Formules van primitieve functiestabel voor studenten. Antiderivaat

In eerder materiaal werd de kwestie van het vinden van de afgeleide besproken en werden de verschillende toepassingen ervan getoond: het berekenen van de helling van een raaklijn aan een grafiek, het oplossen van optimalisatieproblemen, het bestuderen van functies voor monotoniciteit en extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Figuur 1.

Er werd ook rekening gehouden met het probleem van het vinden van de momentane snelheid $v(t)$ met behulp van de afgeleide langs een eerder bekend afgelegd pad, uitgedrukt door de functie $s(t)$.

Figuur 2.

Het omgekeerde probleem komt ook veel voor, wanneer je het pad $s(t)$ moet vinden dat door een tijdstip $t$ wordt doorlopen, terwijl je de snelheid van het punt $v(t)$ kent. Als we ons herinneren, wordt de momentane snelheid $v(t)$ gevonden als de afgeleide van de padfunctie $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Dit betekent dat je, om het inverse probleem op te lossen, dat wil zeggen het pad te berekenen, een functie moet vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan de snelheidsfunctie. Maar we weten dat de afgeleide van het pad de snelheid is, dat wil zeggen: $s’(t) = v(t)$. Snelheid is gelijk aan versnelling maal tijd: $v=at$. Het is eenvoudig vast te stellen dat de gewenste padfunctie de volgende vorm zal hebben: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Maar dit is niet helemaal een volledige oplossing. Volledige oplossing heeft de vorm: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, waarbij $C$ een constante is. Waarom dit zo is, zal verder worden besproken. Laten we voorlopig de juistheid van de gevonden oplossing controleren: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

Het is vermeldenswaard dat het vinden van een pad op basis van snelheid dat wel is fysieke betekenis primitief.

De resulterende functie $s(t)$ wordt de primitief van de functie $v(t)$ genoemd. Een behoorlijk interessante en ongebruikelijke naam, nietwaar. Daarin ligt heeft veel zin, wat de essentie verklaart dit concept en leidt tot het begrijpen ervan. U zult merken dat er twee woorden “eerste” en “afbeelding” in staan. Ze spreken voor zichzelf. Dat wil zeggen, dit is de functie die de initiële functie is voor de afgeleide die we hebben. En met behulp van deze afgeleide zoeken we naar de functie die aan het begin was, "eerste", "eerste afbeelding", dat wil zeggen antiderivatief. Het wordt soms ook een primitieve functie of primitief genoemd.

Zoals we al weten, wordt het proces van het vinden van de afgeleide differentiatie genoemd. En het proces van het vinden van de primitief heet integratie. De werking van integratie is het omgekeerde van de werking van differentiatie. Het omgekeerde is ook waar.

Definitie. Een primitieve voor een functie $f(x)$ op een bepaald interval is een functie $F(x)$ waarvan de afgeleide gelijk is aan deze functie $f(x)$ voor alle $x$ uit opgegeven interval: $F’(x)=f(x)$.

Iemand heeft misschien een vraag: waar komen $F(x)$ en $f(x)$ vandaan in de definitie, als we het aanvankelijk hadden over $s(t)$ en $v(t)$. Het punt is dat $s(t)$ en $v(t)$ speciale gevallen zijn van functienotaties die dat wel hebben in dit geval specifieke betekenis, dat wil zeggen dat het respectievelijk een functie van de tijd en een functie van de snelheid is. Hetzelfde geldt voor de variabele $t$: deze geeft tijd aan. En $f$ en $x$ zijn de traditionele variant van de algemene aanduiding van respectievelijk een functie en een variabele. Het is de moeite waard om speciale aandacht te besteden aan de notatie van de primitieve $F(x)$. Allereerst is $F$ kapitaal. Er worden antiderivaten aangewezen in hoofdletters. Ten tweede zijn de letters hetzelfde: $F$ en $f$. Dat wil zeggen, voor de functie $g(x)$ wordt de primitief aangegeven met $G(x)$, voor $z(x)$ – met $Z(x)$. Ongeacht de notatie zijn de regels voor het vinden van een primitieve functie altijd hetzelfde.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1. Bewijs dat de functie $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ een primitieve afgeleide is van de functie $f(x)=\cos5x$.

Om dit te bewijzen zullen we de definitie gebruiken, of beter gezegd het feit dat $F'(x)=f(x)$, en de afgeleide van de functie $F(x)$ vinden: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Dit betekent dat $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ de primitieve afgeleide is van $f(x)=\cos5x$. QED

Voorbeeld 2. Zoek welke functies overeenkomen met de volgende primitieve woorden: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Laten we, om de vereiste functies te vinden, hun afgeleiden berekenen:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Voorbeeld 3. Wat is de primitief voor $f(x)=0$?
Laten we de definitie gebruiken. Laten we eens kijken welke functie een afgeleide kan hebben die gelijk is aan $0$. Als we de tabel met afgeleiden in herinnering roepen, ontdekken we dat elke constante zo'n afgeleide zal hebben. We vinden dat de primitief waarnaar we op zoek zijn: $F(x)= C$ is.

De resulterende oplossing kan geometrisch en fysiek worden verklaard. Geometrisch betekent dit dat de raaklijn aan de grafiek $y=F(x)$ horizontaal is op elk punt van deze grafiek en daarom samenvalt met de $Ox$-as. Fysiek wordt dit verklaard door het feit dat een punt met een snelheid gelijk aan nul op zijn plaats blijft, dat wil zeggen dat het pad dat het heeft afgelegd ongewijzigd blijft. Op basis hiervan kunnen we de volgende stelling formuleren.

Stelling. (Teken van constantheid van functies). Als op een bepaald interval $F’(x) = 0$, dan is de functie $F(x)$ op dit interval constant.

Voorbeeld 4. Bepaal welke functies primitieve functies zijn van a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, waarbij $a$ een getal is.
Met behulp van de definitie van een primitief concluderen we dat we, om deze taak op te lossen, de afgeleiden moeten berekenen van de gegevens die we nodig hebben om het origineel te verkrijgen verschillende functies. Houd er bij het berekenen rekening mee dat de afgeleide van een constante, dat wil zeggen van elk getal, gelijk is aan nul.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Wat zien we? Verschillende functies zijn primitieven van dezelfde functie. Dit suggereert dat elke functie oneindig veel primitieve waarden heeft, en deze hebben de vorm $F(x) + C$, waarbij $C$ een willekeurige constante is. Dat wil zeggen dat de werking van integratie meerwaardig is, in tegenstelling tot de werking van differentiatie. Laten we op basis hiervan een stelling formuleren die de belangrijkste eigenschap van primitieve woorden beschrijft.

Stelling. (De belangrijkste eigenschap van primitieve middelen). Laat de functies $F_1$ en $F_2$ op een bepaald interval primitieve afgeleiden zijn van de functie $f(x)$. Dan geldt voor alle waarden uit dit interval de volgende gelijkheid: $F_2=F_1+C$, waarbij $C$ een constante is.

Het feit van de aanwezigheid van een oneindig aantal primitieve waarden kan geometrisch worden geïnterpreteerd. Met behulp van parallelle vertaling langs de $Oy$-as kan men van elkaar de grafieken van twee primitieve waarden voor $f(x)$ verkrijgen. Dit is de geometrische betekenis van de primitief.

Het is heel belangrijk om op te letten dat je door de constante $C$ te kiezen ervoor kunt zorgen dat de grafiek van de primitief door een bepaald punt gaat.

Figuur 3.

Voorbeeld 5. Zoek de primitief voor de functie $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, waarvan de grafiek door het punt $(3; 1)$ gaat.
Laten we eerst alle primitieve waarden voor $f(x)$ vinden: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Vervolgens vinden we een getal C waarvoor de grafiek $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ door het punt $(3; 1)$ gaat. Om dit te doen, vervangen we de coördinaten van het punt in de grafiekvergelijking en lossen we deze op voor $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
We hebben een grafiek $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ verkregen, die overeenkomt met de primitieve $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabel met primitieve namen

Een tabel met formules voor het vinden van primitieve afgeleiden kan worden samengesteld met behulp van formules voor het vinden van afgeleiden.

U kunt de juistheid van de tabel op de volgende manier controleren: zoek voor elke set primitieve getallen in de rechterkolom de afgeleide, die zal resulteren in de overeenkomstige functies in de linkerkolom.

Enkele regels voor het vinden van primitieve namen

Zoals u weet, hebben veel functies meer complexe uitstraling, in plaats van die aangegeven in de tabel met primitieve waarden, en kan elke willekeurige combinatie van sommen en producten van functies uit deze tabel vertegenwoordigen. En hier rijst de vraag: hoe primitieve getallen te berekenen vergelijkbare functies. Uit de tabel weten we bijvoorbeeld hoe we de primitieve getallen van $x^3$, $\sin x$ en $10$ moeten berekenen. Hoe kan men bijvoorbeeld de primitief $x^3-10\sin x$ berekenen? Vooruitkijkend is het de moeite waard om op te merken dat dit gelijk zal zijn aan $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Als $F(x)$ een primitief is voor $f(x)$, $G(x)$ voor $g(x)$, dan is voor $f(x)+g(x)$ de primitief gelijk aan $ F(x)+G(x)$.
2. Als $F(x)$ een primitief is voor $f(x)$ en $a$ een constante is, dan is voor $af(x)$ de primitief $aF(x)$.
3. Als voor $f(x)$ het primitief $F(x)$ is, $a$ en $b$ constanten zijn, dan is $\frac(1)(a) F(ax+b)$ het primitief voor $f (ax+b)$.
Met behulp van de verkregen regels kunnen we de tabel met primitieve woorden uitbreiden.

Voorbeeld 5. Vind primitieve woorden voor:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

De schoolalgebracursus omvat integratie en differentiatie. Om dit materiaal te bestuderen heb je nodig tabellen met afgeleiden en integralen. Om te begrijpen hoe u ze kunt gebruiken, moet u de basistermen definiëren.

Derivaat f(x) – karakteristiek voor de intensiteit van de verandering in de primitieve functie F(x) op elk punt in de grafiek. Het drukt de beperkende verhouding uit van de toenamen van een functie en zijn argument, die naar nul neigt. Als een functie op enig punt een eindige afgeleide heeft, is deze differentieerbaar. Het berekenen van de afgeleide is differentiatie.

Integraal∫ is de inverse van de afgeleide, die de grootte van het gebied van een bepaald deel van de grafiek uitdrukt. Het proces van integratie is het vinden van de primitieve functie.

Dezelfde functie kan meerdere primitieve woorden hebben. Bijvoorbeeld x^2. De belangrijkste primitieve waarden ervoor zijn x^3/3; x^3/3+1. Laatste cijfer aangegeven met de letter C en de formule is als volgt:

Als C een willekeurige waarde vertegenwoordigt, is de integraal onbepaald; als hij specifiek is, is hij definitief.

Tabellen met afgeleide functies en integrale tabellen helpt u snel en correct om te gaan met complexe wiskundige taken. Ze bevatten de meest gebruikte betekenissen, zodat leerlingen deze niet hoeven te onthouden groot aantal formules

Tabel met afgeleide functies

Naar benodigde materialen altijd bij de hand waren, kunt u een tabel met afgeleide formules downloaden . Het bevat formules voor het berekenen van afgeleiden van basis elementaire functies:

• trigonometrisch;
• logaritmisch;
• kalmeren;
• exponentieel.

Daarnaast is er een bijzondere tabel met afgeleiden van complexe functies. Het bevat ook formules voor het product van functies, hun som en quotiënt.

Tabel met onbepaalde en bepaalde integralen

Om integratietaken snel en correct uit te voeren, kunt u dat doen Download tabellen met integralen, die alle meest gebruikte formules bevat. Ze bestaan ​​uit twee kolommen: de eerste bevat wiskundige formules, de tweede is schriftelijke uitleg.

De tabellen zijn incl fundamentele integralen de volgende functies:

• rationeel;
• exponentieel;
• logaritmisch;
• irrationeel;
• trigonometrisch;
• hyperbolisch.

Daarnaast kunt u een tabel met onbepaalde integralen downloaden.

Spiekbriefjes met tabellen met integralen en afgeleiden

Veel leraren eisen dat leerlingen complexe formules uit het hoofd leren. De gemakkelijkste manier om te onthouden is constante oefening, en om ervoor te zorgen dat de benodigde materialen bij de hand zijn, moet je ze afdrukken.

Cheatsheet met afgeleide tabellen en integralen helpen u snel alle benodigde formules te onthouden en met succes examens af te leggen. Om het compact en gebruiksvriendelijk te maken, moet u het A5-formaat kiezen: een half gewoon vel.

Op deze pagina vindt u:

1. Eigenlijk kan de tabel met primitieve waarden worden gedownload van PDF-formaat en afdrukken;

2. Video over het gebruik van deze tafel;

3. Een aantal voorbeelden van het berekenen van de primitief uit verschillende leerboeken en tests.

In de video zelf zullen we veel problemen analyseren waarbij je primitieve functies van functies moet berekenen, vaak behoorlijk complex, maar het belangrijkste is dat het geen machtsfuncties zijn. Alle functies die in de hierboven voorgestelde tabel zijn samengevat, moeten, net als afgeleiden, uit het hoofd bekend zijn. Zonder hen is verdere studie van integralen en hun toepassing om praktische problemen op te lossen onmogelijk.

Vandaag blijven we primitieven bestuderen en gaan we verder met een iets complexer onderwerp. Als we de vorige keer alleen primitieve waarden van machtsfuncties en iets complexere constructies beschouwden, zullen we vandaag kijken naar trigonometrie en nog veel meer.

Zoals ik in de vorige les al zei, worden primitieve afgeleiden, in tegenstelling tot afgeleiden, nooit “ronduit” opgelost met behulp van welke methode dan ook standaard regels. Bovendien, slecht nieuws is dat, in tegenstelling tot een derivaat, een primitief helemaal niet in overweging kan worden genomen. Als we absoluut schrijven willekeurige functie en we proberen de afgeleide ervan te vinden, dan zullen we met een zeer grote waarschijnlijkheid slagen, maar in dit geval zal de primitief vrijwel nooit worden berekend. Maar dat is er ook goed nieuws: Er is een vrij grote klasse functies die elementaire functies worden genoemd en waarvan de primitieve functies heel eenvoudig te berekenen zijn. En alle anderen zijn meer complexe ontwerpen, die bij allerlei soorten toetsen worden gegeven, onafhankelijke toetsen en examens bestaan ​​in feite uit deze elementaire functies door middel van optellen, aftrekken en andere eenvoudige bewerkingen. De prototypes van dergelijke functies zijn al lang berekend en verzameld in speciale tabellen. Met deze functies en tabellen gaan we vandaag aan de slag.

Maar we beginnen, zoals altijd, met een herhaling: laten we onthouden wat een primitief is, waarom er oneindig veel van zijn en hoe we ze kunnen definiëren algemeen beeld. Om dit te doen, heb ik twee eenvoudige problemen opgepikt.

Eenvoudige voorbeelden oplossen

Voorbeeld #1

Laten we meteen opmerken dat $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ en in het algemeen de aanwezigheid van $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ geeft ons meteen een hint dat de vereiste primitief van de functie verband houdt met trigonometrie. En inderdaad, als we naar de tabel kijken, zullen we ontdekken dat $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ niets meer is dan $\text(arctg)x$. Dus laten we het opschrijven:

Om te vinden, moet je het volgende opschrijven:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Voorbeeld nr. 2

Hier ook waar we het over hebben over goniometrische functies. Als we naar de tabel kijken, dan gebeurt er inderdaad dit:

We moeten uit de hele reeks primitieve woorden degene vinden die door het aangegeven punt gaat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Laten we het eindelijk opschrijven:

Zo simpel is het. Het enige probleem is dat om de primitieve woorden te tellen eenvoudige functies, moet je de tabel met primitieve woorden leren. Nadat ik de afgeleide tabel voor u heb bestudeerd, denk ik echter dat dit geen probleem zal zijn.

Problemen oplossen die een exponentiële functie bevatten

Laten we om te beginnen de volgende formules schrijven:

\[((e)^(x))\naar ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Laten we eens kijken hoe dit allemaal in de praktijk werkt.

Voorbeeld #1

Als we naar de inhoud van de haakjes kijken, zullen we merken dat er in de tabel met primitieve woorden niet zo'n uitdrukking bestaat voor $((e)^(x))$ om in een vierkant te staan, dus dit vierkant moet worden uitgebreid. Om dit te doen, gebruiken we de verkorte vermenigvuldigingsformules:

Laten we de primitief voor elk van de termen vinden:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Laten we nu alle termen in één enkele uitdrukking verzamelen en de algemene primitief verkrijgen:

Voorbeeld nr. 2

Deze keer is de graad groter, dus de verkorte vermenigvuldigingsformule zal behoorlijk complex zijn. Dus laten we de haakjes openen:

Laten we nu proberen de primitief van onze formule uit deze constructie te halen:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds of bovennatuurlijks aan de primitieve woorden van de exponentiële functie. Ze worden allemaal berekend aan de hand van tabellen, maar oplettende leerlingen zullen waarschijnlijk opmerken dat de primitief $((e)^(2x))$ veel dichter bij gewoon $((e)^(x))$ ligt dan bij $((a )^(x))$. Dus misschien is er een specialere regel die het mogelijk maakt, als je de primitieve $((e)^(x))$ kent, $((e)^(2x))$ te vinden? Ja, zo’n regel bestaat. En bovendien is het een integraal onderdeel van het werken met de tabel met primitieve waarden. We zullen het nu analyseren met behulp van dezelfde uitdrukkingen waarmee we zojuist als voorbeeld hebben gewerkt.

Regels voor het werken met de tabel met primitieve woorden

Laten we onze functie opnieuw schrijven:

In het vorige geval gebruikten we de volgende formule om op te lossen:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatornaam(lna))\]

Maar laten we het nu een beetje anders doen: laten we onthouden op welke basis $((e)^(x))\tot ((e)^(x))$. Zoals ik al zei, omdat de afgeleide $((e)^(x))$ niets meer is dan $((e)^(x))$, zal de primitieve afgeleide gelijk zijn aan dezelfde $((e) ^ (x))$. Maar het probleem is dat we $((e)^(2x))$ en $((e)^(-2x))$ hebben. Laten we nu proberen de afgeleide van $((e)^(2x))$ te vinden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Laten we onze constructie opnieuw herschrijven:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Dit betekent dat wanneer we de primitief $((e)^(2x))$ vinden, we het volgende krijgen:

\[((e)^(2x))\naar \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Zoals je kunt zien, kregen we hetzelfde resultaat als voorheen, maar we hebben de formule niet gebruikt om $((a)^(x))$ te vinden. Dit lijkt misschien stom: waarom de berekeningen ingewikkeld maken als er een standaardformule is? Bij iets complexere uitdrukkingen zul je echter merken dat deze techniek zeer effectief is, d.w.z. het gebruik van derivaten om antiderivatieven te vinden.

Laten we als opwarmertje de primitief van $((e)^(2x))$ op een vergelijkbare manier vinden:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bij het berekenen wordt onze constructie als volgt geschreven:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

We kregen precies hetzelfde resultaat, maar sloegen een ander pad in. Het is dit pad, dat ons nu iets ingewikkelder lijkt, dat in de toekomst effectiever zal blijken te zijn voor het berekenen van complexere primitieve waarden en het gebruik van tabellen.

Let op! Dit is erg belangrijk punt: primitieve afgeleiden kunnen, net als derivaten, als een verzameling worden beschouwd op verschillende manieren. Als alle berekeningen en berekeningen echter gelijk zijn, zal het antwoord hetzelfde zijn. We hebben dit zojuist gezien in het voorbeeld van $((e)^(-2x))$ - aan de ene kant hebben we dit primitief “door en door” berekend, met behulp van de definitie en berekend met behulp van transformaties, aan de andere kant: we herinnerden ons dat $ ((e)^(-2x))$ kan worden weergegeven als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ en alleen toen gebruikten we de primitief voor de functie $( (a)^(x))$. Na alle transformaties was het resultaat echter hetzelfde, zoals verwacht.

En nu we dit allemaal begrijpen, is het tijd om verder te gaan met iets belangrijkers. Nu zullen we twee eenvoudige constructies analyseren, maar de techniek die zal worden gebruikt bij het oplossen ervan is krachtiger en handig hulpmiddel, in plaats van eenvoudigweg tussen aangrenzende primitieve woorden uit de tabel te ‘rennen’.

Probleemoplossing: het vinden van de primitief van een functie

Voorbeeld #1

Laten we het bedrag dat in de tellers staat, opsplitsen in drie afzonderlijke breuken:

Dit is een vrij natuurlijke en begrijpelijke overgang; de meeste studenten hebben er geen problemen mee. Laten we onze uitdrukking als volgt herschrijven:

Laten we nu deze formule onthouden:

In ons geval krijgen we het volgende:

Om al deze breuken van drie verdiepingen kwijt te raken, stel ik voor om het volgende te doen:

Voorbeeld nr. 2

In tegenstelling tot de vorige breuk is de noemer geen product, maar een som. In dit geval kunnen we onze breuk niet langer verdelen in de som van verschillende eenvoudige breuken, maar moeten we er op de een of andere manier voor zorgen dat de teller ongeveer dezelfde uitdrukking bevat als de noemer. In dit geval is het vrij eenvoudig om het te doen:

Deze notatie, die in wiskundige taal ‘het toevoegen van een nul’ wordt genoemd, stelt ons in staat de breuk opnieuw in twee delen te verdelen:

Laten we nu eens kijken wat we zochten:

Dat zijn alle berekeningen. Ondanks de ogenschijnlijk grotere complexiteit dan bij het vorige probleem, bleek het aantal berekeningen nog kleiner te zijn.

Nuances van de oplossing

En dit is waar de grootste moeilijkheid bij het werken met tabellarische primitieve woorden ligt, dit is vooral merkbaar in de tweede taak. Feit is dat we, om enkele elementen te selecteren die gemakkelijk via de tabel kunnen worden berekend, moeten weten waar we precies naar op zoek zijn, en het is in de zoektocht naar deze elementen dat de hele berekening van primitieve waarden bestaat.

Met andere woorden, het is niet voldoende om alleen de tabel met primitieve waarden uit het hoofd te leren - je moet iets kunnen zien dat nog niet bestaat, maar ook wat de auteur en samensteller van dit probleem bedoelde. Dat is de reden waarom veel wiskundigen, leraren en professoren voortdurend betogen: “Wat is het gebruik van primitieve waarden of integratie – is het slechts een hulpmiddel of is het een echte kunst?” In feite is integratie naar mijn persoonlijke mening helemaal geen kunst; er zit niets verhevens in, het is alleen maar oefenen en nog eens oefenen. En om te oefenen, laten we nog drie serieuze voorbeelden oplossen.

Wij trainen in integratie in de praktijk

Taak nr. 1

Laten we de volgende formules schrijven:

\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\naar \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Laten we het volgende schrijven:

Probleem nr. 2

Laten we het als volgt herschrijven:

De totale primitief zal gelijk zijn aan:

Taak nr. 3

De moeilijkheid van deze taak is dat er, in tegenstelling tot de voorgaande functies hierboven, helemaal geen variabele $x$ is, d.w.z. het is ons niet duidelijk wat we moeten toevoegen of aftrekken om op zijn minst iets te krijgen dat lijkt op wat hieronder staat. In feite wordt deze uitdrukking echter als zelfs eenvoudiger beschouwd dan welke uitdrukking dan ook uit de voorgaande constructies, omdat deze functie kan als volgt worden herschreven:

Je kunt je nu afvragen: waarom zijn deze functies gelijk? Laten we eens kijken:

Laten we het nog eens herschrijven:

Laten we onze uitdrukking een beetje transformeren:

En als ik dit allemaal aan mijn studenten uitleg, ontstaat vrijwel altijd hetzelfde probleem: bij de eerste functie is alles min of meer duidelijk, bij de tweede kun je er ook met geluk of oefening achter komen, maar wat voor alternatief bewustzijn heb je? nodig hebben om het derde voorbeeld op te lossen? Wees eigenlijk niet bang. De techniek die we hebben gebruikt bij het berekenen van de laatste primitief wordt "ontleding van een functie in zijn eenvoudigste" genoemd, en dit is een zeer serieuze techniek, en er zal een aparte videoles aan worden gewijd.

In de tussentijd stel ik voor om terug te keren naar wat we zojuist hebben bestudeerd, namelijk naar exponentiële functies, en de problemen enigszins te compliceren met hun inhoud.

Complexere problemen voor het oplossen van primitieve exponentiële functies

Taak nr. 1

Laten we het volgende opmerken:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Om de primitief van deze uitdrukking te vinden, gebruikt u eenvoudigweg de standaardformule - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In ons geval zal het primitief er als volgt uitzien:

Vergeleken met het ontwerp dat we zojuist hebben opgelost, ziet dit er natuurlijk eenvoudiger uit.

Probleem nr. 2

Nogmaals, het is gemakkelijk in te zien dat deze functie gemakkelijk in twee afzonderlijke termen kan worden verdeeld: twee afzonderlijke breuken. Laten we herschrijven:

Het blijft nodig om de primitief van elk van deze termen te vinden met behulp van de hierboven beschreven formule:

Ondanks de schijnbaar grotere complexiteit van exponentiële functies in vergelijking met machtsfuncties, bleek het totale volume aan berekeningen en berekeningen veel eenvoudiger.

Natuurlijk voor deskundige studenten wat we zojuist hebben besproken (vooral tegen de achtergrond van wat we tot nu toe hebben besproken) lijken misschien elementaire uitdrukkingen. Toen ik deze twee taken voor de videoles van vandaag koos, heb ik mezelf echter niet ten doel gesteld je nog een complexe en geavanceerde techniek te vertellen. Het enige wat ik je wilde laten zien is dat je niet bang moet zijn om deze te gebruiken. standaard technieken algebra voor het transformeren van originele functies.

Met behulp van een "geheime" techniek

Tot slot zou ik willen kijken naar een andere interessante techniek, die enerzijds buiten het bereik valt van wat we vandaag voornamelijk hebben besproken, maar anderzijds in de eerste plaats helemaal niet ingewikkeld is, d.w.z. zelfs beginnende studenten kunnen het onder de knie krijgen, en ten tweede wordt het vrij vaak aangetroffen op allerlei soorten tests en tests. zelfstandig werk, d.w.z. kennis ervan zal zeer nuttig zijn naast kennis van de tabel met primitieve woorden.

Taak nr. 1

Het is duidelijk dat we iets hebben dat erg lijkt op een machtsfunctie. Wat moeten we in dit geval doen? Laten we er eens over nadenken: $x-5$ verschilt niet zoveel van $x$ - ze hebben er gewoon $-5$ aan toegevoegd. Laten we het zo schrijven:

\[((x)^(4))\naar \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Laten we proberen de afgeleide van $((\left(x-5 \right))^(5))$ te vinden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Hieruit volgt:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

Een dergelijke waarde bestaat niet in de tabel, dus hebben we deze formule nu zelf afgeleid met behulp van de standaard primitieve formule voor een machtsfunctie. Laten we het antwoord als volgt schrijven:

Probleem nr. 2

Veel studenten die naar de eerste oplossing kijken, denken misschien dat alles heel eenvoudig is: vervang gewoon $x$ in de machtsfunctie door een lineaire uitdrukking, en alles zal op zijn plaats vallen. Helaas is alles niet zo eenvoudig, en nu zullen we dit zien.

Naar analogie met de eerste uitdrukking schrijven we het volgende:

\[((x)^(9))\naar \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Terugkerend naar onze afgeleide kunnen we schrijven:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Dit volgt onmiddellijk:

Nuances van de oplossing

Let op: als er de vorige keer niets wezenlijks veranderde, verscheen in het tweede geval $-30$ in plaats van $-10$. Wat is het verschil tussen $-10$ en $-30$? Uiteraard met een factor $ -3 $. Vraag: waar kwam het vandaan? Als je goed kijkt, zie je dat deze is genomen als resultaat van het berekenen van de afgeleide complexe functie— de coëfficiënt die $x$ bedroeg, verschijnt in de primitieve hieronder. Dit is erg belangrijke regel, die ik aanvankelijk helemaal niet van plan was te bespreken in de video-tutorial van vandaag, maar zonder dit zou de presentatie van tabellarische primitieve woorden onvolledig zijn.

Dus laten we het nog een keer doen. Laat er onze belangrijkste machtsfunctie zijn:

\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Laten we nu, in plaats van $x$, de uitdrukking $kx+b$ vervangen. Wat zal er dan gebeuren? We moeten het volgende vinden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Op welke gronden beweren wij dit? Heel eenvoudig. Laten we de afgeleide van de hierboven geschreven constructie vinden:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\links(kx+b \rechts))^(n))\]

Dit is dezelfde uitdrukking die oorspronkelijk bestond. Deze formule is dus ook correct en kan worden gebruikt als aanvulling op de tabel met primitieve waarden, of het is beter om eenvoudigweg de hele tabel uit het hoofd te leren.

Conclusies uit het “geheim: techniek:

• Beide functies waar we zojuist naar hebben gekeken, kunnen in feite worden teruggebracht tot de primitieve waarden die in de tabel worden aangegeven door de graden uit te breiden, maar als we op de een of andere manier met de vierde graad om kunnen gaan, dan zou ik de negende graad niet eens overwegen. durfde te onthullen.
• Als we de graden zouden uitbreiden, zouden we eindigen met zo'n hoeveelheid berekeningen dat een eenvoudige taak ons ​​ongepast veel tijd zou kosten.
• Dat is de reden waarom dergelijke problemen, die lineaire uitdrukkingen bevatten, niet ‘overhaast’ hoeven te worden opgelost. Zodra je een primitief tegenkomt dat alleen verschilt van degene in de tabel door de aanwezigheid van de uitdrukking $kx+b$ erin, onthoud dan onmiddellijk de hierboven geschreven formule, vervang deze door het primitief van je tabel, en alles zal veel opleveren. sneller en gemakkelijker.

Vanwege de complexiteit en ernst van deze techniek zullen we uiteraard in toekomstige videolessen nog vele malen op de overweging ervan terugkomen, maar dat is alles voor vandaag. Ik hoop dat deze les de leerlingen die primitieve waarden en integratie willen begrijpen, echt zal helpen.