Fourierreeksuitbreiding van een driehoekig signaal. Voorbeelden van uitbreiding van de Fourier-serie

2.1. Spectra van periodieke signalen

Een periodiek signaal (stroom of spanning) is een vorm van beïnvloeding waarbij de signaalvorm na een bepaald tijdsinterval wordt herhaald. T, die de periode wordt genoemd. De eenvoudigste vorm Een periodiek signaal is een harmonisch signaal of sinusoïde, dat wordt gekenmerkt door amplitude, periode en beginfase. Alle andere signalen zullen dat wel zijn niet-harmonisch of niet-sinusoïdaal. Het kan worden aangetoond, en de praktijk bewijst, dat als het ingangssignaal van de voeding periodiek is, alle andere stromen en spanningen in elke tak (uitgangssignalen) ook periodiek zullen zijn. In dit geval zullen de signaalvormen in verschillende takken van elkaar verschillen.

Er bestaat een algemene techniek voor het bestuderen van periodieke niet-harmonische signalen (ingangsinvloeden en hun reacties) in een elektrisch circuit, die is gebaseerd op de uitbreiding van signalen naar een Fourier-reeks. Deze techniek bestaat uit het feit dat het altijd mogelijk is een reeks harmonische (dat wil zeggen sinusoïdale) signalen te selecteren met dergelijke amplitudes, frequenties en beginfasen, waarvan de algebraïsche som van de ordinaat op elk moment gelijk is aan de ordinaat van de ordinaat. niet-sinusvormig signaal dat wordt bestudeerd. Dus bijvoorbeeld spanning u in afb. 2.1. kan worden vervangen door de som van spanningen en , aangezien er op elk moment een identieke gelijkheid bestaat: . Elk van de termen is een sinusoïde, waarvan de frequentie gerelateerd is aan de periode T gehele verhoudingen.

Voor het beschouwde voorbeeld valt de periode van de eerste harmonische samen met de periode van het niet-harmonische signaalT 1 = T, en de periode van de tweede harmonische is twee keer kleinerT 2 = T/2, d.w.z. momentane harmonische waarden moeten in de vorm worden geschreven:

Hier zijn de amplitudes van harmonische oscillaties gelijk aan elkaar ( ), en de beginfasen zijn nul.

Rijst. 2.1. Een voorbeeld van het toevoegen van de eerste en tweede harmonischen

niet-harmonisch signaal

In de elektrotechniek wordt een harmonische component genoemd waarvan de periode gelijk is aan de periode van een niet-harmonisch signaal Eerst of eenvoudig harmonische van het signaal. Alle andere componenten worden hogere harmonische componenten genoemd. Een harmonische waarvan de frequentie k maal groter is dan de eerste harmonische (en de periode dienovereenkomstig k maal kleiner) wordt genoemd

k - de harmonische. Ook wordt de gemiddelde waarde van de functie over de periode onderscheiden, deze wordt genoemd nul harmonisch. IN algemeen geval De Fourierreeks wordt geschreven als een som oneindig getal harmonische componenten van verschillende frequenties:

waarbij k het harmonische getal is; - hoekfrequentie van de k-de harmonische;

ω 1 = ω =2 π / T- hoekfrequentie van de eerste harmonische; - nulharmonisch.

Voor signalen van veel voorkomende vormen is de Fourierreeksuitbreiding te vinden in de gespecialiseerde literatuur. Tabel 2 toont decomposities voor acht periodieke golfvormen. Opgemerkt moet worden dat de uitbreidingen gegeven in Tabel 2 zullen plaatsvinden als de oorsprong van het coördinatensysteem wordt gekozen zoals aangegeven in de figuren links; bij het wijzigen van het begin van de tijd T de beginfasen van de harmonischen zullen veranderen, maar de amplitudes van de harmonischen zullen hetzelfde blijven. Afhankelijk van het type signaal dat wordt bestudeerd, moet V worden opgevat als een waarde gemeten in volt, als het een spanningssignaal is, of een waarde gemeten in ampère, als het een stroomsignaal is.

Fourierreeksuitbreiding van periodieke functies

tafel 2

De signalen 7 en 8 worden gegenereerd vanuit een sinusoïde door circuits die gebruik maken van klepelementen.

De verzameling harmonische componenten die een niet-sinusvormig signaal vormen, wordt het spectrum van dit niet-harmonische signaal genoemd. Van deze reeks harmonischen worden ze geïsoleerd en onderscheiden amplitude En fase bereik. Amplitudespectrum is een reeks amplitudes van alle harmonischen, die meestal wordt weergegeven door een diagram in de vorm van een reeks verticale lijnen, waarvan de lengte evenredig is (op een geselecteerde schaal) met de amplitudewaarden van de harmonische componenten, en de plaats op de horizontale as wordt bepaald door de frequentie (harmonisch getal) van deze component. Op dezelfde manier worden fasespectra beschouwd als een reeks beginfasen van alle harmonischen; ze worden ook op schaal weergegeven als een reeks verticale lijnen.

Opgemerkt moet worden dat de beginfasen in de elektrotechniek doorgaans worden gemeten in het bereik van –180 0 tot +180 0. Spectra bestaande uit individuele lijnen worden opgeroepen lineair of discreet. De spectraallijnen bevinden zich op afstand F van elkaar, waar F- frequentie-interval, gelijk aan frequentie eerste harmonische F Discrete spectra van periodieke signalen hebben dus spectrale componenten met meerdere frequenties - F, 2F, 3F, 4F, 5F enz.

Voorbeeld 2.1. Vind het amplitude- en fasespectrum voor een rechthoekig signaal wanneer de duur van de positieve en negatieve signalen gelijk zijn en de gemiddelde waarde van de functie over de periode nul is

Voor signalen van eenvoudige, veelgebruikte vormen is het raadzaam een ​​oplossing te vinden met behulp van tabellen.

Rijst. 2.2. Lijnamplitudespectrum van een rechthoekig signaal

Uit de Fourier-reeksuitbreiding van een rechthoekig signaal (zie Tabel 2 - 1) volgt dat de harmonische reeks alleen oneven harmonischen bevat, terwijl de amplitudes van de harmonischen afnemen evenredig met het harmonische getal. Het amplitudelijnspectrum van harmonischen wordt getoond in Fig. 2.2. Bij het construeren wordt ervan uitgegaan dat de amplitude van de eerste harmonische (hier spanning) gelijk is aan één volt: B; dan is de amplitude van de derde harmonische gelijk aan B, de vijfde - B, enz. De beginfasen van alle signaalharmonischen zijn gelijk aan nul, daarom heeft het fasespectrum alleen ordinaatwaarden nul.

Het probleem is opgelost.

Voorbeeld 2.2.Vind het amplitude- en fasespectrum voor een spanning die varieert volgens de wet: bij - T/4<T<T/4; u(T) = 0 bij T/4<T<3/4T. Een dergelijk signaal wordt gegenereerd uit een sinusoïde door het negatieve deel van het harmonische signaal te elimineren (door circuits die gebruik maken van klepelementen).

a)b)

Rijst. 2.3. Lijnspectrum van een halfgolf-gelijkrichtsignaal: a) amplitude; b) fase

Voor een halfgolf-gelijkrichtingssignaal met sinusoïdale spanning (zie tabellen 2 - 8) bevat de Fourier-serie een constante component (nul-harmonische), de eerste harmonische en vervolgens een reeks alleen even harmonischen, waarvan de amplitudes snel afnemen met toenemend harmonisch getal. Als we bijvoorbeeld de waarde V = 100 V invoeren, vinden we door elke term te vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke factor 2V/π(2.2)

De amplitude- en fasespectra van dit signaal worden getoond in figuur 2.3a, b.

Het probleem is opgelost.

In overeenstemming met de theorie van de Fourierreeksen vindt de exacte gelijkheid van een niet-harmonisch signaal aan de som van harmonischen alleen plaats voor een oneindig groot aantal harmonischen. Door de harmonische componenten op een computer te berekenen, kunt u een willekeurig aantal harmonischen analyseren, wat wordt bepaald door het doel van de berekening, de nauwkeurigheid en de vorm van het niet-harmonische effect. Als de signaalduurT ongeacht de vorm, veel minder dan de periode T, dan zullen de amplitudes van de harmonischen langzaam afnemen, en voor een meer volledige beschrijving van het signaal is het noodzakelijk om rekening te houden met een groot aantal termen uit de reeks. Dit kenmerk kan worden getraceerd voor de signalen weergegeven in Tabel 2 - 5 en 6, als aan de voorwaarde is voldaan τ <<T. Als een niet-harmonisch signaal qua vorm dicht bij een sinusoïde ligt (bijvoorbeeld de signalen 2 en 3 in Tabel 2), dan nemen de harmonischen snel af, en voor een nauwkeurige beschrijving van het signaal is het voldoende om ons te beperken tot drie tot vijf harmonischen van de serie.

Voorbeelden van uitbreiding van de Fourier-serie.

A) Rechthoekige pulssequentie .

Figuur 2. Volgorde van rechthoekige pulsen.

Dit signaal is een gelijkmatige functie en is handig in gebruik sinus-cosinus vorm Fourier-serie:

. (17)

De duur van de pulsen en hun herhalingsperiode zijn opgenomen in de resulterende formule in de vorm van een verhouding, die gewoonlijk wordt genoemd duty-cycle van de pulssequentie :.

. (18)

De waarde van de constante term van de reeks, rekening houdend met komt overeen met:

.

Weergave van een reeks rechthoekige pulsen in de vorm van een Fourier-reeks heeft de vorm:

. (19)

De grafiek van de functie heeft een lobbenpatroon.
Geplaatst op ref.rf
De horizontale as is gegradueerd in harmonische getallen en frequenties.

Fig 3. Weergave van een reeks rechthoekige pulsen

in de vorm van een Fourierreeks.

Bloemblaadje breedte, gemeten in het aantal harmonischen, is gelijk aan de duty-cycle (bij , hebben we , in het geval dat ). Dit impliceert een belangrijke eigenschap van het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen - daarin er zijn geen harmonischen met getallen die veelvouden zijn van de duty-cycle . De frequentieafstand tussen aangrenzende harmonischen is gelijk aan de pulsherhalingsfrequentie. De breedte van de lobben, gemeten in frequentie-eenheden, is , ᴛ.ᴇ. is omgekeerd evenredig met de duur van het signaal. We kunnen concluderen: hoe korter de puls, hoe breder het spectrum .

b) Hellingsignaal .

Fig. 4. Hellingsgolf.

Een zaagtandsignaal binnen een periode wordt beschreven door een lineaire functie

, . (20)

Dit signaal is een vreemde functie, en daarom bevat de Fourier-reeks in sinus-cosinusvorm alleen sinuscomponenten:

De Fourierreeks van het zaagtandsignaal heeft de vorm:

Het is belangrijk op te merken dat het voor de spectra van rechthoekige en zaagtandsignalen kenmerkend is dat de amplitudes van de harmonischen met toenemende getallen proportioneel afnemen .

V) Driehoekige pulssequentie .

De Fourierreeks heeft de vorm:

Figuur 5. Volgorde van driehoekige pulsen.

Zoals we kunnen zien, nemen bij een driehoekig periodiek signaal, in tegenstelling tot een reeks rechthoekige en zaagtandpulsen, de amplitudes van de harmonischen af ​​in verhouding tot de tweede macht van de harmonische getallen. Dit komt door het feit dat de snelheid van spectrumverval afhankelijk is van mate van signaalgladheid.

Lezing nr. 3. Fourier-transformatie.

Eigenschappen van de Fourier-transformatie.

Voorbeelden van uitbreiding van de Fourier-serie. - concept en typen. Classificatie en kenmerken van de categorie "Voorbeelden van uitbreiding van de Fourier-serie." 2017, 2018.

Analyse van een circuit in het tijdsdomein volgens de methode van toestandsvariabelen onder constante invloeden

4.1 Fourier-serie-uitbreiding van een gegeven periodieke pulsreeks

Het elektrische schakelschema, rekening houdend met Tabel 1, wordt weergegeven in Fig. 7.

Elke periodieke functie f(t) die aan de Dirichlet-voorwaarden voldoet, kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks. Laten we de periode van de functie aangeven met T, en de fundamentele frequentie met _. De Fourierreeks kan op twee manieren worden geschreven.

Eerste deelnameformulier:

Tweede opnamevorm:

In beide vormen is A 0 een constante component van de reeks; En k is de amplitude van de k-de harmonische van de reeks; k is de beginfase van de k-de harmonische;

Uit de formule van Euler volgt dat. Vandaar,

Hiermee rekening houdend kunnen we de Fourierreeks in complexe vorm schrijven.

Laten we een uitdrukking maken voor de complexe amplitude.

Hiermee rekening houdend, verkrijgen we een uitdrukking voor de periodieke functie van de tijd:

Als we de resulterende uitdrukking vergelijken met formule (12), verkrijgen we:

In dit opzicht is het in ons geval mogelijk om coëfficiënten te verkrijgen voor de elektrische vorm van registratie van de Fourier-reeks uit de waarden van de amplitude- en fasespectra verkregen in het vorige deel. We zullen het aantal benaderingstermen kiezen, rekening houdend met de breedte van het ingangssignaalspectrum.

Discrete amplitude- en fasespectra worden weergegeven in figuren 25 en 26. Hun berekeningen zijn samengevat in tabel 5.

"rechts">Tabel 5.

Amplitudes en fasen bij overeenkomstige harmonischen

Rijst. 25. Discreet amplitudespectrum van het ingangssignaal

Andronov-Hopf-splitsing

We krijgen het systeem: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 Eerste variatie van de bifurcatiewaarde > > Tijdens de oplossing hebben we 4 singuliere punten verkregen, beschouw elk ervan en hun type bepalen. Eerste singuliere punt > > > > > We vonden dat op het punt (0...

Discrete wiskunde

Laat F een binaire functie zijn van n variabelen. Laten we aannemen dat F niet identiek nul is. Laat T1, T2,…, Tk alle punten van zijn definitie zijn waarbij F=1. Er kan worden bewezen dat de volgende formule geldig is: , waarbij, j=1,2,…, k...

Differentiële eigenschappen van hyperbolische functies

Laten we de uitbreiding van de belangrijkste hyperbolische functies in een Taylorreeks in de buurt van een punt vinden, d.w.z. in een serie van een type genaamd de Maclaurin-serie. Exponentiële en hyperbolische functies Laten we dan voor elke...

Wiskundige ontwerpmethoden

Het is vereist om ruismodellering uit te voeren met de Rayleigh-kansverdelingswet en spreiding D=12, waarbij y=. Om ruisrealisaties te verkrijgen met een gegeven verdelingswet, wordt de inverse functiemethode gebruikt...

Genormeerde ruimtes

Interpolatietheorie heeft talloze toepassingen in de theorie van de Fourierreeksen. Definitie. Laat een periodieke functie zijn zodat. Een norm in de ruimte is een getal, en de Fourier-coëfficiënten van een functie zijn getallen...

Grondbeginselen van discrete wiskunde

Stelling 1. Elke logische functie kan worden weergegeven in een SDNF: , (1) waarbij m, en de disjunctie wordt overgenomen over alle 2m waardensets van de variabelen x1,...xm. De functie f wordt uitgebreid naar de eerste n-variabelen...

Fouriertransformatie en enkele van zijn toepassingen

(1) Fourier-integraalformule. Eerst introduceren we het concept van de hoofdwaarde van een integraal. Laat de functie integreerbaar zijn op elk segment van de getallenlijn. Definitie 1.1. Als er een eindige limiet is, (1...

Laten we het systeem eens bekijken. We zullen een systeem construeren met een gegeven even deel. Laat ons het even deel weten. Laten we de formule gebruiken en transformeren. Daarom kunnen we schrijven. Vanaf hier kunnen we weten waar de reflecterende functie van het systeem is...

Trigonometrische vergelijkingen

We reduceren de vergelijking tot de vorm f(x)=0 en stellen de linkerkant van de vergelijking voor als een product f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Vervolgens wordt deze vergelijking gereduceerd tot een reeks vergelijkingen: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Het moet onthouden worden...

Trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden

De factorisatiemethode is als volgt: als dan elke oplossing voor een vergelijking een oplossing is voor een reeks vergelijkingen. De omgekeerde bewering is over het algemeen onjuist: niet elke oplossing voor een reeks is een oplossing voor een vergelijking...

Elliptische Jacobi-functies

Omdat voor reële waarden van de argumenten de Jacobi-functies snu, cnu, dnu voldoen aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet, kan voor hen de overeenkomstige Fourier-reeks worden geconstrueerd. De functie f(x) voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden in het interval (?l,l)...

A) Rechthoekige pulssequentie .

Figuur 2. Volgorde van rechthoekige pulsen.

Dit signaal is een gelijkmatige functie en is handig in gebruik sinus-cosinus vorm Fourier-serie:

. (17)

De duur van de pulsen en hun herhalingsperiode zijn opgenomen in de resulterende formule in de vorm van een verhouding, die wordt genoemd duty-cycle van de pulssequentie :.

. (18)

De waarde van de constante term van de reeks, rekening houdend met komt overeen met:

.

Weergave van een reeks rechthoekige pulsen in de vorm van een Fourier-reeks heeft de vorm:

. (19)

De grafiek van de functie heeft een lobbenpatroon. De horizontale as is gegradueerd in harmonische getallen en frequenties.

Fig 3. Weergave van een reeks rechthoekige pulsen

in de vorm van een Fourierreeks.

Bloemblaadje breedte, gemeten in het aantal harmonischen, is gelijk aan de duty-cycle (bij , hebben we , if ). Dit impliceert een belangrijke eigenschap van het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen - daarin er zijn geen harmonischen met getallen die veelvouden zijn van de duty-cycle . De frequentieafstand tussen aangrenzende harmonischen is gelijk aan de pulsherhalingsfrequentie. De breedte van de lobben, gemeten in frequentie-eenheden, is gelijk aan , d.w.z. is omgekeerd evenredig met de duur van het signaal. We kunnen concluderen: hoe korter de puls, hoe breder het spectrum .

b) Hellingsignaal .

Fig. 4. Hellingsgolf.

Een zaagtandsignaal binnen een periode wordt beschreven door een lineaire functie

, . (20)

Dit signaal is een vreemde functie, daarom bevat de Fourier-reeks in sinus-cosinusvorm alleen sinuscomponenten:

De Fourierreeks van het zaagtandsignaal heeft de vorm:

Voor de spectra van rechthoekige en zaagtandsignalen is het kenmerkend dat de amplitudes van de harmonischen toenemen proportioneel afnemen .

V) Driehoekige pulssequentie .

De Fourierreeks heeft de vorm:

Figuur 5. Volgorde van driehoekige pulsen.

Zoals we kunnen zien, nemen bij een driehoekig periodiek signaal, in tegenstelling tot een reeks rechthoekige en zaagtandpulsen, de amplitudes van de harmonischen af ​​in verhouding tot de tweede macht van de harmonische getallen. Dit komt door het feit dat de snelheid van spectrumverval afhankelijk is van mate van signaalgladheid.

Lezing nr. 3. Fourier-transformatie.

Eigenschappen van de Fourier-transformatie.

Inleidende opmerkingen

We zullen uitdrukkingen van de Fourierreeks in trigonometrische en complexe vorm beschouwen, en ook aandacht besteden aan de Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourierreeks. Daarnaast zullen we in detail stilstaan ​​bij de uitleg van een dergelijk concept als de negatieve frequentie van het signaalspectrum, wat vaak problemen veroorzaakt bij het vertrouwd raken met de theorie van spectrale analyse.

Periodiek signaal. Trigonometrische Fourier-serie

Als voorbeeld toont Figuur 1 een reeks rechthoekige pulsen met een duur c, herhaald met een periode van c.

Figuur 1. Periodieke reeks

Rechthoekige pulsen

Uit de loop van de wiskundige analyse is bekend dat het systeem van trigonometrische functies bestaat

De Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourier-reeks vereisen dat een periodiek signaal op het segment wordt gespecificeerd en dat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:

Bijvoorbeeld de periodieke functie voldoet niet aan de Dirichlet-voorwaarden omdat de functie heeft discontinuïteiten van de tweede soort en neemt oneindige waarden aan, waarbij een willekeurig geheel getal is. De functie dus kan niet worden weergegeven door een Fourierreeks. Je kunt ook een voorbeeld van de functie geven , die beperkt is, maar ook niet voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden, omdat het een oneindig aantal extreme punten heeft als het nul nadert. Grafiek van een functie weergegeven in Figuur 2.

Figuur 2. Functiegrafiek :

A - twee herhalingsperioden; b - in de buurt

Figuur 2a toont twee herhalingsperioden van de functie , en in figuur 2b - het gebied in de buurt van . Het is duidelijk dat naarmate deze nul nadert, de oscillatiefrequentie oneindig toeneemt, en een dergelijke functie kan niet worden weergegeven door een Fourierreeks, omdat deze niet stuksgewijs monotoon is.

Opgemerkt moet worden dat er in de praktijk geen signalen zijn met oneindige stroom- of spanningswaarden. Functies met een oneindig aantal extremen van het type komen ook niet voor bij toegepaste problemen. Alle echte periodieke signalen voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden en kunnen worden weergegeven door een oneindige trigonometrische Fourier-reeks van de vorm:

In uitdrukking (2) specificeert de coëfficiënt de constante component van het periodieke signaal.

Op alle punten waar het signaal continu is, convergeert de Fourier-reeks (2) naar de waarden van het gegeven signaal, en op punten van discontinuïteit van de eerste soort - naar de gemiddelde waarde , waar en zijn de grenzen naar links en rechts van het discontinuïteitpunt.

Uit de loop van de wiskundige analyse is ook bekend dat het gebruik van een afgeknotte Fourierreeks, die alleen de eerste termen bevat in plaats van een oneindige som, leidt tot een benaderende weergave van het signaal:

Figuur 3. Benadering van signalen met behulp van een afgeknotte Fourier-reeks:

A - rechthoekige pulsen; b - zaagtandsignaal

Fourierreeksen in complexe vorm

Een periodiek signaal kan dus worden weergegeven door de som van een constante component en complexe exponentiële waarden die op frequenties roteren met coëfficiënten voor positieve frequenties, en voor complexe exponentiële waarden die op negatieve frequenties draaien.

Laten we eens kijken naar de coëfficiënten voor complexe exponentiële waarden die met positieve frequenties roteren:

Uitdrukkingen (6) en (7) vallen samen; bovendien kan de constante component ook worden geschreven via een complexe exponentiele frequentie nul:

Dus (5), rekening houdend met (6)-(8), kan worden weergegeven als een enkele som wanneer geïndexeerd van min oneindig tot oneindig:

Uitdrukking (9) is een Fourierreeks in complexe vorm. De coëfficiënten van de Fourierreeks in complexe vorm zijn gerelateerd aan de coëfficiënten van de reeks in trigonometrische vorm, en worden bepaald voor zowel positieve als negatieve frequenties. Het subscript in de frequentieaanduiding geeft het nummer van de discrete harmonische aan, waarbij negatieve subscripts overeenkomen met negatieve frequenties.

Uit uitdrukking (2) volgt dat voor een reëel signaal de coëfficiënten van reeks (2) ook reëel zijn. (9) associeert een reëel signaal echter met een reeks complexe conjugaatcoëfficiënten die verband houden met zowel positieve als negatieve frequenties.

Enkele verklaringen van de Fourierreeks in complexe vorm

Ten eerste is het werken met complexe exponenten in de meeste gevallen eenvoudiger dan het werken met goniometrische functies. Bij het vermenigvuldigen en delen van complexe exponenten volstaat het bijvoorbeeld om alleen de exponenten op te tellen (af te trekken), terwijl de formules voor het vermenigvuldigen en delen van goniometrische functies omslachtiger zijn.

Het differentiëren en integreren van exponentiële functies, zelfs complexe, is ook gemakkelijker dan trigonometrische functies, die voortdurend veranderen wanneer ze worden gedifferentieerd en geïntegreerd (sinus verandert in cosinus en omgekeerd).

Als het signaal periodiek en reëel is, lijkt de trigonometrische Fourierreeks (2) duidelijker, omdat alle uitzettingscoëfficiënten reëel blijven. Vaak heeft men echter te maken met complexe periodieke signalen (bij het moduleren en demoduleren wordt bijvoorbeeld gebruik gemaakt van een kwadratuurrepresentatie van de complexe omhullende). In dit geval zullen bij gebruik van de trigonometrische Fourier-reeks alle coëfficiënten en uitbreidingen (2) complex worden, terwijl bij gebruik van de Fourier-reeks in complexe vorm (9) dezelfde uitbreidingscoëfficiënten zullen worden gebruikt voor zowel reële als complexe ingangssignalen. .

En ten slotte is het noodzakelijk om stil te staan ​​bij de verklaring van de negatieve frequenties die in (9) verschenen. Deze vraag veroorzaakt vaak misverstanden. In het dagelijks leven komen we geen negatieve frequenties tegen. Wij stemmen onze radio bijvoorbeeld nooit af op een negatieve frequentie. Laten we de volgende analogie uit de mechanica eens bekijken. Laat er een mechanische veerslinger zijn die vrij oscilleert met een bepaalde frequentie. Kan een slinger oscilleren met een negatieve frequentie? Natuurlijk niet. Net zoals er geen radiostations zijn die op negatieve frequenties uitzenden, kan de frequentie van de trillingen van een slinger niet negatief zijn. Maar een veerslinger is een eendimensionaal object (de slinger beweegt langs één rechte lijn).

We kunnen ook een andere analogie uit de mechanica geven: een wiel dat draait met een frequentie van . Het wiel draait, in tegenstelling tot de slinger, d.w.z. een punt op het oppervlak van het wiel beweegt in een vlak en oscilleert niet eenvoudigweg langs één rechte lijn. Om de rotatie van het wiel uniek te specificeren, is het instellen van de rotatiesnelheid daarom niet voldoende, omdat het ook nodig is om de rotatierichting in te stellen. Dit is precies waarom we het frequentieteken kunnen gebruiken.

Dus als het wiel met een frequentie rad/s tegen de klok in draait, gaan we ervan uit dat het wiel met een positieve frequentie draait, en als het met de klok mee draait, dan is de rotatiefrequentie negatief. Voor een rotatiecommando is een negatieve frequentie dus niet langer onzin en geeft deze de draairichting aan.

En nu het belangrijkste dat we moeten begrijpen. De oscillatie van een eendimensionaal object (bijvoorbeeld een veerslinger) kan worden weergegeven als de som van de rotaties van twee vectoren, weergegeven in figuur 4.

Figuur 4. Oscillatie van een veerslinger

Als de som van de rotaties van twee vectoren

op het complexe vlak

De slinger oscilleert langs de reële as van het complexe vlak met een frequentie volgens de harmonische wet. De beweging van de slinger wordt weergegeven als een horizontale vector. De bovenste vector roteert op het complexe vlak met een positieve frequentie (tegen de klok in), en de onderste vector roteert met een negatieve frequentie (met de klok mee). Figuur 4 illustreert duidelijk de bekende relatie uit de cursus trigonometrie:

De Fourierreeks in complexe vorm (9) vertegenwoordigt dus periodieke eendimensionale signalen als een som van vectoren op het complexe vlak dat met positieve en negatieve frequenties roteert. Laten we tegelijkertijd opmerken dat in het geval van een reëel signaal, volgens (9), de expansiecoëfficiënten voor negatieve frequenties complex zijn geconjugeerd met de overeenkomstige coëfficiënten voor positieve frequenties. In het geval van een complex signaal geldt deze eigenschap van de coëfficiënten niet vanwege het feit dat en ook complex zijn.

Spectrum van periodieke signalen

Omdat periodieke signalen alleen in een rij op een vast frequentieraster worden weergegeven, is het spectrum van periodieke signalen lijnvormig (discreet).

Figuur 5. Spectrum van een periodieke reeks

Rechthoekige pulsen:

A - amplitudespectrum; b - fasespectrum

Figuur 5 toont een voorbeeld van de amplitude en het fasespectrum van een periodieke reeks rechthoekige pulsen (zie figuur 1) bij c, pulsduur c en pulsamplitude B.

Het amplitudespectrum van het oorspronkelijke reële signaal is symmetrisch ten opzichte van de nulfrequentie, en het fasespectrum is antisymmetrisch. Tegelijkertijd merken we op dat de waarden van het fasespectrum en corresponderen met hetzelfde punt in het complexe vlak.

We kunnen concluderen dat alle expansiecoëfficiënten van het gereduceerde signaal puur reëel zijn, en het fasespectrum komt overeen met negatieve coëfficiënten.

Houd er rekening mee dat de afmeting van het amplitudespectrum samenvalt met de afmeting van het signaal. Als het de verandering in spanning in de loop van de tijd beschrijft, gemeten in volt, dan zullen de amplitudes van de spectrumharmonischen ook de dimensie van volt hebben.

conclusies

We hebben gedetailleerd stilgestaan ​​bij de uitdrukking van de Fourierreeks in complexe vorm en hebben aangetoond dat periodieke signalen, zowel reëel als complex, worden weergegeven door een reeks complexe exponentiële waarden met positieve en negatieve frequenties. In dit geval zijn de expansiecoëfficiënten ook complex en karakteriseren ze het amplitude- en fasespectrum van het periodieke signaal.

In de volgende sectie zullen we meer in detail kijken naar de eigenschappen van de spectra van periodieke signalen.

Software-implementatie in de DSPL-bibliotheek