Wat is een functie en een variabele. Concept van functie

1) Functiedomein en functiebereik.

Het domein van een functie is de verzameling van alle geldige geldige argumentwaarden X(variabel X), waarvoor de functie y = f(x) bepaald. Het bereik van een functie is de verzameling van alle reële waarden j, wat de functie accepteert.

In de elementaire wiskunde worden functies alleen bestudeerd op basis van de verzameling reële getallen.

2) Functienullen.

Functie nul is de waarde van het argument waarbij de waarde van de functie gelijk is aan nul.

3) Intervallen met constant teken van een functie.

Intervallen met een constant teken van een functie zijn sets argumentwaarden waarop de functiewaarden alleen positief of alleen negatief zijn.

4) Monotoniciteit van de functie.

Een stijgende functie (in een bepaald interval) is een functie waarbij een grotere waarde van het argument uit dit interval overeenkomt met een grotere waarde van de functie.

Een afnemende functie (in een bepaald interval) is een functie waarbij een grotere waarde van het argument uit dit interval overeenkomt met een kleinere waarde van de functie.

5) Even (oneven) functie.

Een even functie is een functie waarvan het definitiedomein symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong en voor elke X vanuit het domein van de definitie de gelijkheid f(-x) = f(x).

De grafiek van een even functie is symmetrisch ten opzichte van de ordinaat. X Een oneven functie is een functie waarvan het definitiedomein symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong en voor elke vanuit het domein van de definitie is de gelijkheid waar f(-x) = - f(x

)..

De grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

6) Beperkte en onbeperkte functies.

Een functie wordt begrensd genoemd als er een positief getal M bestaat zodat |f(x)| ≤ M voor alle waarden van x. Als een dergelijk getal niet bestaat, is de functie onbeperkt.

7) Periodiciteit van de functie

Een functie f(x) is periodiek als er een getal T is dat niet nul is, zodat voor elke x uit het definitiedomein van de functie het volgende geldt: f(x+T) = f(x). Dit kleinste getal wordt de periode van de functie genoemd. Alle trigonometrische functies zijn periodiek. (Trigonometrische formules).

19. Elementaire basisfuncties, hun eigenschappen en grafieken. Toepassing van functies in de economie.

Elementaire basisfuncties. Hun eigenschappen en grafieken 1. Lineaire functie.

Lineaire functie wordt een functie van de vorm genoemd, waarbij x een variabele is en a en b reële getallen zijn. Dit wordt de helling van de lijn genoemd en is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van deze lijn aan de positieve richting van de x-as. De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn. Het wordt gedefinieerd door twee punten.

Eigenschappen van een lineaire functie

1. Definitiedomein - de verzameling van alle reële getallen: D(y)=R

2. De reeks waarden is de reeks van alle reële getallen: E(y)=R

3. De functie krijgt een nulwaarde als of.

4. De functie neemt toe (af) over het gehele definitiedomein.

5. Een lineaire functie is continu over het gehele definitiedomein, differentieerbaar en .

2. Kwadratische functie.

Er wordt een functie van de vorm aangeroepen, waarbij x een variabele is en de coëfficiënten a, b, c reële getallen zijn kwadratisch

Laten we de concepten van een functie en zijn eigenschappen herhalen, die we nodig zullen hebben voor de verdere presentatie van het materiaal.

Definitie. Functie F(X) is een regel die toestaat dat elke waarde xX wordt geassocieerd met een enkele waardeY = F(X)Y, waarbij x een onafhankelijke variabele is (argument),Y- afhankelijke variabele (functiewaarde). Ze zeggen dat de functieFheeft Domein van definitie D(F)= XEn Bereik van waarden R(F) Y.

Definitie. Veel paren ((X, F(X)): XD(F)) wordt genoemd Functie grafiek F .

Er zijn drie manieren om een ​​functie op te geven:

 wanneer Analytische methode bij het definiëren van een functie wordt de afhankelijkheid tussen de variabelen bepaald door de formule;

 wanneer Tabellarische methode functietoewijzingen zijn geschreven in een bepaalde volgorde argumentwaarden en bijbehorende functiewaarden;

 wanneer Grafisch Bij het specificeren van een functie wordt de relatie tussen variabelen weergegeven met behulp van een grafiek.

Laten we eens kijken naar enkele functionele afhankelijkheden die in de economie worden gebruikt:

 Vraagfunctie- vraagafhankelijkheid D voor een product van zijn prijs P;

 Suggestiefunctie- aanbodafhankelijkheid S van een product af van de prijs ervan P;

 Utility-functie- subjectieve numerieke beoordeling van nut door een bepaald individu EN en hoeveelheden X goederen voor hem;

 Kostenfunctie- afhankelijkheid van kosten I voor productie X productie-eenheden;

 Belastingtarief- afhankelijkheid van het belastingtarief N als percentage van het jaarinkomen Q.

Al deze functies, behalve de laatste, zijn zeer moeilijk analytisch uit te drukken. Indien nodig worden ze gevonden door middel van nauwgezette analyses. Deze laatste functie is daarentegen meestal vrij goed bekend bij de hele samenleving en is wettelijk goedgekeurd.

Definitie. Functie F ( X ) heeft een limiet B , wanneer x neigt naar a, als de waardenF(X) kom zo dicht als je wilt bij het nummerB, wanneer de waarden van de variabele x willekeurig dicht bij het getal a komen.

Aanduiding. .

Opgemerkt moet worden dat deze definitie rekening houdt met de waarden X, willekeurig dicht bij het nummer A, maar valt niet samen met A.

Definitie. Als de functieF(X) wordt gedefinieerd op punt a en de gelijkheid geldt , DatF(X) wordt in punt a een continue functie genoemd.

Definitie. Een functie die continu is op elk punt van zijn definitiedomein wordt genoemd Continue functie. Anders wordt de functie aangeroepen Explosief.

De grafiek van een continue functie kan worden getekend zonder uw hand op te steken.

Continue functies hebben de volgende eigenschappen:

 de som of het product van continue functies is een continue functie;

 de verhouding van twee continue functies is een continue functie op alle punten waar de noemer van de verhouding niet verdwijnt.

Opmerking. Een methode die effectief is bij de analyse van continue functies kan ineffectief zijn bij de studie van discontinue functies, hoewel het tegenovergestelde niet wordt uitgesloten.

Definitie. FunctieF(X) wordt genoemd Stijgend (aflopend) op een setjeX, als het feit datX1 < X2 daar volgt het uitF(X1 )< F(X2 ) (F(X1 )> F(X2 )). FunctieF(X) wordt genoemd Niet-afnemend (niet-stijgend) op een setjeX, als het feit datX1  X2 , X1 , X2  Xdaar volgt het uitF(X1 ) F(X2 ) (F(X1 ) F(X2 )).

Stelling. Laat de functieF(X) is differentieerbaar op het interval (A, B). Dan:

 Als de eerste afgeleide van de functieOveral op dit interval neemt de functie daarop toe;

 Als de eerste afgeleideoveral op dit interval neemt de functie af;

 Eerste afgeleideOveral op dit interval is de functie constant op dit interval.

Definitie. Toenemende, afnemende, niet-dalende, niet-stijgende functies worden genoemd Eentonig.

Opmerking. Een monotone functie hoeft niet continu te zijn.

Voorbeeld 1. Vind intervallen van monotoniciteit van een functie F(X)=(1- X2 )3 .

. De afgeleide vinden: laten we de vergelijking oplossen. Wij krijgen X1=0, x2=1, x3=-1. Functie F(X) gedefinieerd en continu langs de gehele getallenlijn. Daarom de punten X1, x2, x3 zijn kritische punten. Er zijn geen andere kritieke punten, omdat het overal bestaat.

We onderzoeken kritische punten door het teken links en rechts van elk punt te bepalen. Om berekeningen te beperken en voor de duidelijkheid is het handig om dit onderzoek in de vorm van een tabel te schrijven. 1:

Tabel 1

De eerste regel bevat alle kritieke punten in de volgorde van hun locatie op de getallenas; Tussenliggende punten worden ertussen ingevoegd, links en rechts van de kritieke punten. De tweede regel bevat de afgeleide tekens in het aangegeven tussenliggende punten. De derde regel bevat een conclusie over het gedrag van de functie op de onderzochte intervallen. Op het interval (-; 0) neemt de functie toe, op het interval (0; +) neemt de functie af.

Definitie. FunctieF(X) is Unimodaal op het segment [A, B] dan en slechts dan als het monotoon is aan beide zijden van de unieke op het beschouwde interval optimaal punt X*.

Voorbeeld 2. Hier zijn voorbeelden van grafieken van unimodale functies:

 in afb. 6 continue functie;

 in afb. 7 - discontinue functie;

 in afb. 8 - discrete functie.

Een reeks functies die unimodaal zijn op een interval [ A; B] , zullen we aanduiden

Q[ A; B] .

Om de unimodaliteit van een functie te controleren F(X) in de praktijk worden doorgaans de volgende criteria gehanteerd:

1) als de functie F(X) differentieerbaar op het interval [ A; B] en het derivaat daalt dus niet op dit segment F(X) Q[ A; B] ;

2) als de functie F(X) tweemaal differentieerbaar op het interval [ A; B] en wanneer X[A; B] , Dat F(X) Q[ A; B] .X=-0,5. Daarom, Als Х-0,5 en vooral wanneer X. Met behulp van het tweede unimodaliteitscriterium verkrijgen we dat F(X) Q .

Definitie. Denk aan het setje SR. We kunnen de correspondentie bepalen waarmee elk punt XS er wordt één numerieke waarde toegewezen. Deze correspondentie heet Scalaire functieF, gedefinieerd op de setS.

Definitie. In de optimalisatietheorieFgenaamd Objectieve functie , AS - Acceptabel gebied , een reeks punten die aan de beperkingen voldoen, of een gebied aanvaardbare waarden X.

Laten we eerst eens kijken naar het concept van een variabele hoeveelheid, of eenvoudigweg een variabele.

Variabele waarde X wordt bepaald door de reeks waarden die het in het onderhavige geval kan aannemen. Dit is veel X laten we het gebied van verandering van variabele waarden noemen X.

Het hoofdonderwerp van de wiskunde in de wiskunde is echter niet de verandering in één variabele op zichzelf, maar de relatie tussen twee of meer variabelen wanneer deze samen veranderen. In veel gevallen kunnen variabelen geen enkel paar waarden uit hun bereik aannemen; als aan de een een specifieke betekenis wordt gegeven, dan bepaalt dit al de betekenis van de ander. Dan wordt de eerste gebeld onafhankelijk , en de tweede – afhankelijk variabel.

Laat twee variabelen gegeven worden X En j met veranderingsgebieden X En Y. Als elk element X X volgens een bepaalde regel Féén enkel element komt overeen j Y, dan zeggen ze dat op de set X gegeven functie j = F(X).

Het is duidelijk dat in dit geval de variabele X is de onafhankelijke variabele. Ze wordt vaak gebeld argument functies.

Variabel j is de afhankelijke variabele en wordt de waarde van de functie genoemd, of eenvoudigweg functie.

Veel X genaamd domein van definitie functies en een set Y - regio haar waarden .

Bestaat een aantal manieren functietoewijzingen:

A) de eenvoudigste - analytisch methode, d.w.z. het specificeren van een functie in de vorm van een formule. Als het domein van een functie X niet is aangegeven, dan onder X meerdere betekenissen impliciet X, waarvoor de formule zinvol is;

B) grafisch manier. Deze methode is bijzonder duidelijk. Voor een functie van één variabele j= F(X) het coördinatenvlak wordt gebruikt ( xy).

Verzameling van punten j, corresponderend gegeven waarden X, bepaalt de grafiek van de functie op het vlak ( xy);

V) tabelvormig manier. Het wordt vaak gebruikt als de onafhankelijke variabele X neemt slechts een eindig aantal waarden aan.

5.2. Basiseigenschappen van functies

Laten we eens kijken naar de belangrijkste eigenschappen van functies die hun onderzoek vereenvoudigen:

Pariteit. Functie j = F(X) wordt genoemd zelfs , als het voor welke waarde dan ook is X, behorend tot het domein van de definitie van de functie X, betekenis (- X) hoort er ook bij X en tegelijkertijd wordt het uitgevoerd

F(-X) =F(X).

De grafiek van een even functie is symmetrisch ten opzichte van de ordinaat.

Functie j = F(X) wordt genoemd vreemd , eventueel X X volgt (– X) X en tegelijkertijd

F(-X) = –F(X).

De grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

Als de functie j = F(X) is noch even noch oneven, zo wordt vaak genoemd algemene functie .

Monotoon. Functie j = F(X) wordt genoemd toenemend op een bepaald moment ( A, B), eventueel X 1 , X 2 (A, B), zo een

Wat X 1 < X 2, volgt hieruit F(X 1) < F(X 2), en afnemend , Als F(X 1) >F(X 2).

Toenemend en afnemend op het interval ( een, b) functies worden aangeroepen eentonig op dit interval, en het interval zelf ( een, b) - het interval van monotoniciteit van deze functies.

In sommige leerboeken worden dergelijke functies genoemd strikt eentonig, A eentonig een functie die niet-afnemend en niet-toenemend is op het beschouwde interval wordt aangeroepen (in plaats van strikte ongelijkheden voor functies worden niet-strikte ongelijkheden geschreven).

Beperking. Functie y = f(X) wordt genoemd beperkt op het interval ( A, B), als een dergelijk nummer bestaat MET> 0, wat voor iedereen geldt X (A, B) zou moeten |f(X)| < C , en anders onbeperkt, d.w.z. voor elk nummer C> 0 dergelijke bestaat X (A, B), Wat |f(X)| > C. In afb. Figuur 5.1 toont een grafiek van een functie begrensd op het interval ( A, B).

Een soortgelijke definitie van begrensdheid kan voor elk type interval worden gegeven.

Periodiciteit. Functie j = F(X) wordt genoemd periodiek, als een dergelijk nummer bestaat T dat voor iedereen X X rennen

F(x+t)= f(X).

Het kleinste van deze getallen T genaamd periode van de functie en wordt aangewezen T.

Een karakteristiek kenmerk De periodiciteit van functies is de aanwezigheid van trigonometrische functies in hun samenstelling.

5.3. Elementaire functies en hun grafieken

NAAR elementaire functies erbij betrekken:

A) de eenvoudigste elementaire functies

1. Constantj = C, Waar Met- een constant reëel getal voor een gegeven functie, hetzelfde voor alle waarden X.

2. Power-functie, waarbij elk constant reëel getal behalve nul is. Type functiegrafiek voor enkele positieve gehele getallen ( = N), negatieve gehele getallen ( = – N) en fractioneel ( = 1/ N) waarden worden hieronder weergegeven.

4. Logaritmische functie j=logboek een x (A > 0; A 1).

5. Trigonometrische functies: j= zonde X, j=cos X, j= tg X, j=ctg X.

6. Inverse trigonometrische functies.

j= arcsin x y= arccos X

j= arctan x y= arcctg X

B) complexe functies

Naast de vermelde eenvoudigste elementaire functies van het argument X Onder elementaire functies vallen ook functies waarvan de argumenten ook elementaire functies zijn, evenals functies die worden verkregen door het uitvoeren van een eindig getal rekenkundige bewerkingen boven elementaire functies. De functie bijvoorbeeld

is ook een elementaire functie.

Er worden functies aangeroepen waarvan de argumenten geen onafhankelijke variabelen zijn, maar andere functies complexe functies of superposities van functies. Laat twee functies gegeven worden: j= zonde X En z= logboek 2 j. Dan complexe functie(superpositie van functies) kan de vorm hebben

z= log 2(zonde X).

Je kunt het concept ook introduceren omgekeerde functie .Laten j = F(X) wordt gegeven in het domein van de definitie X, A Y- de vele betekenissen. Laten we een waarde kiezen j= j 0 en gebruik deze om te vinden X 0 dus dat j 0 was gelijk F(X 0). Soortgelijke waarden X Er kunnen meerdere 0 zijn.

Dus voor elke waarde j van Y er worden een of meer waarden toegekend X. Als een dergelijke waarde X slechts één ding, dan in de omgeving Y een functie kan worden gedefinieerd X= G(j), dat wordt genoemd achteruit voor functie j = F(X).

Laten we bijvoorbeeld de inverse functie voor de exponentiële functie vinden j = een x. Uit de definitie van logaritme volgt dat als de waarde wordt gegeven j en vervolgens de waarde X, die aan de voorwaarde voldoet j = een x, wordt gevonden door de formule X=logboek een y. Dat wil zeggen, iedereen j van Y kan aan één specifieke waarde worden toegewezen X=logboek een y.

Daarom de functie X=logboek een y is het omgekeerde van de functie j = een x op sets X En Y. Omdat het gebruikelijk is om de onafhankelijke variabele van elke functie aan te duiden X, dan zeggen ze dat in dit geval j = F(X) En j= G(X) zijn inverse functies.

Functiegrafieken j = F(X) en zijn inverse functie j= G(X) zijn symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoek.

Beschouw twee getallensets X En Y. F Regel , volgens welk elk nummer xI X komt overeen met het enkelvoudige getal yI Y , genaamd numerieke functie X, gedefinieerd op de set Y.

en meerdere betekenissen aannemen

Het definiëren van een functie betekent dus dat u drie objecten specificeert: X 1) ingesteld

(functiedefinitiedomein); Y 2) instellen

(functiebereik); F 3) matchingregel

(de functie zelf). Laten we bijvoorbeeld elk getal aan zijn kubus koppelen. Wiskundig gezien kan dit worden geschreven als y=x3 F. In dit geval de regel X is het verhogen van een getal tot de derde graad. IN algemeen geval X, als iedereen F volgens de regel j komt overeen met de enige , schrijven ze y = f(x). X Hier " " telefoongesprek onafhankelijke variabele argument of j" -, A " afhankelijke variabele (aangezien een uitdrukking als x 3 X heeft zelf geen specifieke numerieke waarde totdat een waarde is opgegeven functie) of X van X En j er wordt gezegd dat ze verband houden door functionele afhankelijkheid. Alle betekenissen kennen X en de regel F je kunt alle waarden vinden bij. Bijvoorbeeld als x=2 en vervolgens de functie f(x) =x3 neemt de waarde y aan = f(2) =2 3 =8.

Er zijn verschillende manieren om een ​​functie op te geven.

Analytische methode. Functie F wordt gegeven als een formule y=f(x). Bijvoorbeeld, y=3cos(x)+2x 2. Deze methode is dominant in wiskundig onderzoek en wordt in detail besproken in de klassieke wiskundecursus. In geografische studies wordt de correspondentie tussen X variabele hoeveelheden j En Het is niet altijd mogelijk om het als een formule op te schrijven. In veel gevallen is de formule onbekend.

Dan voor de uitdrukking functionele afhankelijkheid andere methoden worden gebruikt. Grafische methode . Op meteorologische stations kunt u op elk moment van de dag de werking observeren van recorders die de atmosferische druk, luchttemperatuur en vochtigheid registreren. Uit de resulterende grafiek kunt u op elk moment de waarden van deze hoeveelheden bepalen. Functie grafiek

y=f(x) is de verzameling van alle punten van het vlak met coördinaten ( x, f(x)). X De grafiek bevat alle informatie over de functie. Als we een grafiek voor ons hebben, lijken we “de functie te zien”.

. Deze methode is de eenvoudigste. Alle waarden van het argument (getal) worden in de ene rij van de tabel geschreven, en in de andere - de waarden f(x), laboratoriumanalyses, periodieke metingen van atmosferische of andere fysische parameters. Helaas kun je met behulp van de tabel alleen die functiewaarden vinden waarvan de argumentwaarden in de tabel beschikbaar zijn. Tegelijkertijd doen zich vaak problemen voor waarbij de waarde van een functie moet worden gevonden voor de waarde van een argument dat niet in de tabel is opgenomen.

Bovendien geeft deze methode geen voldoende duidelijk beeld van de aard van de verandering in de functie bij een verandering in de onafhankelijke variabele.

Grafieken die zijn verkregen als resultaat van de werking van automatische apparaten kennen dit nadeel niet, maar een grafische taak is mogelijk niet altijd voldoende voor verder onderzoek.

Om het verloop van een natuurlijk proces te bestuderen moet een dergelijke functie soms bijvoorbeeld worden onderworpen aan een aantal wiskundige bewerkingen, waaronder differentiatie of integratie. In veel gevallen is het dus belangrijk om de analytische specificatie van een functie te kennen. Omdat er geen exacte analytische specificatie bestaat van de functie die is verkregen als resultaat van experimenteel werk, wordt voor de doeleinden van het onderzoek de volgende techniek gebruikt: een functie gespecificeerd in een tabel (een grafisch gespecificeerde functie kan altijd in tabelvorm worden weergegeven) op een bepaald segment vervangen door een andere functie die eenvoudiger is, in zekere zin dichter bij het gegeven ligt en een analytische uitdrukking heeft. Er zijn twee hoofdmethoden voor een dergelijke vervanging: interpolatie en benadering van een tabelfunctie. Downloaden van Depositfiles

INLEIDING TOT ANALYSE VAN ENKELE VARIABELE FUNCTIE

Lezing nr. 13. Onderwerp 1 : Functies 1.1. FunctiedefinitieBij het bestuderen van bepaalde processen echte wereld we komen grootheden tegen die hen karakteriseren, die veranderen tijdens de studie van deze processen. In dit geval gaat een verandering in de ene grootheid gepaard met een verandering in een andere. Bij rechtlijnige eenparige beweging wordt bijvoorbeeld het verband tussen de afgelegde afstand gelegd S T , snelheidwe komen grootheden tegen die hen karakteriseren, die veranderen tijdens de studie van deze processen. In dit geval gaat een verandering in de ene grootheid gepaard met een verandering in een andere. Bij rechtlijnige eenparige beweging wordt bijvoorbeeld het verband tussen de afgelegde afstand gelegd v Bij het bestuderen van bepaalde processen en tijdT .

wordt uitgedrukt door de formule. Met een bepaalde snelheidT pad lengteBij het bestuderen van bepaalde processen hangt af van de tijdIn dit geval is er sprake van een verandering in één grootheid () is willekeurig, en de andere (

) hangt af van de eerste. Dan zeggen ze dat het gegeven isX functionele afhankelijkheid. Y .

Definitie. Laten we een wiskundige rechtvaardiging voor dit concept geven.
Laat er twee sets gegeven worden
En

Een functie is een wet of regel volgens welke elk element
.

één enkel element komt overeen, tijdens het schrijvenF of Het element wordt genoemd functie-argument X en het elementfunctie waarde. Veel Y  gebied van functieverandering. Deze sets zijn dienovereenkomstig aangegeven
En
.

Voorbeelden van functies:

1. Snelheid vrije val lichaam
. HierX functionele afhankelijkheid. Y  verzamelingen van reële niet-negatieve getallen.

2. Oppervlakte van een cirkel
. HierX functionele afhankelijkheid. Y  reeksen positieve reële getallen.

3. Laat X  veel studenten in de groep, d.w.z.
, A
 meerdere cijfers op het examen. Hier als functieF het criterium voor het beoordelen van kennis wordt overwogen.

In wat volgt, onder setsX functionele afhankelijkheid. Y We bedoelen reeksen getallen en houden ons aan de notatie. Voor meer duidelijkheid gebruiken we de geometrische weergave van verzamelingen en in de vorm van een verzameling punten op de reële as. Laten we eens kijken naar enkele van de meest voorkomende numerieke sets (intervallen):

- segment;

- interval;

 getallenas (set van reële getallen);

of -    buurt van een puntA .

wordt een functie van de vorm genoemd, waarbij x een variabele is en a en b reële getallen zijn.
X

Opmerking 1. We hebben naar de definitie gekeken ondubbelzinnig functies. Als elk, volgens een bepaalde regel, overeenkomt met een bepaalde reeks getallenj , dan wordt deze regel bepaald ambigu functie. Bijvoorbeeld, .

Voorbeelden. Vind domeinen en waarden van functies:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Methoden voor het opgeven van een functie

1. Analytische methode.Allereerst kunnen functies worden gespecificeerd met behulp van formules. Voor dit doel worden reeds bestudeerde en speciaal aangewezen functies en algebraïsche bewerkingen gebruikt.

Voorbeelden:

1.
. 2.
. 3.
.

In wat volgt zullen we korte wiskundige notaties (kwantificatoren) gebruiken:  voor iedereen, iedereen;  bestaat, kunt u opgeven.

Laten we enkele elementen van functiegedrag in herinnering brengen. De functie wordt aangeroepen toenemend (afnemend ) op een bepaald interval, als
vanaf dit interval blijft de ongelijkheid bestaan
onafhankelijke variabele
en schrijf
onafhankelijke variabele
respectievelijk. Er worden stijgende en dalende functies genoemd eentonig . De functie wordt aangeroepen beperkt op een bepaald moment, als
voorwaarde is voldaan
. Anders wordt de functie aangeroepen onbeperkt.

De functie wordt aangeroepen zelfs (vreemd ) als het de eigendom heeft . De overige functies worden functies genoemd algemeen beeld.

De functie wordt aangeroepen periodiek met periode T, als aan de voorwaarde is voldaan
.

De functie bijvoorbeeld
neemt toe
en afnemend
. Functie
is monotoon. Functie
beperkt voor , omdat
. Functies:
zijn gelijk, en de functies
 vreemd. Functie
 periodiek met periode
.

De functie kan ook worden gespecificeerd door een vergelijking van de vorm

(1)

Als er zo'n functie is
, dan definieert vergelijking (1) de gegeven functie impliciet . In het voorbeeld bijvoorbeeld 2de functie wordt impliciet gegeven, deze vergelijking definieert een functie met meerdere waarden
.

Laten
, A
en vervolgens de functie
genaamdcomplexe functie of een superpositie van twee functies F functionele afhankelijkheid. F . In het voorbeeld bijvoorbeeld 3de functie is een superpositie van twee functies
En
.

Als we de variabele als een argument beschouwenbij, en als functie – een variabeleX, dan krijgen we een functie die wordt aangeroepen voor een functie met één waarde achteruit en wordt aangewezen
. Voor de functie bijvoorbeeld
omgekeerde functie serveert
onafhankelijke variabele
, als we ons houden aan de algemeen aanvaarde notatie voor argument en functie.

Opmerking 2. De functie kan ook worden gespecificeerd met behulp van een correspondentiebeschrijving (beschrijvende manier). Laten we bijvoorbeeld elk nummer toewijzen
nummer 1, en voor iedereen
nummer 0. Als resultaat verkrijgen we de eenheidsfunctie

Opgemerkt moet worden dat elke formule een symbolische registratie is van een beschreven correspondentie en daarom is het verschil tussen het specificeren van een functie met behulp van formules en het beschrijven van de correspondentie puur extern.

Een grafische weergave van een functie kan ook dienen om een ​​functionele afhankelijkheid te specificeren.

2. Grafische methode.De functie wordt gespecificeerd in de vorm van een grafiek. Een voorbeeld van een grafische functietoewijzing zijn de metingen van een oscilloscoop.

D

De functie kan worden gespecificeerd met behulp van tabellen:

3. Tabellarische methode.Voor sommige variabele waardenX de bijbehorende variabelewaarden worden aangegevenj . Voorbeelden van dit type toewijzing zijn tabellen met waarden van trigonometrische functies, tabellen die de relatie tussen gemeten grootheden weergeven, enz.

Om op een computer te werken, is de functie gespecificeerdalgoritmisch manier.

1.3. Elementaire functies

Naar de belangrijkste of eenvoudigste elementaire functies zijn onder meer:. geheel getal deel van het getal, waarbij X  grootste gehele getal niet groter danX , Bijvoorbeeld,
.