Студентам и школьникам - книги, математика, топология. Топология компьютерных сетей

Локальная сеть - важный элемент любого современного предприятия, без которого невозможно добиться максимальной производительности труда. Однако чтобы использовать возможности сетей на полную мощность, необходимо их правильно настроить, учитывая также и то, что расположение подсоединенных компьютеров будет влиять на производительность ЛВС.

Понятие топологии

Топология локальных компьютерных сетей - это месторасположение рабочих станций и узлов относительно друг друга и варианты их соединения. Фактически это архитектура ЛВС. Размещение компьютеров определяет технические характеристики сети, и выбор любого вида топологии повлияет на:

• Разновидности и характеристики сетевого оборудования.
• Надежность и возможность масштабирования ЛВС.
• Способ управления локальной сетью.

Таких вариантов расположения рабочих узлов и способов их соединения много, и количество их увеличивается прямо пропорционально повышению числа подсоединенных компьютеров. Основные топологии локальных сетей - это "звезда", "шина" и "кольцо".

Факторы, которые следует учесть при выборе топологии

До того как окончательно определиться с выбором топологии, необходимо учесть несколько особенностей, влияющих на работоспособность сети. Опираясь на них, можно подобрать наиболее подходящую топологию, анализируя достоинства и недостатки каждой из них и соотнеся эти данные с имеющимися для монтажа условиями.

• Работоспособность и исправность каждой из рабочих станций, подсоединенных к ЛВС. Некоторые виды топологии локальной сети целиком зависят от этого.
• Исправность оборудования (маршрутизаторов, адаптеров и т. д.). Поломка сетевого оборудования может как полностью нарушить работу ЛВС, так и остановить обмен информацией с одним компьютером.
• Надежность используемого кабеля. Повреждение его нарушает передачу и прием данных по всей ЛВС или же по одному ее сегменту.
• Ограничение длины кабеля. Этот фактор также важен при выборе топологии. Если кабеля в наличии немного, можно выбрать такой способ расположения, при котором его потребуется меньше.

О топологии «звезда»

Этот вид расположения рабочих станций имеет выделенный центр - сервер, к которому подсоединены все остальные компьютеры. Именно через сервер происходят процессы обмена данными. Поэтому оборудование его должно быть более сложным.

Достоинства:

• Топология локальных сетей "звезда" выгодно отличается от других полным отсутствием конфликтов в ЛВС - это достигается за счет централизованного управления.
• Поломка одного из узлов или повреждение кабеля не окажет никакого влияния на сеть в целом.
• Наличие только двух абонентов, основного и периферийного, позволяет упростить сетевое оборудование.
• Скопление точек подключения в небольшом радиусе упрощает процесс контроля сети, а также позволяет повысить ее безопасность путем ограничения доступа посторонних.

Недостатки:

• Такая локальная сеть в случае отказа центрального сервера полностью становится неработоспособной.
• Стоимость "звезды" выше, чем остальных топологий, поскольку кабеля требуется гораздо больше.

Топология «шина»: просто и дешево

В этом способе соединения все рабочие станции подключены к единственной линии - коаксиальному кабелю, а данные от одного абонента отсылаются остальным в режиме полудуплексного обмена. Топологии локальных сетей подобного вида предполагают наличие на каждом конце шины специального терминатора, без которого сигнал искажается.

Достоинства:

• Все компьютеры равноправны.
• Возможность легкого масштабирования сети даже во время ее работы.
• Выход из строя одного узла не оказывает влияния на остальные.
• Расход кабеля существенно уменьшен.

Недостатки:

• Недостаточная надежность сети из-за проблем с разъемами кабеля.
• Маленькая производительность, обусловленная разделением канала между всеми абонентами.
• Сложность управления и обнаружения неисправностей за счет параллельно включенных адаптеров.
• Длина линии связи ограничена, потому эти виды топологии локальной сети применяют только для небольшого количества компьютеров.

Характеристики топологии «кольцо»

Такой вид связи предполагает соединение рабочего узла с двумя другими, от одного из них принимаются данные, а второму передаются. Главной же особенностью этой топологии является то, что каждый терминал выступает в роли ретранслятора, исключая возможность затухания сигнала в ЛВС.

Достоинства:

• Быстрое создание и настройка этой топологии локальных сетей.
• Легкое масштабирование, требующее, однако, прекращения работы сети на время установки нового узла.
• Большое количество возможных абонентов.
• Устойчивость к перегрузкам и отсутствие сетевых конфликтов.
• Возможность увеличения сети до огромных размеров за счет ретрансляции сигнала между компьютерами.

Недостатки:

• Ненадежность сети в целом.
• Отсутствие устойчивости к повреждениям кабеля, поэтому обычно предусматривается наличие параллельной резервной линии.
• Большой расход кабеля.

Типы локальных сетей

Выбор топологии локальных сетей также следует производить, основываясь на имеющемся типе ЛВС. Сеть может быть представлена двумя моделями: одноранговой и иерархической. Они не очень отличаются функционально, что позволяет при необходимости переходить от одной из них к другой. Однако несколько различий между ними все же есть.

Что касается одноранговой модели, ее применение рекомендуется в ситуациях, когда возможность организации большой сети отсутствует, но создание какой-либо системы связи все же необходимо. Рекомендуется создавать ее только для небольшого числа компьютеров. Связь с централизованным управлением обычно применяется на различных предприятиях для контроля рабочих станций.

Одноранговая сеть

Этот тип ЛВС подразумевает равноправие каждой рабочей станции, распределяя данные между ними. Доступ к информации, хранящейся на узле, может быть разрешен либо запрещен его пользователем. Как правило, в таких случаях топология локальных компьютерных сетей «шина» будет наиболее подходящей.

Одноранговая сеть подразумевает доступность ресурсов рабочей станции остальным пользователям. Это означает возможность редактирования документа одного компьютера при работе за другим, удаленной распечатки и запуска приложений.

Достоинства однорангового типа ЛВС:

• Легкость реализации, монтажа и обслуживания.
• Небольшие финансовые затраты. Такая модель исключает надобность в покупке дорогого сервера.

Недостатки:

• Быстродействие сети уменьшается пропорционально увеличению количества подсоединенных рабочих узлов.
• Отсутствует единая система безопасности.
• Доступность информации: при выключении компьютера данные, находящиеся в нем, станут недоступными для остальных.
• Нет единой информационной базы.

Иерархическая модель

Наиболее часто используемые топологии локальных сетей основаны именно на этом типе ЛВС. Его еще называют «клиент-сервер». Суть данной модели состоит в том, что при наличии некоторого количества абонентов имеется один главный элемент - сервер. Этот управляющий компьютер хранит все данные и занимается их обработкой.

Достоинства:

• Отличное быстродействие сети.
• Единая надежная система безопасности.
• Одна, общая для всех, информационная база.
• Облегченное управление всей сетью и ее элементами.

Недостатки:

• Необходимость наличия специальной кадровой единицы - администратора, который занимается мониторингом и обслуживанием сервера.
• Большие финансовые затраты на покупку главного компьютера.

Наиболее часто используемая конфигурация (топология) локальной компьютерной сети в иерархической модели - это «звезда».

Выбор топологии (компоновка сетевого оборудования и рабочих станций) является исключительно важным моментом при организации локальной сети. Выбранный вид связи должен обеспечивать максимально эффективную и безопасную работу ЛВС. Немаловажно также уделить внимание финансовым затратам и возможности дальнейшего расширения сети. Найти рациональное решение - непростая задача, которая выполняется благодаря тщательному анализу и ответственному подходу. Именно в таком случае правильно подобранные топологии локальных сетей обеспечат максимальную работоспособность всей ЛВС в целом.

Множество называется топологическим пространством , когда задано определённое семейство его открытых подмножеств , удовлетворяющее аксиомам. Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой «антидискретной (=тривиальной) топологии », склеивающей все точки вместе.

Базовые понятия теории множеств (множество , функция , ординальные числа и кардинальные числа , аксиома выбора , лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображаениями, классификация топологических пространств.

Общая топология включает в себя теорию размерности .

История

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в . Основополагающие работы принадлежат Ф. Хаусдорфу , А. Пуанкаре , П. С. Александрову , П. С. Урысону , Л. Брауэру . В частности, была решена одна из главных задач общей топологии - нахождение необходимых и достаточных условий метризуемости топологического пространства.

Наиболее бурное развитие общей топологии как самостоятельной ветви знания происходило в середине ХХ в., в начале же XXI в . она скорее является вспомогательной дисциплиной, "обслуживающей" своим понятийным аппаратом многие области математики: топологию, функциональный анализ, комплексный анализ, теорию графов и т.д..

См. также

Замечания

• Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств.

Литература

• П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию - М .: Наука , 1977
• Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях - М .: Наука , 1974
• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры - М .: Наука , 1968
• Келли Дж. Л. Общая топология - М .: Наука , 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология - М .: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология . Учебник в задачах (рус., англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

• ГУЛАГ
• Топологическое пространство

Смотреть что такое "Общая топология" в других словарях:

ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ - ветвь геометрии, посвященная исследованию непрерывности и предельного перехода на том естественном уровне общности, к рый определяется природой этих понятий. Исходными понятиями О. т. являются понятия топологического пространства и непрерывного… … Математическая энциклопедия

Общая алгебра - (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также… … Википедия

Топология - Не следует путать с топографией. У этого термина существуют и другие значения, см. Топология (значения). Лента Мёбиуса поверхно … Википедия

Топология - (от греч. tоpos место и …логия (См. ...Логия) часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных… … Большая советская энциклопедия

Топология Зарисского - Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Топология Зарисского в алгебраической геометрии специальная топология, отражающая алгебраическую при … Википедия

ТОПОЛОГИЯ - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация это деформация фигуры, при которой не… … Энциклопедия Кольера

Общая точка (математика) - У этого термина существуют и другие значения, см. Общая точка. Общая точка точка топологического пространства, замыкание которой совпадает со всем пространством. Топологическое пространство, имеющее общую точку, является неприводимым… … Википедия

топология - Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика

ТОПОЛОГИЯ - в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия

Общая теория систем - (теория систем) научная и методологическая концепция исследования объектов, представляющих собой системы. Она тесно связана с системным подходом и является конкретизацией его принципов и методов. Первый вариант общей теории систем был… … Википедия

Книги

• Общая топология. Основные структуры , Н. Бурбаки. В этом новом издании сделано довольно большое число изменений в деталях; кроме того, переделан весь план гл. I и II с целью расположить материал в лучшем соответствиис общими представлениями…

Курсовая работа

на тему: «Элементы общей топологии»

Введение

Топология – одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самых абстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет её существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики.

Топология (от греческого «τοποξ» – место, окрестность, «λογοξ» – закон) – раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Целью первой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.

· дать определение топологического пространства;

· рассмотреть свойства топологических пространств;

· охарактеризовать топологические преобразования.

Во второй главе работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей. Были поставлены следующие задачи:

· дать определение двумерного многообразия;

· рассмотреть эйлерову характеристику поверхности;

· охарактеризовать ориентируемые и неориентируемые поверхности.

1. Элементы общей топологии

1.1 Понятие топологического пространства

1.1.1 Понятие метрического пространства

Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть

А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение

r: Х ´ Х ®R,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. " х, у Î Х {r (х, у) ³ 0}, причем r (х, у) = 0 Û х = у.

2. " х, у Î Х {r (х, у) = r (у, х)}.

3. " х, у, zÎ Х {r (х, у) + r (у, z) ³r (х, z)}.

Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Х, r).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х,r) обозначают просто Х.

Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.

1.1.2 Примеры метрических пространств

Пример 1 . Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) – метрическое пространство.

Пример 2 . Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у – х) 2 не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 – 2) 2 = 1, r(3, 4) = (4 – 3) 2 = 1,

r(2, 4) = (4 – 2) 2 = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).

Определение 1. Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х 0 Î Х,

r > 0– действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х 0 и радиусом r множество

U (x 0 , r) = {x | xÎX, r (x, x 0)

Определение 2. Подмножество GÌ Х будем называть открытым в

(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 3. Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Ф r .

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. 1) Объединение любой совокупности {G a } множеств из Ф r принадлежит Ф r .

2) Пересечение любых двух множеств G 1 и G 2 из Ф r принадлежит Ф r .

G 1 ÇG 2 Î Ф r .

3) Метрическое пространство Х – открытое множество, то есть

Х Î Ф r , ÆÎ Ф r .

Доказательство. 1) Пусть

Возьмём произвольную точку х 0 ÎG. Тогда существует такое a 0 , что х 0 Î

U (х 0 , r 0) Ì

Итак, G– открытое множество.

2) Пусть G = G 1 ÇG 2 , где G 1 , G 2 Î Ф r и G

Если х 0 ÎG, то х 0 ÎG 1 и х 0 ÎG 2 .

Тогда существуют такие радиусы r 1 и r 2 , что

U(х 0 , r 1) ÌG 1, U(х 0 , r 2) ÌG 2 .

Обозначим r= min{r 1 , r 2 }, тогда

U (х 0 , r) ÌG 1 ÇG 2 = G.

Итак, G – открытое множество.

3. Так как всегда можно представить

где U a – открытый шар радиуса r, с центром в точке

В дальнейшем описанное нами семейство Ф r всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будем называть топологией, индуцированной метрикой r в Х. .

1.1.3 Определение и примеры топологических пространств

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т.д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Определение 1. Пусть Х – непустое множество элементов произвольной природы, Ф = {

1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф.

2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.

3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.

Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.

Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология, называется топологическим пространством.

Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф).

Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х – топологическое пространство, G

Примеры топологических пространств.

Пример 1. Х – произвольное множество. Из аксиомы 1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любой топологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ и само множество Х. Очевидно, что для семейства

Ф т = {Æ, X},

которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также и аксиомы 2 и 3.

Поэтому Ф т = {Æ, X} является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическим пространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическим пространством.

Пример 2. Другой крайностью является так называемое дискретное топологическое пространство (Х, Ф d), где Ф d представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно, что и в этом случае все аксиомы 1 – 3 выполняются.

1. Общая топология. Общая топология существует с тех пор, когда в процессе развития канторовской теории множеств была создана теория точечных множеств в евклидовом пространстве. Евклидово пространство - это пространство, в котором введено расстояние, поэтому оно как множество точек приобретает свою топологию.

Благодаря этому были разработаны понятия замкнутого и открытого множеств окрестности, точки накопления. Эти понятия являются фундаментальными в разных областях математики, в частности в анализе.

Теория точечных множеств в евклидовом пространстве послужила исходным пунктом в развитии общей идеи топологического пространства. Это началось с работ Фреше (1878-1973) 1907 года, посвященных -пространствам. Фреше, занимаясь исследованиями в области функционального анализа, определил пространство при помощи понятия сходимости, которое составляет ядро всей топологии. Заслуга Фреше в том, что он выдвинул основные положения абстрактного пространства. Это был отход от привычных рассмотрений в евклидовом пространстве. Точка абстрактного пространства - это уже не точка в том смысле, как это понимают в евклидовой геометрии. Если речь идет о множестве, в котором определено понятие сходимости, то это уже топологическое пространство. Абстрактная теория пространства постепенно слилась с тем, что определяется сейчас как теория топологических пространств. Абстрактизация идеи пространства открыла путь формированию многих важных понятий в различных разделах математики.

Мы приведем имена лишь нескольких математиков, которые внесли принципиальный вклад в разработку фундаментальных положений топологии.

В 1909 году Рис (1880-1956) исследовал предельные точки множества. В 1914 году Хаусдорф (1868-1942) пришел к понятию

системы окрестностей. В 1922 году Куратовский (р. 1896) ввел аксиоматику замыкания, в 1925 году Александров (р. 1896) построил теорию открытых множеств, а в 1927 году Серпиньский (1882-1969) - теорию замкнутых множеств.

Около сорока лет назад в противоположность нынешнему состоянию алгебраической топологии алгебраический аппарат использовался робко. В то время для изучения геометрических фигур применялись весьма наглядные методы, которые составляли геометрическую топологию теории множеств. Исследования велись в теории кривых линий, теории размерности, что в настоящее время включается в общую топологию.

2. Комбинаторная топология. При исследовании геометрических свойств мнргообразий Пуанкаре пользовался разбиением многообразия на элементарные симплексы и, обратно, создавал из симплексов сложные комбинаторные структуры. При этом Пуанкаре применял аппарат введенных им групп гомологий. Дальнейший прогресс комбинаторной топологии связан с такими значительными результатами, как результаты Хопфа (1895-1971), теоремы о неподвижных точках отображения Лефшеца (1884-1972), теоремы двойственности Пуанкаре и Александера. Эти геометрические теории, представляя собой часть комбинаторной топологии, являются ветвью алгебраической топологии. Примерно с 1940 года она получила значительное развитие в связи с исследованиями линейных образов комбинаторных структур, где Уайтхедом (1904-1960) были получены замечательные результаты. Эта дисциплина стала называться -топологией.

О положительном решении общего предположения Пуанкаре уже говорилось выше. Затрагивая вопрос определения комбинаторных многообразий, мы не говорили об известном основном предположении комбинаторной топологии, которое в 1961 году Мазуром и Милнором (р. 1931) было опровергнуто.

Основное предположение комбинаторной топологии (Hauptvermutung). В начале XX века комбинаторная топология особенно сильное развитие получила в Германии, и подавляющее большинство работ публиковалось на немецком языке. Упоминаемая здесь основная гипотеза также впервые была сформулирована на немецком языке. И по сей день в различных трудах ее часто называют по-немецки Hauptvermutung. Формулировка этого предположения такова: если полиэдры двух комплексов К к К гомеоморфны, то можно подразделить их таким образом, что полученные в результате этого комплексы являются равными комплексами.

Комплексы некоторые подразделения которых равны, называются комбинаторно эквивалентными. При определении комбинаторного многообразия, казалось бы, естественно потребовать, чтобы полиэдр звезды и -мерный симплекс были гомеоморфны. Однако в общем случае остается неизвестным, можно ли считать равными Поэтому удобнее требовать, чтобы были комбинаторно эквивалентны.

3. Алгебраическая топология. Алгебраическая топология представляет собой область геометрии, цель которой состоит в установлении топологических инвариантов на основе

применения теории групп. Алгебраическая топология считается ведущей областью топологии. Упоминавшаяся выше теория гомологий также относится к этой области геометрии. К числу других достижений алгебраической топологии относятся введенные в работах Александера и Колмогорова (р. 1903) группы когомологий.

В более позднее время алгебраическая топология сделала резкий скачок вперед благодаря работам Стинрода (1910-1971) по теории когомологий, опубликованным в 1947 году, и исследованию Серром (р. 1926) в 1951 году спектральных последовательностей.

4. Дифференциальная топология. Есть область топологии, объектом исследований которой являются дифференцируемые многообразия. Суть дифференцируемого многообразия состоит в возможности рассмотрения дифференцируемых функций, заданных на этом многообразии. Если о дифференцируемых многообразиях говорить конкретнее, то нужно прежде всего вспомнить, что каждая точка многообразия обладает окрестностью гомеоморфной открытому диску (или, что все равно, всему евклидову пространству). Координаты, заданные в евклидовом пространстве, посредством гомеоморфизмов переносятся в окрестность каждой точки многообразия. Это так называемые локальные координаты. Так как точка многообразия принадлежит одновременно многим окрестностям то ей соответствует столько же различных систем локальных координат. Многообразие дифференцируемоу если функции преобразования от одной локальной системы координат к другой являются дифференцируемыми.

Вероятно, следовало привести конкретные формулы, однако суть, думается, может быть ясна и без этого.

Непосредственное впечатление от дифференцируемого многообразия отражено в том, что часто применяется термин «гладкое многообразие». Гладкость состоит, собственно, в том, что окрестность каждой точки можно расширить дифференцируемым образом. Гладкие кривы 1 поверхности, такие, как сфера или поверхность тора представляют собой дифференцируемые многообразия.

В дифференциальной топологии, таким образом, можно рассматривать не только непрерывные относительно точек многообразия отображения, но и дифференцируемые отображения. Если к общим условиям гомеоморфизма одного многообразия на другое добавить условия дифференцируемости, то получим изоморфизм их гладких структур, или так называемый диффеоморфизм.

Другими словами, гладкие структуры диффеоморфных между собой дифференцируемых

многообразий равны. Такие многообразия являются главным объектом исследования дифференциальной топологии. Этот раздел геометрии связан с изучением глобальных свойств многообразий, и мы здесь не будем специально рассматривать такие вопросы дифференциальной геометрии, как кривизна и т. п.

Фундаментальные исследования в дифференциальной топологии были проведены Уитни (р. 1907) в 1930 году. Затем активность исследований в этой области несколько снизилась.

В 1952 году Том (р. 1923), лауреат филдсовской премии 1958 года, опираясь на теорию кбгомологий и гомотопических групп, построил теорию кобордизмов. Недавно он разработал ставшую широко известной теорию катастроф.

В 1956 году Милнором были обнаружены удивительные особенности дифференциальной структуры, присущие семимерной сфере Суть отбытия Милнора, которое явилось совершенно неожиданным не только с геометрической точки зрения, но и с точки зрения анализа, в двух словах заключается в том, что существуют гладкие семимерные сферы которые между собой гомеоморфны, но не диффеоморфны. Доказательство этого факта основано на предварительном изучении свойств и величин, сохраняющихся при диффеоморфизмах, последующее сравнение которых привело к выводу о том, что на семимерной сфере есть различные дифференциальные структуры.

В дифференциальной топологии был получен ряд глубоких теорем, которые составили ей славу одной из самых замечательных

областей всей математики. Ряд достижений дифференциальной топологии связан с комбинаторной топологией. Подтверждением этого является, например, теорема о том, что любое дифференцируемое многообразие есть комбинаторное многообразие.

5. Геометрическая топология. Это название, да и сам раздел топологии отнюдь не является общепризнанным. В исследовании топологических свойств геометрических фигур существует направление, в котором не применяется алгебраический метод, как это было при исследовании комбинаторных и гладких структур, и изучение геометрических свойств проводится непосредственно. Этим и объясняется название «геометрическая топология». Основной объект изучения геометрической топологии - это необычные геометрические фигуры в евклидовом пространстве Слова «необычные геометрические фигуры» употреблены здесь потому, что, с одной стороны, речь идет о необычных фигурах, применить к которым алгебраические методы особенно трудно, а с другой стороны, эти фигуры достаточно геометричны, чтобы иметь о них на: глядное представление. Направление, которое исследует необычные фигуры, можно было бы назвать геометрической патологией фигур.

Инструмент исследования в данном случае не представляет собой методически разработанную теорию. Изучение тех или иных геометрических фигур состоит в непосредственном

наглядном восприятии с последующим проведением цепочки строго обоснованных рассуждений. Поэтому здесь необходимы острота восприятия и правильность логического вывода. Из последних достижений в изучении патологических (диких) геометрических фигур можно, например, отметить исследования трехмерных многообразий. Проблема топологической классификации трехмерных многообразий, как это явствует уже из рассуждений относительно гипотезы Пуанкаре, далека от своего решения и представляется крайне сложной. Именно со стороны гипотезы Пуанкаре к задаче классификации подошли вплотную многие исследователи, получив значительные результаты. Хорошо известны исследования Папакирвякопулоса (1914-1976), в результате которых этот «уважаемый Пап» решил в 1957 году проблему Дэна (1878-1952) о сфере. Теорема о сфере формулируется следующим образом: если трехмерное ориентируемое многообразие с (двумерная гомотопическая группа), то существует вложенная в нестягиваемая двумерная сфера Эта сфера 52 как раз и обеспечивает нетривиальность двумерной гомотопической группы Эта теорема вскрывает еще одну связь между комбинаторной и алгебраической топологией. Надо сказать, что многие результаты одной области могут быть в определенной степени взаимно использованы в смежной области, хотя в каждом конкретном случае существо вопроса подлежит непосредственной проверке.

Что касается только что упомянутой проблемы, то о ее решении, которое опиралось на ряд вспомогательных лемм, заявил еще

в 1910 году, когда он занимался изучением геометрии трехмерных многообразий. Однако вскоре Кнезер (р. 1898) и другие указали на пробелы в приведенном доказательстве. И только гораздо позже, в 1957 году, было получено окончательное доказательство.

В вопросах построения трехмерных многообразий из более простых многообразий Кнезером была предложена важная теорема, которая в 1962 году была улучшена Милнором. Упоминая об этих теоремах, мы, однако, из-за их сложности не приводим здесь даже формулировок.

Из работ, посвященных изучению «диких» многообразий, следует также отметить последовавшую за работами Антуана 1921 года работу Александера 1924 года, в которой он предложил конструкцию так называемой рогатой сферы. Рогатая сфера Александера, которая изображена на рис. 107, непривычная, сложная для восприятия дикая фигура. В дальнейшем исследования в этом направлении продолжены Столлингсом, Бингом (р. 1914) и другими.

Итак, мы дали общий обзор основных областей топологии. Эти области, безусловно, не имеют между собой резких границ. Так, комбинаторная топология очень тесно связана как с геометрической, так и с дифференциальной топологией. В каждой из указанных областей применяется аппарат алгебраической топологии.

Далее следует подчеркнуть, что топологические методы находят применение в разных областях математики. Так, хотя мы почти не затрагивали проблемы классификации геометрических фигур, заметим, что здесь имеется много вопросов топологического характера. Достаточно вспомнить о проблеме узлов, которая является частным случаем более общей проблемы вложения многообразий в евклидово пространство или в какое-нибудь другое многообразие. В качестве простого примера можно указать на топологическую задачу размещения замкнутой кривой линии - окружности - на замкнутых кривых поверхностях рода 1, 2 и т. д.

Топология - это современная ветвь математики, и изложение содержания любой из ее областей неизбежно приводит к обсуждению острых проблем, касающихся современного состояния математики и перспектив ее развития. Однако поскольку мы вынуждены ограничиться кратким описанием лишь некоторых самых общих математических принципов и идей, то очень многое пришлось сократить до минимума или опустить вообще.

Ветвь геометрии, посвященная исследованию непрерывности и предельного перехода на том естественном уровне общности, к-рый определяется природой этих понятий. Исходными понятиями О. т. являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения, выделенные в 1914 Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf).

Частным случаем непрерывных отображений являются гомеоморфизмы- непрерывные взаимно одпознач-ные отображения топологич. пространств, обладающие непрерывным обратным отображением. Пространства, к-рые можно отобразить друг на друга посредством гомеоморфизма (т. е. гомеоморфные пространства), считаются в О. т. одинаковыми. Одной из основных задач О. т. является выделение и исследование естественных топологич. инвариантов - свойство пространств, сохраняющихся гомеоморфизмами. Разумеется, каждое свойство пространства, к-рое формулируется исключи-

тельно в терминах его топологии, автоматически является топологич. инвариантом. Доказательство топологич. инвариантности свойства пространства требуется лишь тогда, когда оно формулируется с привлечением каких-либо дополнительных структур, определенных на множестве точек пространства и так или иначе связанных с его топологией. Примером может служить топологич. инвариантность групп гомологии.

Топологич. инвариант не обязательно выражается числом; напр., связность, бикомпакгность, метризуемость - топологич. инварианты. Среди числовых инвариантов (принимающих числовые значения на конкретных топологич. пространствах) важнейшими являются размерностные инварианты: малая индуктивная размерность ind, большая индуктивная размерность Ind и размерность Лебега dim (размерность в смысле покрытий).

Важную роль играют топологич. инварианты иной природы, значениями к-рых служат кардинальные числа. Среди них: вес, характер.

В связи с системой топологич. инвариантов возникают классы топологич. пространств - каждый класс определяется ограничением на тот или иной топологич. ин-вариапт. Наиболее важны классы метризуемых пространств, бикомпактных пространств, тихоновских пространств, паракомпактных пространств, перистых пространств.

Основные "внутренние" задачи О. т. таковы: 1) выделение новых важных классов топологич. пространств; 2) сравнение различных классов топологич. пространств; 3) изучение пространств в пределах того или иного класса и категорных свойств этого класса в целом. Центральной в этой группе, безусловно, является задача 2), направленная на обеспечение внутреннего единства О. т.

Выделение новых важных классов топологич. пространств (т. е. новых топологич. инвариантов) часто связано с рассмотрением дополнительных структур на пространстве (числовых, алгебраических, порядковых), естественно согласованных с его топологией. Так, выделяются метризуемые пространства, упорядоченные пространства, пространства топологических групп,. симметризуемые пространства и др. Важную роль при решении задач 1), 2), 3) играет метод покрытий. На языке покрытий и соотношений между покрытиями, важнейшими из к-рых являются отношения вписанности и звездной вписанности, выделяются фундаментальные классы бикомпактных и паракомпактных пространств, формулируются тоиологич. свойства типа компактности. Метод покрытий играет важную роль в pas-мерности теории.

Для решения центральной задачи 2) особенно важен метод взаимной классификации пространств и отображений. Он направлен на установление связей между различными классами топологич. пространств посредством непрерывных отображений, подчиненных тем или иным простым ограничениям. Пространства весьма общей природы удается при этом описать как образы более простых пространств при "хороших" отображениях. Напр.. пространства с первой аксиомой счетности характеризуются как образы метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях. Связи такого рода составляют эффективную систему ориентиров при рассмотрении классов топологич. пространств.

Метод обратных спектров, тесно связанный с методом покрытий и методом отображений, позволяет сводить изучение сложных топологич. пространств к рассмотрению систем отображений пространств более простых.

Наконец, в решении задачи 2) существенно участвует метод кардинальнозначных топологич. инвариантов, или мощностных характеристик. Инварианты такого рода наиболее созвучны теоретико-множественной природе О. т. В связи с этим система кардинальнозначных инвариантов обладает большой разветвленностью и оказывает влияние практически на все остальные топо-логич. свойства. Другая важная особенность кардинальнозначных инвариантов - их тесная взаимосвязь, в основе к-рой лежит возможность осуществлять над такими инвариантами арифметич. операции и сравнивать их по величине. Благодаря указанным чертам теория кардинальнозначных инвариантов играет унифицирующую роль в О. т. и дает подход к любому из ее разделов.

Среди внешних задач О. т. выделяется, прежде всего, следующая задача общего характера: как связаны и взаимодействуют свойства топологии и др. структур, согласованных с этой топологией. Конкретные задачи этого рода относятся к топологическим группам, к топологическим векторным пространствам и к мерам на топологических пространствах. Каждому бикомпакту отвечает банахова алгебра всех непрерывных действительных функций на этом бикомпакте. Этим теория топологич. пространств ставится в тесную связь с теорией банаховых алгебр. Большую роль в функциональном анализе играют слабые топологии на банаховых пространствах. Это - важный для приложений класс неметризуемых топологий. Каждое тихоновское пространство характеризуется однозначно кольцом всех непрерывных действительных функций на нем в топологии поточечной сходимости. Результаты этого рода соединяют О. т. и топологическую алгебру.

Понятие бикомпактного расширения нашло приложение в теории потенциала ( Кольцевая граница, Мартина граница ).

О. т. важна в методич. отношении при обучении математике. Только в рамках ее понятий и конструкций вполне выясняются и становятся прозрачными фундаментальные концепции непрерывности, сходимости, параллельного перехода. Трудно назвать области математики, в к-рых понятия и язык О. т. совсем бы не использовались. В этом, в частности, проявляется ее объединяющая роль в математике. Положение О. т. в математике определяется и тем, что целый ряд принципов и теорем, имеющих общематематич. значение, получает свою естественную (т. е. отвечающую природе этих принципов, теорем) формулировку только в рамках О. т. Примерами могут служить понятие бикомпактности - абстракции от леммы Гейне - Бореля о выборе конечного подпокрытия отрезка, теорема о бикомпактности произведения бикомпактных пространств (за к-рой стоит, в качестве прообраза, утверждение о бикомпактности конечномерного куба), теорема о том, что непрерывная действительная функция на бикомпакте ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений. Этот ряд примеров можно продолжить: понятие множества второй категории, понятие полноты, понятие расширения (сам характер этих понятий и относящихся к ним результатов, важных для математики в целом, делает наиболее естественным и прозрачным их исследование в рамках О. т.).

Лит. : Александров П. С, Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978, с. 280-358; его же, "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 2, с. 25-95; его же, там же, 1964, т. 19, в. 6, с. 3-46; 1965, т. 20, в. 1, с. 253-54; Алексндров П. С, Федорчук В. В., там же, 1978, т. 33, в. 3, с. 3- 48; Архангельский А. В., там же, 1966, т. 21, в. 4, с. 133-84; его же, там же, 1978, т. 33, в. 6, с. 29-84.

• - в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов...

  Физическая энциклопедия

• - область математики, возникшая для изучения таких свойств гео-метрич. фигур и их отображений друг в друга, к-рые не меняются при непрерывных деформациях...

  Математическая энциклопедия

• - раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование, в рамках математики, идеи непрерывности...

  Математическая энциклопедия

• - математическая дисциплина, изучающая такие свойства фигур, которые не изменяются при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний - это и есть топологические свойства...

  Начала современного Естествознания

• - раздел математики, изучающий топологич. свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Примерами топологич...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности...

  Большая Советская энциклопедия

• - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при...

  Энциклопедия Кольера

• - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний...

  Большой энциклопедический словарь

• - Р., Д., Пр....

  Орфографический словарь русского языка

• - ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. . Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур...

  Толковый словарь Ушакова

• - тополо́гия ж. Раздел математики, изучающий качественные свойства геометрических фигур, не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и...

  Толковый словарь Ефремовой

• - ...

  Орфографический словарь-справочник

• - топол"...

  Русский орфографический словарь

• - Наука, учение о местностях...

  Словарь иностранных слов русского языка

• - ...

  Формы слова

• - сущ., кол-во синонимов: 1 математика...

  Словарь синонимов

"ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ" в книгах

Топология Леонардо