking van de norm:

.

2. De waveletfunctie moet zowel in tijd als in frequentie beperkt zijn:

En , bij .

Tegenvoorbeeld: de deltafunctie en de harmonische functie voldoen niet aan deze voorwaarde.

3. Nulgemiddelde:

Als we deze voorwaarde generaliseren, kunnen we de formule verkrijgen , die de mate van soepelheid van de functie bepaalt. Er wordt aangenomen dat hoe hoger de mate van gladheid van de basisfunctie, hoe beter de benaderingseigenschappen ervan.

Als voorbeeld geven we de volgende bekende wavelet-functies:

, .

Zowel voor VP als voor DFT is er een snel conversie-algoritme. Laten we Haar's VP nog eens bekijken. Vanaf afb. 13 laat zien dat functies met een kleine schaalfactor dezelfde signaalmonsters gebruiken om coëfficiënten te berekenen als functies met een grote schaalfactor. In dit geval wordt de bewerking van het optellen van dezelfde monsters verschillende keren herhaald. Om het aantal berekeningen te verminderen, is het daarom raadzaam om de VP te berekenen op basis van de kleinste schaalfactor. Als resultaat verkrijgen we waveletcoëfficiënten, wat de gemiddelde waarden zijn en verschillen . Voor kansen herhaal deze procedure. In dit geval het middelen van de coëfficiënten zal overeenkomen met het middelen van vier signaalmonsters, maar dit vereist één vermenigvuldigingsoperatie en één opteloperatie. Het ontledingsproces wordt herhaald totdat alle spectrumcoëfficiënten zijn berekend.

Laten we het snelle Haar wavelet-transformatie-algoritme in matrixvorm schrijven. Laat een vector gegeven worden 8 elementen groot. De Haar-transformatiematrix wordt in het formulier geschreven

Sommige ideeën in de wavelettheorie verschenen heel lang geleden. A. Haar publiceerde bijvoorbeeld al in 1910 een compleet orthonormaal systeem van basisfuncties met een lokaal definitiedomein (nu Haar-golfjes genoemd). De eerste vermelding van wavelets verscheen in de literatuur over digitale verwerking en analyse van seismische signalen (werken van A. Grossman en J. Morlet).

IN de laatste tijd er ontstond een geheel en het kreeg vorm wetenschappelijke richting, gerelateerd aan waveletanalyse en wavelettransformatietheorie. Wavelets worden veel gebruikt voor het filteren en voorbewerken van gegevens, het analyseren van de toestand en het voorspellen van de situatie op de aandelenmarkten, patroonherkenning, verwerking en synthese verschillende signalen, bijvoorbeeld spraak, medisch, voor het oplossen van problemen met compressie en beeldverwerking, bij het trainen van neurale netwerken en in veel andere gevallen.

Ondanks het feit dat de theorie van wavelettransformatie al grotendeels ontwikkeld is, nauwkeurige definitie Wat een “wavelet” is, welke functies wavelets kunnen worden genoemd, bestaan ​​voor zover ik weet niet. Wavelets kunnen orthogonaal, semi-orthogonaal of biorthogonaal zijn. Deze functies kunnen symmetrisch, asymmetrisch of niet-symmetrisch zijn.

Er zijn wavelets met een compact definitiedomein en er zijn wavelets zonder. Sommige functies hebben een analytische uitdrukking, andere hebben een snel algoritme voor het berekenen van de bijbehorende wavelettransformatie. Laten we eerst proberen een informele definitie van de wavelettransformatie te geven, en vervolgens de exacte wiskundige rechtvaardiging ervan.

Wavelets en multischaalanalyse

Laten we eens kijken naar een probleem dat in de praktijk veel voorkomt: we hebben een signaal (en het signaal kan van alles zijn, van een opname van sensormetingen tot gedigitaliseerde spraak of een beeld). Het idee van multischaalanalyse (multischaalanalyse, multiresolutieanalyse) is om het signaal eerst van dichtbij te bekijken - onder een microscoop, dan door een vergrootglas, dan een paar stappen achteruit te gaan en dan van veraf te kijken (Fig. 1) .

Wat levert dit ons op? Ten eerste kunnen we, door het signaal achtereenvolgens grover (of verhelderend) te maken, de lokale kenmerken ervan identificeren (nadruk in spraak of karakteristieke details van het beeld) en deze onderverdelen op basis van intensiteit. Ten tweede wordt op deze manier de dynamiek van signaalveranderingen afhankelijk van de schaal gedetecteerd.

Als scherpe sprongen (bijvoorbeeld noodafwijkingen van sensormetingen) in veel gevallen met het blote oog zichtbaar zijn, dan kunnen de interacties van gebeurtenissen op kleine schaal die zich ontwikkelen tot grootschalige verschijnselen (een krachtige verkeersstroom bestaat bijvoorbeeld uit de beweging van veel individuele auto's) zijn zeer moeilijk te zien. Omgekeerd, door alleen te focussen op kleine details, merk je misschien niet dat er verschijnselen op mondiaal niveau plaatsvinden.

Het idee van het gebruik van wavelets voor analyse op meerdere schalen is dat het signaal wordt ontleed volgens een basis die wordt gevormd door verschuivingen en kopieën op verschillende schaal van de prototypefunctie (dat wil zeggen dat de wavelettransformatie inherent fractaal is). Dergelijke basisfuncties worden wavelets genoemd ( golfje), als ze op spatie zijn gedefinieerd L2(R)(ruimte van complex gewaardeerde functies f(t) op een rechte lijn met beperkte energie), oscilleren rond de x-as en snel convergeren naar nul als de absolute waarde argument (Fig. 2).

Laten we meteen het voorbehoud maken dat deze definitie niet de pretentie heeft volledig en accuraat te zijn, maar slechts een bepaald ‘verbaal portret’ van een golfje geeft. Convolutie van een signaal met een van de wavelets stelt ons dus in staat de karakteristieke kenmerken van het signaal in het lokalisatiegebied van deze wavelet te identificeren, en hoe groter de schaal van de wavelet, hoe breder het signaalgebied het resultaat van de convolutie zal beïnvloeden. .

Volgens het onzekerheidsprincipe dan betere functie geconcentreerd in de tijd, hoe meer het verspreid is in het frequentiedomein. Bij het herschalen van een functie wordt het product van tijd en frequentiebereiken blijft constant en vertegenwoordigt het gebied van de cel in het tijdfrequentie- (fase)vlak.

Het voordeel van de wavelettransformatie ten opzichte van bijvoorbeeld de Gabor-transformatie is dat deze het fasevlak bedekt met cellen van hetzelfde gebied, maar met verschillende vormen (Fig. 3). Hierdoor kunt u laagfrequente signaaldetails goed lokaliseren in het frequentiedomein (overheersende harmonischen), en hoogfrequente signaaldetails in het tijddomein (scherpe sprongen, pieken, enz.).

Bovendien kunt u met waveletanalyse het gedrag van fractale functies bestuderen, dat wil zeggen functies die op geen enkel moment afgeleiden hebben!

Orthogonale wavelettransformatie

De wavelettransformatie draagt enorm bedrag informatie over het signaal, maar heeft aan de andere kant een sterke redundantie, omdat elk punt van het fasevlak het resultaat beïnvloedt.

Om een ​​signaal nauwkeurig te reconstrueren is het in het algemeen voldoende om de golftransformatie ervan op een vrij zeldzaam rooster in het fasevlak te kennen (bijvoorbeeld alleen in het midden van elke cel in figuur 3). Bijgevolg is alle informatie over het signaal opgenomen in deze vrij kleine reeks waarden.

Het idee hier is om de golf met een constant (bijvoorbeeld 2) aantal keren te schalen, en deze in de tijd over een vaste afstand te verschuiven, afhankelijk van de schaal. In dit geval moeten alle verschuivingen van dezelfde schaal in paren orthogonaal zijn - dergelijke golven worden orthogonaal genoemd.

Met deze transformatie wordt het signaal geconvolueerd met een bepaalde functie (de zogenaamde schaalfunctie, we zullen later over de eigenschappen ervan praten) en met een wavelet die bij deze schaalfunctie hoort. Het resultaat is een "afgevlakte" versie van het originele signaal en een reeks "details" die het afgevlakte signaal onderscheiden van het origineel.

Door een dergelijke transformatie consequent toe te passen, kunnen we het resultaat krijgen van de mate van detail (gladheid) die we nodig hebben en een reeks details op verschillende schalen - waar we het aan het begin van het artikel over hadden. Bovendien kunnen we, door de wavelettransformatie toe te passen op het signaaldetail dat ons interesseert, er een “uitvergroot beeld” van krijgen. En omgekeerd, door onbelangrijke details weg te gooien en de omgekeerde transformatie uit te voeren, zullen we een signaal ontvangen dat vrij is van ruis en willekeurige emissies (bijvoorbeeld: 'verwijder' een vogel die per ongeluk in beeld kwam op een foto van een gebouw).

Discrete wavelettransformatie en andere gebieden van waveletanalyse

Het is duidelijk dat het idee om de wavelettransformatie te gebruiken om discrete gegevens te verwerken zeer aantrekkelijk is (gegevensdiscretisatie is bijvoorbeeld nodig bij de verwerking ervan op een computer). De grootste moeilijkheid is dat de formules voor de discrete wavelettransformatie niet eenvoudigweg kunnen worden verkregen door de overeenkomstige formules voor de continue transformatie te discretiseren.

Gelukkig slaagde I. Daubechies erin een methode te vinden waarmee je een (oneindige) reeks orthogonale golfjes kunt construeren, die elk worden bepaald door een eindig aantal coëfficiënten. Het is mogelijk geworden om een ​​algoritme te construeren dat de snelle wavelettransformatie op discrete gegevens implementeert (het algoritme van Mull). Het voordeel van dit algoritme ligt, naast al het bovenstaande, in de eenvoud ervan hoge snelheid: zowel ontbinding als restauratie vereisen ongeveer cN operaties waar Met is het aantal coëfficiënten, en N– monsterlengte.

De laatste tijd heeft de theorie van wavelettransformatie eenvoudigweg een revolutionaire groei doorgemaakt. Richtingen als biorthogonale golfjes, multigolfjes, golfpakketjes, optillen, etc. zijn verschenen en ontwikkelen zich.

Toepassing van wavelettransformatie

Ter afsluiting van ons artikel noemen we enkele gebieden waar het gebruik van wavelets veelbelovend kan zijn (of al is).

1. Verwerking van experimentele gegevens. Omdat wavelets precies verschenen als een mechanisme voor het verwerken van experimentele gegevens, lijkt het gebruik ervan voor het oplossen van soortgelijke problemen nog steeds erg aantrekkelijk. De wavelet-transformatie geeft het meest visuele en informatieve beeld van de experimentele resultaten, stelt u in staat de originele gegevens te ontdoen van ruis en willekeurige vervormingen, en zelfs “met het oog” enkele kenmerken van de gegevens op te merken en de richting van hun verdere verwerking en analyse . Bovendien zijn wavelets zeer geschikt voor de analyse van niet-stationaire signalen die in de geneeskunde voorkomen aandelenmarkten en andere gebieden.
2. Beeldverwerking. Onze visie is zo ontworpen dat we onze aandacht richten op de essentiële details van het beeld en afsnijden wat niet nodig is. Met behulp van de wavelet-transformatie kunnen we sommige details van een afbeelding gladstrijken of accentueren, deze vergroten of verkleinen, belangrijke details benadrukken en zelfs de kwaliteit ervan verbeteren!
3. Gegevenscompressie. Een kenmerk van orthogonale meerschalige analyse is dat, voor voldoende vloeiende gegevens, de resulterende details uit de transformatie over het algemeen dichtbij nul liggen en daarom zeer goed worden gecomprimeerd door conventionele statistische methoden. Het grote voordeel van de wavelet-transformatie is dat er geen extra redundantie in de oorspronkelijke gegevens wordt geïntroduceerd, en dat het signaal volledig kan worden gereconstrueerd met dezelfde filters. Bovendien maakt de scheiding van details van het hoofdsignaal als gevolg van de conversie het zeer eenvoudig om compressie met verlies te implementeren - gooi de details gewoon weg op die schaal waar ze onbelangrijk zijn! Het volstaat te zeggen dat een door wavelets verwerkt beeld 3 tot 10 keer kan worden gecomprimeerd zonder aanzienlijk verlies aan informatie (en met aanvaardbare verliezen - tot 300 keer!). We merken bijvoorbeeld op dat de wavelettransformatie de basis vormt van de MPEG4-datacompressiestandaard.
4. Neurale netwerken en andere mechanismen voor gegevensanalyse. Grote problemen bij het trainen van neurale netwerken (of het opzetten van andere mechanismen voor gegevensanalyse) worden veroorzaakt door sterke gegevensruis of de aanwezigheid van een groot aantal “speciale gevallen” (willekeurige emissies, weglatingen, niet-lineaire vervormingen, enz.). Dergelijke ruis kan kenmerken van de gegevens verbergen of nabootsen en kan de leerresultaten ernstig verslechteren. Daarom wordt aanbevolen om de gegevens op te schonen voordat u deze analyseert. Om de redenen die hierboven al zijn gegeven, en vanwege de beschikbaarheid van snelle en efficiënte implementatiealgoritmen, lijken wavelets een zeer handig en veelbelovend mechanisme te zijn voor het opschonen en voorbewerken van gegevens voor gebruik in statistische en zakelijke toepassingen, systemen kunstmatige intelligentie enz.
5. Datatransmissiesystemen en digitale verwerking signalen. Vanwege de hoge efficiëntie van de algoritmen en de weerstand tegen interferentie is de wavelettransformatie dat wel krachtig hulpmiddel op gebieden waar traditioneel andere data-analysemethoden, zoals de Fourier-transformatie, worden gebruikt. Mogelijkheid tot toepassing al bestaande methoden het verwerken van de transformatieresultaten, evenals de karakteristieke kenmerken van het gedrag van de wavelettransformatie in het tijdfrequentiedomein, kan de mogelijkheden van dergelijke systemen aanzienlijk uitbreiden en aanvullen.

En dat is nog niet alles!

Conclusie

Ondanks het feit dat het wiskundige apparaat voor waveletanalyse goed ontwikkeld is en de theorie in het algemeen vorm heeft gekregen, laten wavelets een enorm onderzoeksveld over. Het volstaat te zeggen dat het kiezen van de wavelet die het meest geschikt is voor het analyseren van specifieke gegevens meer een kunst dan een routineprocedure is. Bovendien is de taak van het ontwikkelen van applicaties die gebruik maken van waveletanalyse van groot belang - zowel in de genoemde gebieden als in vele andere, die eenvoudigweg niet kunnen worden opgesomd.

Literatuur

1. Daubechies I. Tien lezingen over wavelets. Moskou, "RHD", 2001
2. Vorobiev V.I., Gribunin V.G. Theorie en praktijk van wavelettransformatie. Sint-Petersburg, VUS, 1999
3. Mallat S. Een theorie voor signaalontbinding met meerdere resolutie: de golfrepresentatie. IEEE Trans. Patroonanalyse en machine-intelligentie, 1989, N7, p.674-693.