Решение простейших неравенств по синусу. Решение простейших тригонометрических неравенств
Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж,
“Вы просто не умеете их готовить”
Так как же “готовить” и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом – с помощью единичной окружности.
Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм.
Алгоритм решения неравенств с синусом:
- на оси синуса откладываем число $a$ и проводим прямую параллельно оси косинусов до пересечения с окружностью;
- точки пересечения этой прямой с окружностью будут закрашенными, если неравенство нестрогое, и не закрашенными, если неравенство строгое;
- область решения неравенства будет находится выше прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и ниже прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
- для нахождения точек пересечения, решаем тригонометрическое уравнение $\sin{x}=a$, получаем $x=(-1)^{n}\arcsin{a} + \pi n$;
- полагая $n=0$, мы находим первую точку пересечения (она находится или в первой, или в четвёртой четверти);
- для нахождения второй точки, смотрим, в каком направлении мы идём по области ко второй точке пересечения: если в положительном направлении, то следует брать $n=1$, а, если в отрицательном, то $n=-1$;
- в ответ выписывается промежуток от меньшей точки пересечения $+ 2\pi n$ до большей $+ 2\pi n$.
Ограничение алгоритма
Важно: д анный алгоритм не работает для неравенств вида $\sin{x} > 1; \ \sin{x} \geq 1, \ \sin{x} < -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Частные случаи при решении неравенства с синусом
Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм.
Частный случай 1. Решить неравенство:
$\sin{x} \leq 1.$
В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=\sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом $x$ из области определения (а область определения синуса – все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R$.
Следствие:
$\sin{x} \geq -1.$
Частный случай 2. Решить неравенство:
$\sin{x} < 1.$
Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x \in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $\sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь:
$x = (-1)^{n}\arcsin{1}+ \pi n = (-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n.$
А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R \backslash \left\{(-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n\right\}$.
Следствие: аналогично решается и неравенство
$\sin{x} > -1.$
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.
Пример 1: Решить неравенство:
$\sin{x} \geq \frac{1}{2}.$
- Отметим на оси синусов координату $\frac{1}{2}$.
- Проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку.
- Отметим точки пересечения. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.
- Знак неравенства $\geq$, а значит закрашиваем область выше прямой, т.е. меньший полукруг.
- Находим первую точку пересечения. Для этого неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin{x}=\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x=(-1)^{n}\arcsin{\frac{1}{2}}+\pi n =(-1)^{n}\frac{\pi}{6} + \pi n$. Полагаем далее $n=0$ и находим первую точку пересечения: $x_{1}=\frac{\pi}{6}$.
- Находим вторую точку. Наша область идёт в положительном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $1$: $x_{2}=(-1)^{1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение примет вид:
$x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$
Пример 2: Решить неравенство:
$\sin{x} < -\frac{1}{2}$
Отметим на оси синусов координату $- \frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin{x}=-\frac{1}{2}$
$x=(-1)^{n}\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}+ \pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-\frac{\pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.
Итак, решением этого неравенства будет промежуток:
$x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$
Пример 3: Решить неравенство:
$1 – 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq 0.$
Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный!
Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим:
$- 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq -1.$
Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь:
$\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \geq \frac{1}{2}.$
Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной:
$t=\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}.$
Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма:
$\sin{t} \geq \frac{1}{2}.$
Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ:
$t \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$
Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной.
$(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}) \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$
Представим промежуток в виде системы:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n. \end{array} \right.$
В левых частях системы стоит выражение ($\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе – правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах .
Перенесём $\frac{\pi}{6}$ из левой части в правые, получим:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n -\frac{\pi}{6}, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n – \frac{\pi}{6}. \end{array} \right.$
Упрощая, будем иметь:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq 2\pi n, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n. \end{array} \right.$
Умножая левые и правые части на $4$, получим:
$\left\{\begin{array}{c} x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n. \end{array} \right.$
Собирая систему в промежуток, получим ответ:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$
Простейшие тригонометрические неравенства вида sin x>a — основа для решения более сложных тригонометрических неравенств.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств вида sin x>a на единичной окружности.
1) при 0
С помощью ассоциации косинус-колобок (оба начинаются с ко-, оба «кругленькие»), вспоминаем, что косинус — это x, соответственно, синус — y. Отсюда строим график y=a — прямую, параллельную оси ox. Если неравенство строгое, точки пересечения единичной окружности и прямой y=a выколотые, если неравенство нестрогое — точки закрашиваем (как легко запомнить, когда точка выколотая, когда — закрашенная, смотрите ). Наибольшие затруднение при решении простейших тригонометрических неравенств вызывает правильное нахождение точек пересечения единичной окружности и прямой y=a.
Первую из точек найти несложно — это arcsin a. Определяем путь, по которому из первой точки идем ко второй. На прямой y=a sinx=a, сверху, над прямой, sin x>a, а ниже, под прямой, sin x
2) a=0, то есть sin x>0
В этом случае первая точка промежутка — 0, вторая — п. К обоим концам промежутка с учетом периода синуса прибавляем 2пn.
3) при a=-1, то есть sinx>-1
В этом случае первая точка -п/2, а чтобы попасть во вторую, обходим всю окружность против часовой стрелки. Попадаем в точку -п/2+2п=3п/2. Чтобы учесть все интервалы, являющиеся решением данного неравенства, к обоим концам прибавляем 2пn.
4) sinx>-a, при 0
Первая точка — как обычно, arcsin(-a)=-arcsina. Чтобы попасть во вторую точку, идем верхним путем, то есть в сторону увеличения угла.
На этот раз мы за п переходим. На сколько переходим? На arcsin x. Значит, вторая точка — это п+arcsin x. Почему нет минуса? Потому что минус в записи -arcsin a обозначает движение по часовой стрелки, а мы шли против. И в заключении, к каждому концу интервала прибавляем 2пn.
5) sinx>a, если а>1.
Единичная окружность лежит целиком под прямой y=a. Нет ни одной точки выше прямой. Значит, решений нет.
6) sinx>-a, где a>1.
В этом случае вся единичная окружность целиком лежит над прямой y=a. Поэтому любая точка удовлетворяет условию sinx>a. Значит, x — любое число.
И здесь x — любое число, поскольку точки -п/2+2пn входят в решение, в отличие от строгого неравенства sinx>-1. Ничего исключать не надо.
Единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является п/2. С учетом периода синуса, решением данного неравенства является множество точек x=п/2+2пn.
Например, решить неравенство sinx>-1/2:
Леонард Эйлер. Проходит время, и тригонометрия возвращается к школьникам. Якоб Бернулли. Она появляется в системе начал математического анализа. До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась. Учение об измерении многогранников. Направления развития плоской тригонометрии. Ученику приходится встречаться с тригонометрией трижды. Развитие тригонометрии с XVI века до нашего времени. Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний.
««Производная функции» 10 класс» - «Метод флюкций». Формулы производной широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 - х2 - 8х + 2. Исторические сведения. Определение. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Применение производных в экономике. Применение производной в математике. Производная – одно из фундаментальных понятий математики.
««Тригонометрические уравнения» 10 класс» - Не делай никогда того, чего не знаешь. Определение. Укажите корни. Уравнение ctg t = a. Sin х. Продолжите фразу. Найти корни уравнения. Значения из промежутка. Сделаем выборку корней. X= tg х. Решите уравнение. Серии корней. Имеет ли смысл выражение. Тригонометрические уравнения. Уравнение. Ctg x = 1. Уравнение tg t = a. Cos 4x. Sin x =1. Верно ли равенство.
«Уравнения» - Химия. Математика исламского средневековья. Математика в Древней Индии. Уравнения вокруг нас. Появление символа равенства. Математика в Древнем Египте. Алгебраический способ. Физика. Где используются уравнения сегодня. Алгебра. Арифметика Диофанта. Биология. Появление буквенной символики. Немного истории. Экономика. Способы решения уравнений. Решение. Аналитический способ. Неизвестное число. Что такое уравнение.
«Физический и геометрический смысл производной» - Дифференцирование. Ньютон - создатель первой научной «механической картины мира». Геометрический смысл производной функции. Производная функции. Физический и геометрический смысл производной функции. Происходящие во вселенной изменения и процессы. Дифференцирование - уникальный математический метод. Объяснение физического смысла производной функции. Физический смысл производной функции. Спасибо за внимание.
«Тригонометрические неравенства» - Уравнение. Sin x > a. Cos x
Неравенства, содержащие тригонометрические функции, при решении сводятся к простейшим неравенствам вида cos(t)>a, sint(t)=a и подобным. И уже простейшие неравенства решаются. Рассмотрим на различных примерах способы решения простейших тригонометрических неравенств.
Пример 1 . Решить неравенство sin(t) > = -1/2.
Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l.. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.
Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. В итоге получаем для t следующее неравенство:
Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.
Ответ: -pi/6+2*pi*n < = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Пример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.
Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t1 и t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Получили неравенство для t: pi/3 Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ. Ответ: pi/3+2*pi*n Пример 3.
Решить неравенство tg(t) < = 1. Период тангенса равняется pi. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-pi/2;pi/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов. Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча - дуга l. Причем, точка P(-pi/2) не принадлежит этой дуге. Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤. Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями. Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа. Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия: Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом: Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост: Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства. Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту. Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций. Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg. Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает. В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π. Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства: Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика: В результате должна получиться красивая кривая. Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функцииСпособ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Сложные тригонометрические неравенства
