Wiskundige bewerkingen: de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten. "de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten"

In deze les leren we over de regels voor bracketing gemeenschappelijke vermenigvuldiger, laten we leren het te vinden diverse voorbeelden en uitdrukkingen. Laten we praten over hoe eenvoudige bediening Als u de gemeenschappelijke factor tussen haakjes plaatst, kunt u de berekeningen vereenvoudigen. We zullen de verworven kennis en vaardigheden consolideren door te kijken naar voorbeelden van verschillende complexiteiten.

Wat is een gemeenschappelijke factor, waarom zoeken en met welk doel wordt het tussen haakjes gezet? Laten we deze vragen beantwoorden door naar een eenvoudig voorbeeld te kijken.

Laten we de vergelijking oplossen. Linkerkant vergelijking is een polynoom dat uit soortgelijke termen bestaat. Het lettergedeelte is gemeenschappelijk voor deze termen, wat betekent dat dit de gemeenschappelijke factor zal zijn. Laten we het tussen haakjes zetten:

IN in dit geval Door de gemeenschappelijke factor buiten beschouwing te laten, konden we de polynoom in een monomiaal omzetten. Zo konden we de polynoom vereenvoudigen en de transformatie ervan hielp ons de vergelijking op te lossen.

In het beschouwde voorbeeld was de gemeenschappelijke factor duidelijk, maar zou het zo gemakkelijk zijn om deze in een willekeurige polynoom te vinden?

Laten we de betekenis van de uitdrukking vinden: .

IN in dit voorbeeld Door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen, werd de berekening aanzienlijk vereenvoudigd.

Laten we nog een voorbeeld oplossen. Laten we de deelbaarheid in uitdrukkingen bewijzen.

De resulterende uitdrukking is deelbaar door , zoals moet worden bewezen. Opnieuw konden we door de gemeenschappelijke factor te nemen het probleem oplossen.

Laten we nog een voorbeeld oplossen. Laten we bewijzen dat de uitdrukking deelbaar is door voor elk natuurlijk getal: .

De uitdrukking is het product van twee aangrenzende natuurlijke getallen. Eén van de twee getallen zal beslist even zijn, wat betekent dat de uitdrukking deelbaar is door .

We hebben het opgelost verschillende voorbeelden, maar ze gebruikten dezelfde oplossingsmethode: ze haalden de gemeenschappelijke factor tussen haakjes. We zien dat deze eenvoudige handeling de berekeningen enorm vereenvoudigt. Het was gemakkelijk om een ​​gemeenschappelijke factor voor deze speciale gevallen te vinden, maar wat te doen algemeen geval, voor een willekeurige polynoom?

Bedenk dat een polynoom een ​​som is van monomialen.

Beschouw het polynoom . Dit polynoom is de som van twee monomialen. Een monomiaal is het product van een getal, een coëfficiënt en een lettergedeelte. In ons polynoom wordt dus elk monomiaal weergegeven door het product van een getal en machten, het product van factoren. De factoren kunnen voor alle monomialen hetzelfde zijn. Het zijn deze factoren die moeten worden bepaald en uit de beugel moeten worden gehaald. Eerst vinden we de gemeenschappelijke factor voor de coëfficiënten, die gehele getallen zijn.

Het was gemakkelijk om de gemeenschappelijke factor te vinden, maar laten we de ggd van de coëfficiënten definiëren: .

Laten we naar een ander voorbeeld kijken: .

Laten we eens kijken waarmee we de gemeenschappelijke factor kunnen bepalen uitdrukking gegeven: .

We hebben een regel afgeleid voor gehele coëfficiënten. Je moet hun ggd vinden en deze uit de beugel halen. Laten we deze regel consolideren door nog een voorbeeld op te lossen.

We hebben gekeken naar de regel voor het toekennen van een gemeenschappelijke factor voor gehele coëfficiënten, laten we verder gaan met het lettergedeelte. Eerst zoeken we naar de letters die in alle monomials voorkomen, en vervolgens bepalen we de hoogste graad van de letter die in alle monomials voorkomt: .

In dit voorbeeld was er slechts één gemeenschappelijke lettervariabele, maar er kunnen er meerdere zijn, zoals in het volgende voorbeeld:

Laten we het voorbeeld ingewikkelder maken door het aantal monomials te vergroten:

Nadat we de gemeenschappelijke factor eruit hadden gehaald, hebben we de algebraïsche som omgezet in een product.

We hebben de aftrekregels voor gehele coëfficiënten en lettervariabelen afzonderlijk bekeken, maar meestal moet je ze samen toepassen om het voorbeeld op te lossen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

Soms kan het moeilijk zijn om te bepalen welke uitdrukking tussen haakjes staat. Laten we eens kijken naar een eenvoudige truc waarmee u dit probleem snel kunt oplossen.

De gemeenschappelijke factor kan ook de gewenste waarde zijn:

De gemeenschappelijke factor kan niet alleen een getal of een monomiaal zijn, maar ook elke uitdrukking, zoals in de volgende vergelijking.

Wiskundeles in groep 7

8. Lesdoelen

Voor de leraar:

leerzaam

educatieve activiteiten organiseren:

Door het algoritme onder de knie te krijgen om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten en de logica van de constructie ervan te begrijpen;

Het vermogen ontwikkelen om het algoritme toe te passen om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen

ontwikkelen

voorwaarden creëren voor de ontwikkeling van regelgevingsvaardigheden:

Bepaal je eigen doelen schoolactiviteiten;

Plan manieren om doelen te bereiken;

Correleer uw acties met de geplande resultaten;

Monitoren en evalueren van onderwijsactiviteiten op basis van resultaten;

Organiseer educatieve samenwerking en gezamenlijke activiteiten met de leraar en medestudenten.

- leerzaam

Voorwaarden scheppen voor de vorming van een verantwoordelijke houding ten opzichte van leren;

Creëer voorwaarden voor de ontwikkeling van de onafhankelijkheid van studenten bij het organiseren en uitvoeren van hun onderwijsactiviteiten.

Schep voorwaarden voor patriottisch onderwijs

Voorwaarden scheppen voor milieueducatie

Voor studenten:

Beheers het algoritme om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten en begrijp de logica van de constructie ervan;

Ontwikkel het vermogen om het algoritme toe te passen om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen

9. Gebruikte UUD's: regelgeving (het stellen van doelen, planning van activiteiten, controle en evaluatie)

10.Lestype: nieuwe stof leren

11. Vormen van studentenwerk: frontaal, stoombad, individueel

12. Nodig Technisch materiaal: computer, projector, leslogo, wiskundeboeken, elektronische presentatie, gemaakt in Krachtprogramma Punt, hand-out

Lesstructuur en -stroom

Definitie 1

Laten we het eerst onthouden Regels voor het vermenigvuldigen van een monomial met een monomial:

Om een ​​monomial met een monomial te vermenigvuldigen, moet je eerst de coëfficiënten van de monomials vermenigvuldigen en vervolgens, met behulp van de regel van het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, de variabelen vermenigvuldigen die in de monomials zijn opgenomen.

voorbeeld 1

Zoek het product van de monomialen $(2x)^3y^2z$ en $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Oplossing:

Laten we eerst het product van de coëfficiënten berekenen

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ in deze taak gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van een getal met een breuk - om een ​​geheel getal met een breuk te vermenigvuldigen, heb je nodig om het getal te vermenigvuldigen met de teller van de breuk, en de noemer zonder wijzigingen te plaatsen

Laten we nu de hoofdeigenschap van een breuk gebruiken: de teller en de noemer van een breuk kunnen worden gedeeld door hetzelfde getal, verschillend van $0$. Laten we de teller en de noemer van deze breuk delen door $2$, dat wil zeggen, deze breuk verkleinen met $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$

Het resulterende resultaat bleek een onechte breuk te zijn, dat wil zeggen een breuk waarin de teller groter is dan de noemer.

Laten we deze breuk transformeren door het hele deel te isoleren. Laten we niet vergeten dat om een ​​geheel getal te isoleren, het nodig is om de rest van de deling op te schrijven in de teller van het gebroken deel, en de deler in de noemer.

We hebben de coëfficiënt van het toekomstige product gevonden.

Nu gaan we de variabelen $x^3\cdot x^2=x^5$ opeenvolgend vermenigvuldigen,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Hier gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Het resultaat van het vermenigvuldigen van monomialen zal dan zijn:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Dan gebaseerd op van deze regel je kunt de volgende taak uitvoeren:

Voorbeeld 2

Geef een gegeven polynoom weer als het product van een polynoom en een monomiaal $(4x)^3y+8x^2$

Laten we elk van de monomialen in de polynoom voorstellen als het product van twee monomialen om een ​​gemeenschappelijke monomial te isoleren, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial.

Laten we eerst beginnen met de eerste monomial $(4x)^3y$. Laten we de coëfficiënt ontbinden in eenvoudige factoren: $4=2\cdot 2$. We zullen hetzelfde doen met de coëfficiënt van de tweede monomiaal $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Merk op dat twee factoren $2\cdot 2$ zijn opgenomen in zowel de eerste als de tweede coëfficiënt, wat betekent dat $2\cdot 2=4$ - dit getal zal worden opgenomen in de algemene monomial als een coëfficiënt

Laten we nu opmerken dat er in de eerste monomiaal $x^3$ is, en in de tweede is er dezelfde variabele tot de macht $2:x^2$. Dit betekent dat het handig is om de variabele $x^3$ als volgt weer te geven:

De variabele $y$ is slechts in één term van de polynoom opgenomen, wat betekent dat deze niet in de algemene monomiaal kan worden opgenomen.

Laten we ons de eerste en tweede monomiaal in de polynoom voorstellen als een product:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Merk op dat de gemeenschappelijke monomial, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial, $4x^2$ is.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nu passen we de distributieve wet van vermenigvuldiging toe, waarna de resulterende uitdrukking kan worden weergegeven als een product van twee factoren. Eén van de vermenigvuldigers is de totale vermenigvuldiger: $4x^2$ en de andere is de som van de resterende vermenigvuldigers: $xy + 2$. Middelen:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Deze methode heet factoriseren door er een gemeenschappelijke factor uit te halen.

De gemeenschappelijke factor in dit geval was de monomial $4x^2$.

Algoritme

Notitie 1

Vind de grootste gemene deler van de coëfficiënten van alle monomialen die in de polynoom zijn opgenomen - dit zal de coëfficiënt zijn van de gemeenschappelijke factor-monomiaal, die we tussen haakjes zullen zetten

Een monomial bestaande uit de coëfficiënt uit paragraaf 2 en de variabelen uit paragraaf 3 zal een gemeenschappelijke factor zijn. die als gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden verwijderd.

Voorbeeld 3

Neem de gemeenschappelijke factor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Oplossing:

Laten we de ggd van de coëfficiënten vinden; hiervoor zullen we de coëfficiënten ontleden in eenvoudige factoren

$45=3\cdot 3\cdot 5$

En we vinden het product van degenen die zijn opgenomen in de uitbreiding van elk:

Identificeer de variabelen waaruit elke monomiaal bestaat en selecteer de variabele met de kleinste exponent

$a^3=a^2\cdot a$

De variabele $b$ is alleen opgenomen in de tweede en derde monomial, wat betekent dat deze niet wordt opgenomen in de gemeenschappelijke factor.

Laten we een monomiaal samenstellen bestaande uit de coëfficiënt gevonden in stap 2, de variabelen gevonden in stap 3, we krijgen: $3a$ - dit zal de gemeenschappelijke factor zijn. Dan:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Definitie 1

Laten we het eerst onthouden Regels voor het vermenigvuldigen van een monomial met een monomial:

Om een ​​monomial met een monomial te vermenigvuldigen, moet je eerst de coëfficiënten van de monomials vermenigvuldigen en vervolgens, met behulp van de regel van het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, de variabelen vermenigvuldigen die in de monomials zijn opgenomen.

voorbeeld 1

Zoek het product van de monomialen $(2x)^3y^2z$ en $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Oplossing:

Laten we eerst het product van de coëfficiënten berekenen

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ in deze taak gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van een getal met een breuk - om een ​​geheel getal met een breuk te vermenigvuldigen, heb je nodig om het getal te vermenigvuldigen met de teller van de breuk, en de noemer zonder wijzigingen te plaatsen

Laten we nu de hoofdeigenschap van een breuk gebruiken: de teller en de noemer van een breuk kunnen worden gedeeld door hetzelfde getal, verschillend van $0$. Laten we de teller en de noemer van deze breuk delen door $2$, dat wil zeggen, deze breuk verkleinen met $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$

Het resulterende resultaat bleek een onechte breuk te zijn, dat wil zeggen een breuk waarin de teller groter is dan de noemer.

Laten we deze breuk transformeren door het hele deel te isoleren. Laten we niet vergeten dat om een ​​geheel getal te isoleren, het nodig is om de rest van de deling op te schrijven in de teller van het gebroken deel, en de deler in de noemer.

We hebben de coëfficiënt van het toekomstige product gevonden.

Nu gaan we de variabelen $x^3\cdot x^2=x^5$ opeenvolgend vermenigvuldigen,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Hier gebruikten we de regel voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Het resultaat van het vermenigvuldigen van monomialen zal dan zijn:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Vervolgens kunt u op basis van deze regel de volgende taak uitvoeren:

Voorbeeld 2

Geef een gegeven polynoom weer als het product van een polynoom en een monomiaal $(4x)^3y+8x^2$

Laten we elk van de monomialen in de polynoom voorstellen als het product van twee monomialen om een ​​gemeenschappelijke monomial te isoleren, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial.

Laten we eerst beginnen met de eerste monomial $(4x)^3y$. Laten we de coëfficiënt ontbinden in eenvoudige factoren: $4=2\cdot 2$. We zullen hetzelfde doen met de coëfficiënt van de tweede monomiaal $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Merk op dat twee factoren $2\cdot 2$ zijn opgenomen in zowel de eerste als de tweede coëfficiënt, wat betekent dat $2\cdot 2=4$ - dit getal zal worden opgenomen in de algemene monomial als een coëfficiënt

Laten we nu opmerken dat er in de eerste monomiaal $x^3$ is, en in de tweede is er dezelfde variabele tot de macht $2:x^2$. Dit betekent dat het handig is om de variabele $x^3$ als volgt weer te geven:

De variabele $y$ is slechts in één term van de polynoom opgenomen, wat betekent dat deze niet in de algemene monomiaal kan worden opgenomen.

Laten we ons de eerste en tweede monomiaal in de polynoom voorstellen als een product:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Merk op dat de gemeenschappelijke monomial, die een factor zal zijn in zowel de eerste als de tweede monomial, $4x^2$ is.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nu passen we de distributieve wet van vermenigvuldiging toe, waarna de resulterende uitdrukking kan worden weergegeven als een product van twee factoren. Eén van de vermenigvuldigers is de totale vermenigvuldiger: $4x^2$ en de andere is de som van de resterende vermenigvuldigers: $xy + 2$. Middelen:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Deze methode heet factoriseren door er een gemeenschappelijke factor uit te halen.

De gemeenschappelijke factor in dit geval was de monomial $4x^2$.

Algoritme

Notitie 1

Vind de grootste gemene deler van de coëfficiënten van alle monomialen die in de polynoom zijn opgenomen - dit zal de coëfficiënt zijn van de gemeenschappelijke factor-monomiaal, die we tussen haakjes zullen zetten

Een monomial bestaande uit de coëfficiënt uit paragraaf 2 en de variabelen uit paragraaf 3 zal een gemeenschappelijke factor zijn. die als gemeenschappelijke factor tussen haakjes kan worden verwijderd.

Voorbeeld 3

Neem de gemeenschappelijke factor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Oplossing:

Laten we de ggd van de coëfficiënten vinden; hiervoor zullen we de coëfficiënten ontleden in eenvoudige factoren

$45=3\cdot 3\cdot 5$

En we vinden het product van degenen die zijn opgenomen in de uitbreiding van elk:

Identificeer de variabelen waaruit elke monomiaal bestaat en selecteer de variabele met de kleinste exponent

$a^3=a^2\cdot a$

De variabele $b$ is alleen opgenomen in de tweede en derde monomial, wat betekent dat deze niet wordt opgenomen in de gemeenschappelijke factor.

Laten we een monomiaal samenstellen bestaande uit de coëfficiënt gevonden in stap 2, de variabelen gevonden in stap 3, we krijgen: $3a$ - dit zal de gemeenschappelijke factor zijn. Dan:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Als onderdeel van de onderzoeken identiteitstransformaties Het onderwerp om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten is erg belangrijk. In dit artikel leggen we uit wat zo’n transformatie precies is, leiden we de basisregel af en analyseren we typische voorbeelden taken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Het concept van het nemen van een factor tussen haakjes

Om deze transformatie succesvol toe te passen, moet je weten voor welke uitdrukkingen het wordt gebruikt en welk resultaat je uiteindelijk wilt bereiken. Laten we deze punten verduidelijken.

Je kunt de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten in uitdrukkingen die sommen vertegenwoordigen waarin elke term een ​​product is, en in elk product is er één factor die voor iedereen gemeenschappelijk (hetzelfde) is. Dit wordt de gemeenschappelijke factor genoemd. Dit is wat we uit de haakjes zullen halen. Dus als we werken hebben 5 3 En 5 4, dan kunnen we de gemeenschappelijke factor 5 tussen haakjes zetten.

Waaruit bestaat deze transformatie? Tijdens dit proces stellen we de oorspronkelijke uitdrukking voor als het product van een gemeenschappelijke factor en een uitdrukking tussen haakjes die de som bevat van alle oorspronkelijke termen behalve de gemeenschappelijke factor.

Laten we het hierboven gegeven voorbeeld nemen. Laten we er een gemeenschappelijke factor 5 bij optellen 5 3 En 5 4 en we krijgen 5 (3 + 4). De uiteindelijke uitdrukking is het product van de gemeenschappelijke factor 5 door de uitdrukking tussen haakjes, wat de som is van de oorspronkelijke termen zonder 5.

Deze transformatie is gebaseerd op de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging, die we al eerder hebben bestudeerd. In letterlijke vorm kan het worden geschreven als een (b + c) = een b + een c. Door te veranderen rechter zijde aan de linkerkant zien we een schema om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen.

De regel om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten

Met behulp van alles wat hierboven is gezegd, leiden we de basisregel voor een dergelijke transformatie af:

Definitie 1

Om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen, moet u de oorspronkelijke uitdrukking schrijven als het product van de gemeenschappelijke factor en haakjes die de oorspronkelijke som bevatten zonder de gemeenschappelijke factor.

voorbeeld 1

Laten we een eenvoudig voorbeeld van weergave nemen. We hebben een numerieke uitdrukking 3 7 + 3 2 − 3 5, wat de som is van drie termen 3 · 7, 3 · 2 en een gemeenschappelijke factor 3. Op basis van de regel die we hebben afgeleid, schrijven we het product als 3 (7 + 2 − 5). Dit is het resultaat van onze transformatie. De gehele oplossing ziet er als volgt uit: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

We kunnen de factor niet alleen in numerieke, maar ook in letterlijke uitdrukkingen tussen haakjes zetten. Bijvoorbeeld, binnen 3 x − 7 x + 2 je kunt de variabele x eruit halen en krijgen 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, in de uitdrukking (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- veelvoorkomende factor (x2+j) en uiteindelijk terechtkomen (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Het is niet altijd mogelijk om onmiddellijk te bepalen welke factor de gemeenschappelijke factor is. Soms moet een uitdrukking eerst worden getransformeerd door getallen en uitdrukkingen te vervangen door identiek gelijke producten.

Voorbeeld 2

Dus bijvoorbeeld in de uitdrukking 6 x + 4 j het is mogelijk een gemeenschappelijke factor 2 af te leiden die niet expliciet is opgeschreven. Om dit te vinden moeten we de oorspronkelijke uitdrukking transformeren, waarbij zes wordt weergegeven als 2 · 3 en vier als 2 · 2. Dat is 6 x + 4 j = 2 3 x + 2 2 j = 2 (3 x + 2 j). Of in expressie x 3 + x 2 + 3 x we kunnen tussen haakjes de gemeenschappelijke factor x verwijderen, die na de vervanging zichtbaar wordt x 3 op x · x 2 . Deze transformatie is mogelijk vanwege de basiseigenschappen van de graad. Als resultaat krijgen we de uitdrukking x (x 2 + x + 3).

Een ander geval dat afzonderlijk moet worden besproken, is het verwijderen van een minteken tussen haakjes. Dan halen we niet het bord zelf eruit, maar min één. Laten we de uitdrukking bijvoorbeeld op deze manier transformeren − 5 − 12 x + 4 x y. Laten we de uitdrukking herschrijven als (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, zodat de algehele vermenigvuldiger duidelijker zichtbaar is. Laten we het tussen haakjes halen en − (5 + 12 · x − 4 · x · y) krijgen. Dit voorbeeld laat zien dat tussen haakjes hetzelfde bedrag wordt verkregen, maar met tegengestelde tekens.

Concluderend merken we op dat transformatie door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te plaatsen in de praktijk heel vaak wordt gebruikt, bijvoorbeeld om de waarde van rationele uitdrukkingen te berekenen. Deze methode is ook handig als u een uitdrukking als product wilt weergeven, bijvoorbeeld als u een polynoom in afzonderlijke factoren wilt ontbinden.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter