Ví dụ về sự nhân lên của ma trận với các kích cỡ khác nhau. Toán học cho Teapots.

Chúng tôi sẽ liên tục "loại trừ" không xác định. Đối với điều này, phương trình đầu tiên của hệ thống sẽ không thay đổi và thứ hai và thứ ba chúng tôi chuyển đổi:

1) Đến phương trình thứ hai thêm lần đầu tiên, nhân với -2 và đưa nó vào loại -3 x. 2 –2x. 3 = –2;

2) đến phương trình thứ ba thêm lần đầu tiên, nhân với - 4 và đưa nó vào loại -3 x. 2 – 4x. 3 = 2.

Do đó, một điều không xác định sẽ được loại trừ khỏi các phương trình thứ hai và thứ ba. x. 1 và hệ thống sẽ xem xét

Phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống nhân với -1, chúng tôi nhận được

Hệ số 1 ở phương trình đầu tiên ở chưa biết đầu tiên hòx 1 gọi yếu tố chì Bước đầu tiên của ngoại lệ.

Trong bước thứ hai, các phương trình thứ nhất và thứ hai vẫn không thay đổi và cách loại trừ biến được áp dụng cho phương trình thứ ba. x. 2 . Yếu tố chì Bước thứ hai là hệ số 3. đến phương trình thứ ba, thêm thứ hai, nhân với -1, sau đó hệ thống được chuyển đổi thành tâm trí

(1.2)

Quá trình mang hệ thống (1.1) đến biểu mẫu (1.2) được gọi là trực tiếp phương pháp chạy Gaussa.

Thủ tục quyết định của hệ thống (1.2) được gọi là đảo ngược. Từ phương trình cuối cùng chúng ta nhận được hòx 3 \u003d -2. Thay thế giá trị này trong phương trình thứ hai, chúng ta sẽ nhận được hòx 2 \u003d 2. Sau đó, phương trình đầu tiên cho hòx 1 \u003d 1. Do đó, giải pháp hệ thống (1.1).

Khái niệm về ma trận

Xem xét các giá trị có trong hệ thống (1.1). Một bộ gồm chín hệ số số đứng trong các phương trình ở phía trước không xác định, tạo thành một bảng số được gọi là matrix.:

Số được gọi các yếu tố Ma trận. Các yếu tố hình thức. hàng và cột Ma trận. Số lượng hàng và số lượng cột Mẫu kích thước. Ma trận. Ma trận NHƯNGnó có kích thước 3'3 ("ba đến ba") và số đầu tiên chỉ ra số lượng hàng và cột thứ hai. Thường thì ma trận được chỉ định bằng cách chỉ ra kích thước của nó A (3 '3). Vì số lượng hàng và cột trong ma trận NHƯNG CÒNG, MATRIX được gọi là quảng trường. Số lượng chuỗi (và cột) trong một ma trận vuông được gọi là nó thủ tục, vì thế NHƯNG- ma trận thứ ba.

Các phần bên phải của các phương trình cũng tạo thành một bảng số, tức là. MATRIX:

Mỗi dòng của ma trận này được hình thành bởi phần tử duy nhất, vì vậy B. (3 '1) được gọi là ma trận cột, kích thước của nó 3'1. Bộ không xác định cũng có thể được biểu diễn dưới dạng Ma trận cột:

Nhân với một ma trận vuông trên một ma trận cột

Với ma trận, bạn có thể sản xuất các hoạt động khác nhau sẽ được thảo luận chi tiết trong tương lai. Ở đây chúng tôi sẽ chỉ phân tích quy tắc nhân của ma trận vuông trên ma trận cột. Bởi Định nghĩa, kết quả của sự nhân lên của ma trận NHƯNG (3 '3) trên cột TRONG (3 '1) là cột D. (3 '1), các yếu tố bằng với lượng công trình của các phần tử của chuỗi ma trận NHƯNGtrên các yếu tố của cột TRONG:

2)thứ hai Phần tử cột. D.bằng với số lượng công việc của các yếu tố thứ hai Hàng ma trận NHƯNG Trên các yếu tố của cột TRONG:

Từ các công thức trên, có thể thấy rằng việc nhân ma trận vào cột TRONG chỉ có thể nếu số lượng cột của ma trận NHƯNG bằng số phần tử trong cột TRONG.

Xem xét hai ví dụ số nhiều hơn về phép nhân của ma trận (3 '3) trên cột (3' 1):

Ví dụ 1.1.

Au. =
.

Ví dụ 1.2.

Au.= .

Khóa học thứ nhất, toán học cao hơn, chúng tôi học matrias. và các hành động cơ bản trên chúng. Ở đây chúng tôi hệ thống hóa các hoạt động cơ bản có thể được thực hiện với ma trận. Làm thế nào để bắt đầu một người quen với ma trận? Tất nhiên, với các định nghĩa đơn giản nhất, các khái niệm cơ bản và các hoạt động đơn giản nhất. Chúng tôi đảm bảo với ma trận sẽ hiểu tất cả những người sẽ cung cấp cho họ ít nhất một chút thời gian!

Định nghĩa của ma trận

Ma trận - Đây là một bảng hình chữ nhật của các yếu tố. Chà, nếu một ngôn ngữ đơn giản là một bảng số.

Thường là ma trận được chỉ định bởi các chữ Latin vốn. Ví dụ, ma trận A. , ma trận B. Vân vân. Các ma trận có thể có kích thước khác nhau: hình chữ nhật, hình vuông, cũng có chuỗi ma trận và ma trận cột, được gọi là vectơ. Kích thước của ma trận được xác định bởi số lượng hàng và cột. Ví dụ: viết một ma trận kích thước hình chữ nhật m. trên n. Ở đâu m. - Số dòng, và n. - Số cột.

Các yếu tố trong đó i \u003d j. (a11, A22, .. ) Tạo đường chéo chính của ma trận, và được gọi là chéo.

Những gì có thể được thực hiện với ma trận? Gấp / khấu trừ, nhân với số, nhân với nhau, chuyển đổi. Bây giờ về tất cả các hoạt động cơ bản về ma trận theo thứ tự.

Hoạt động của việc bổ sung và trừ ma trận

Ngay lập tức cảnh báo rằng bạn chỉ có thể thêm ma trận cùng kích thước. Do đó, ma trận có cùng kích thước sẽ được. Để gấp (hoặc khấu trừ) Ma trận rất đơn giản - chỉ cần gấp yếu tố tương ứng của họ . Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ. Thực hiện việc bổ sung hai ma trận A và trong hai hai.

Trừ được thực hiện bằng cách tương tự, chỉ với dấu ngược lại.

Bạn có thể nhân bất kỳ ma trận nào trên một số tùy ý. Để làm điều này, bạn cần nhân với số này từng phần tử. Ví dụ: nhân ma trận A từ ví dụ đầu tiên số 5:

Ma trận hoạt động nhân lên

Không phải tất cả các ma trận sẽ có thể nhân lên. Ví dụ: chúng ta có hai ma trận - a và b. Chúng chỉ có thể được nhân với nhau nếu số lượng cột của ma trận bằng số dòng của ma trận B. cùng một lúc mỗi yếu tố của ma trận kết quả, đứng trong hàng I-th và cột J-M, sẽ bằng với lượng sản phẩm của các yếu tố tương ứng trong dòng đầu tiên của yếu tố đầu tiên và cột J-M của thứ hai. Để hiểu thuật toán này, hãy viết ra, vì hai ma trận vuông được nhân lên:

Và một ví dụ với số thực. Matrix nhân:

Ma trận vận hành chuyển phát

Sự chuyển vị của ma trận là một hoạt động khi các đường và cột tương ứng được thay đổi ở những nơi. Ví dụ: chúng tôi chuyển khỏi Ma trận A từ ví dụ đầu tiên:

Yếu tố quyết định của ma trận

Các yếu tố quyết định, về yếu tố quyết định - một trong những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính. Một khi mọi người đã đưa ra các phương trình tuyến tính, và yếu tố quyết định đã phải phát minh ra chúng. Kết quả là, bạn phải đối phó với tất cả những điều này, vì vậy, jerk cuối cùng!

Các yếu tố quyết định là đặc điểm số của ma trận vuông cần thiết để giải quyết nhiều nhiệm vụ.
Để tính toán quyết định của chính ma trận vuông đơn giản nhất, cần phải tính chênh lệch trong các công trình của các yếu tố của đường chéo chính và bên.

Mục đích của Ma trận thứ nhất, đó là, bao gồm một phần tử bằng với phần tử này.

Và nếu ma trận là ba đến ba? Nó đã phức tạp hơn ở đây, nhưng bạn có thể đối phó.

Đối với một ma trận như vậy, giá trị của quy định bằng với lượng sản phẩm của các yếu tố của đường chéo chính và các công trình của các yếu tố của các hình tam giác với đường chéo chính song song, trên đó sản phẩm của các yếu tố của Đường chéo bên và sản phẩm của các yếu tố nằm trên các hình tam giác với khía cạnh song song với đường chéo được trừ.

May mắn thay, để tính toán các yếu tố quyết định của các ma trận có kích thước lớn trong thực tế là rất hiếm.

Ở đây chúng tôi đã xem xét các hoạt động cơ bản về ma trận. Tất nhiên, trong cuộc sống thực, không bao giờ có thể đáp ứng ngay cả một gợi ý của một hệ thống ma trận hoặc ngược lại - gặp phải các trường hợp phức tạp hơn nhiều khi bạn phải thực sự phá vỡ đầu của mình. Đó là những trường hợp như vậy là có một dịch vụ sinh viên chuyên nghiệp. Trợ giúp liên hệ, có được một giải pháp chất lượng cao và chi tiết, tận hưởng việc học và thời gian rảnh.

Bổ sung ma trận:

Trừ và thêm ma trận Nó đi xuống các hoạt động thích hợp so với các yếu tố của họ. Hoạt động của việc bổ sung ma trận Chỉ nhập cho matrix. kích thước giống hệt nhau, tức là cho matrix.những người có số lượng hàng và cột phù hợp. Tổng của ma trận. A và B, được gọi là ma trận C, các yếu tố bằng tổng của tổng các phần tử tương ứng. C \u003d a + in c ij \u003d a ij + b ij được xác định tương tự sự khác biệt của ma trận.

Phép nhân của ma trận theo số:

Ma trận hoạt động nhân (chia) Bất kỳ kích thước nào trên một số tùy ý được giảm xuống để nhân (chia) của từng yếu tố. matrias. về số này. Công việc của ma trận Và số k được gọi là ma trận Trong đó

b ij \u003d k × a ij. B \u003d k × a b ij \u003d k × a ij. Ma trận - A \u003d (-1) × và được gọi là ngược lại matrix. NHƯNG.

Tính chất của ma trận gấp và nhân của ma trận theo số:

Hoạt động của việc bổ sung ma trận và nhân của ma trận Số sở hữu các thuộc tính sau: 1. A + B \u003d B + A; 2. A + (B + C) \u003d (A + B) + C; 3. A + 0 \u003d A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A \u003d a; 6. α × (A + C) \u003d α và + αv; 7. (α + β) × A \u003d αa + βa; 8. α × (βa) \u003d (αβ) × a; Trong đó A, B và C - ma trận, α và số - số.

Nhân với ma trận (tác phẩm của ma trận):

Hoạt động nhân của hai ma trận Chỉ nhập vào trường hợp khi số lượng cột đầu tiên matrias. bằng số chuỗi thứ hai matrias.. Công việc của ma trận Và m × n trên matrix. Trong n × p, được gọi là ma trận Với m × p sao cho ik \u003d A i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk, i.e. Có số lượng công việc của các yếu tố i - s matrias. Và trên các yếu tố thích hợp của cột JOD matrias. B. Nếu matrias. Và trong một kích thước vuông, sau đó các tác phẩm của AV và VA luôn tồn tại. Thật dễ dàng để chỉ ra rằng A × e \u003d e × a \u003d a, ở đâu và vuông ma trận, E - Độc thân ma trận cùng cỡ.

Tính chất của sự nhân lên của ma trận:

Phép nhân ma trận Không giao hoán, tôi Ab ≠ wa ngay cả khi cả hai công việc được xác định. Tuy nhiên, nếu cho bất kỳ matrix. Tỷ lệ AV \u003d BA được thực hiện, sau đó như vậy matrias. Gọi là hoán vị. Ví dụ đặc trưng nhất có thể đóng vai trò là một ma trậnmà là bất lực từ bất kỳ khác matrix. cùng cỡ. Hoán vị chỉ có thể là hình vuông matrias. cùng một thứ tự. A × e \u003d e × a \u003d a

Phép nhân ma trận Nó có các thuộc tính sau: 1. A × (tính bằng × s) \u003d (a × c) × s; 2. A × (B + C) \u003d AV + AC; 3. (A + B) × C \u003d AC + Sun; 4. α × (AV) \u003d (α) × trong; 5. A × 0 \u003d 0; 0 × A \u003d 0; 6. (AV) t \u003d in t và t; 7. (abc) t \u003d s t trong t a t; 8. (A + B) T \u003d a t + in t;

2. Các yếu tố quyết định của các đơn đặt hàng thứ 2 và 3. Tính chất của các yếu tố quyết định.

Quyết định ma trận thứ hai hoặc bản ngã Lệnh thứ hai được gọi là số được tính theo công thức:

Quyết định ma trận thứ ba hoặc bản ngã Lệnh thứ ba được gọi là số được tính theo công thức:

Con số này đại diện cho một số lượng đại số bao gồm sáu cáo buộc. Trong mỗi danh mục, nó chính xác là một yếu tố từ mỗi hàng và mỗi cột. matrias.. Mỗi danh mục bao gồm một tác phẩm của ba yếu tố.

Dấu hiệu với những thành viên nào yếu tố quyết định của ma trận bao gồm trong công thức tìm yếu tố quyết định của ma trận Lệnh thứ ba có thể được xác định bằng cách sử dụng sơ đồ sau gọi là Tam giác hoặc Quy tắc Sarrus. Ba thành phần đầu tiên được chụp bằng dấu cộng và được xác định từ bản vẽ bên trái và ba thành phần tiếp theo được chụp bằng dấu trừ và được xác định từ bản vẽ bên phải.

Xác định số lượng linh kiện để tìm kiếm yếu tố quyết định của ma trận, Trong một số lượng đại số, bạn có thể tính toán Electorial: 2! \u003d 1 × 2 \u003d 2 3! \u003d 1 × 2 × 3 \u003d 6

Tính chất của các yếu tố quyết định ma trận

Tính chất của các yếu tố quyết định ma trận:

Tài sản số 1:

Yếu tố quyết định của ma trận Nó sẽ không thay đổi nếu các dòng của nó được thay thế bằng các cột và mỗi dòng có một cột có cùng số và ngược lại (Transpition). | A |. \u003d | A | T.

Kết quả:

Cột và chuỗi yếu tố quyết định của ma trận Bằng nhau, do đó, các thuộc tính vốn có trong các hàng được thực hiện cho các cột.

Tài sản số 2:

Khi hoán vị 2 dòng hoặc cột yếu tố quyết định của ma trận Thay đổi dấu hiệu ngược lại, giữ giá trị tuyệt đối, tức là:

Tài sản số 3:

Yếu tố quyết định của ma trậncó hai hàng giống hệt nhau bằng không.

Tài sản số 4:

Hệ số phần tử chung của bất kỳ loạt nào yếu tố quyết định của ma trận có thể được lấy ra cho một dấu hiệu bản ngã.

Hậu quả của tài sản số 3 và số 4:

Nếu tất cả các phần tử của một số hàng (hàng hoặc cột) tỷ lệ thuận với các phần tử tương ứng của một hàng song song, thì đó như vậy yếu tố quyết định của ma trận bằng không.

Tài sản số 5:

yếu tố quyết định của ma trận bằng không, sau đó yếu tố quyết định của ma trận bằng không.

Tài sản số 6:

Nếu tất cả các yếu tố của bất kỳ hàng hoặc cột nào bản ngã trình bày dưới dạng tổng của các điều khoản thứ 2, sau đó bản ngã matrias. có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 deterpetes. Theo công thức:

Tài sản số 7:

Nếu đến bất kỳ chuỗi (hoặc cột) bản ngã Thêm các yếu tố thích hợp của một dòng khác (hoặc cột) nhân với cùng một số, sau đó yếu tố quyết định của ma trận Sẽ không thay đổi giá trị của nó.

Một ví dụ về việc áp dụng các thuộc tính để tính toán yếu tố quyết định của ma trận:

Vì vậy, trong bài học trước, chúng tôi tháo rời các quy tắc để bổ sung và trừ ma trận. Đây là những hoạt động đơn giản mà hầu hết các sinh viên hiểu chúng theo nghĩa đen với việc đi.

Tuy nhiên, bạn vui mừng sớm. Freebie đã kết thúc - đi đến phép nhân. Ngay lập tức tôi cảnh báo bạn: Nhân hai ma trận hoàn toàn không nhân các số trong các ô có cùng tọa độ, như thể bạn có thể nghĩ. Mọi thứ đều vui hơn nhiều ở đây. Và để bắt đầu với các định nghĩa sơ bộ.

Ma trận nhất quán.

Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của ma trận là kích thước của nó. Chúng tôi đã nói về nó một trăm lần: bản ghi $ a \u003d \\ left [m \\ ork n \\ right] $ có nghĩa là trong ma trận chính xác các hàng $ m $ và $ n $ cột. Làm thế nào để không gây nhầm lẫn các hàng với các cột, chúng ta đã thảo luận quá. Bây giờ nó rất quan trọng.

Định nghĩa. Ma trận của Mẫu $ a \u003d \\ Left] $ và $ B \u003d \\ Left] $ và $ B \u003d \\ Left [N \\ Times K \\ RIGHT] $, trong đó số lượng cột trong ma trận đầu tiên trùng với số các hàng trong lần thứ hai, được gọi là phối hợp.

Một lần nữa: Số lượng cột trong ma trận đầu tiên bằng số lượng hàng trong lần thứ hai! Từ đây chúng tôi nhận được hai đầu ra cùng một lúc:

1. Chúng tôi rất quan trọng đối với thứ tự của ma trận. Ví dụ: ma trận $ a \u003d \\ left [3 \\ links 2 \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [2 \\ erork 5 \\ right] $ được đồng ý (2 cột trong Ma trận đầu tiên và 2 dòng trong giây) , nhưng ngược lại - ma trận $ b \u003d \\ left [2 \\ links 5 \\ right] $ và $ a \u003d \\ left [3 \\ links 2 \\ right] $ - không còn đồng ý (5 cột trong ma trận đầu tiên - nó không phải là 3 dòng trong lần thứ hai).
2. Tính nhất quán rất dễ kiểm tra nếu bạn viết ra tất cả các kích thước sau nhau. Trên ví dụ về đoạn trước: "3 2 2 5" - ở giữa cùng số, do đó, ma trận được thỏa thuận. Nhưng "2 5 3 2" - không đồng ý, vì ở giữa có những con số khác nhau.

Ngoài ra, thuyền trưởng rõ ràng là nó bay rằng ma trận vuông có cùng số lượng $ \\ bên trái [n \\ erres n \\ right] $ luôn nhất quán.

Trong toán học, khi thủ tục chuyển các đối tượng là quan trọng (ví dụ: trong định nghĩa ở trên, quy trình cho ma trận rất quan trọng), thường nói về các cặp được đặt hàng. Chúng tôi đã gặp họ ở trường: Tôi nghĩ rằng nó cũng rõ ràng rằng tọa độ $ \\ trái (1; 0 \\ phải) $ và $ \\ trái (0; 1 \\ phải) $ Đặt các điểm khác nhau trên mặt phẳng.

Vì vậy: tọa độ cũng được sắp xếp các cặp được biên dịch từ các số. Nhưng không có gì ngăn cản một cặp ma trận như vậy. Sau đó, có thể nói: "một cặp ma trận $ \\ trái (a; b \\ right) $ là nhất quán nếu số lượng cột trong ma trận đầu tiên trùng với số lượng hàng trong lần thứ hai."

Vâng, vậy sao?

Định nghĩa của phép nhân

Xem xét hai ma trận nhất quán: $ a \u003d \\ left [m \\ ork n \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [n \\ time k \\ right] $. Và chúng tôi xác định một hoạt động nhân cho họ.

Định nghĩa. Sản phẩm của hai ma trận nhất quán $ a \u003d \\ left [m \\ ork n \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [n \\ ork k \\ right] $ là một ma trận mới $ c \u003d \\ left [m \\ lesth k \\ Phải] $ $ có các yếu tố được xem xét bởi công thức:

\\ [\\ bắt đầu (căn chỉnh) & ((c) _ (i; j)) \u003d ((a) _ (i; 1)) \\ cdot ((b) _ (1; j)) + ((a) _ (i; 2)) \\ cdot ((b) _ (2; j)) + \\ ldots + ((a) _ (i; n)) \\ cdot ((b) _ (n; j)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sum \\ giới hạn_ (t \u003d 1) ^ (n) (((a) _ (i; t)) \\ cdot ((b) _ (t; j))) \\ end (align) \\]

Tiêu chuẩn là tiêu chuẩn: $ c \u003d a \\ cdot b $.

Đối với những người lần đầu tiên nhìn thấy định nghĩa này, hai câu hỏi ngay lập tức phát sinh:

1. Đây chỉ là trò chơi là gì?
2. Tại sao lại khó như vậy?

Vâng, về tất cả mọi thứ theo thứ tự. Hãy bắt đầu với câu hỏi đầu tiên. Tất cả những chỉ số này có nghĩa là gì? Và làm thế nào để không phạm sai lầm khi làm việc với ma trận thực sự?

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng đường dài để tính $ ((c) _ _ (i; j)) $ (đặc biệt đặt một điểm bằng dấu phẩy giữa các chỉ số, để không bị nhầm lẫn, nhưng tất cả đều không cần thiết để đặt chúng - bản thân tôi đã làm tổn thương công thức trong định nghĩa) thực sự đi xuống một quy tắc đơn giản:

1. Chúng tôi lấy một dòng $ i $ -un trong ma trận đầu tiên;
2. Chúng tôi lấy một cột $ J $ -A trong ma trận thứ hai;
3. Chúng tôi nhận được hai chuỗi số. Thay thế các mục của các chuỗi này có cùng số, sau đó gấp các tác phẩm thu được.

Quá trình này dễ hiểu hình ảnh:

Một lần nữa: Tôi sửa dòng $ i $ trong Ma trận đầu tiên, cột $ J $ trong Ma trận thứ hai, biến các phần tử có cùng số và sau đó các tác phẩm thu được được gấp lại - chúng ta nhận được $ ((c) _ ( IJ)) $. Và vì vậy, với tất cả $ 1 \\ le i \\ le m $ và $ 1 \\ le j \\ le k $. Những, cái đó. Sẽ có tổng cộng $ m \\ gấp k $ của "những sai lầm".

Trên thực tế, chúng tôi đã gặp gỡ nhân các ma trận trong chương trình của trường, chỉ trong một hình thức cắt tỉa mạnh mẽ. Hãy để vectơ:

\\ [\\ bắt đầu (căn chỉnh) \\ vec (a) \u003d \\ Left (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); (((z) _ (a)) \\ phải); \\ \\ \\ HeumRightarrow (b) \u003d \\ Left (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); (((z) _ (b)) \\ \u200b\u200bphải). \\\\ \\ end (align) \\]

Sau đó, công việc vô hướng của họ sẽ là số lượng hoạt động của cặp:

\\ [\\ HeentRightarrow (A) \\ Times \\ HeentRightarrow (b) \u003d ((x) _ (a)) \\ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \\ cdot ((y ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \\ cdot ((z) _ (b)) \\]

Trên thực tế, trong những năm xa xôi đó, khi cây xanh lá cây, và bầu trời sáng hơn, chúng ta chỉ đơn giản là nhân với chuỗi vector $ \\ HeentRightarrow trên vector Cột $ \\ Ghi đè (B) $.

Hôm nay không có gì đã thay đổi. Chỉ là những hàng và cột này đã trở nên nhiều hơn.

Nhưng đủ lý thuyết! Hãy xem xét các ví dụ thực sự. Và bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất - Matrices vuông.

Nhân Matrices vuông

Nhiệm vụ 1. Thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ strake (mảng) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Phán quyết. Vì vậy, chúng ta có hai ma trận: $ a \u003d \\ left [2 \\ ork 2 \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [2 \\ ork 2 \\ right] $. Rõ ràng là chúng được đồng ý (ma trận vuông có cùng kích thước luôn nhất quán). Do đó, chúng tôi thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Bearch (align) & \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ bên trái [\\ bắt đầu (Mảng) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [order (mảng) (* (35) (r)) 1 \\ Cdot \\ trái (-2 \\ right) +2 \\ cdot 3 & 1 \\ cdot 4 + 2 \\ cdot 1 \\\\ -3 \\ cdot \\ trái (-2 \\ right) +4 \\ cdot 3 & -3 \\ cdot 4 + 4 \\ CDOT 1 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ end ( Mảng) \\ phải]. \\ End (căn chỉnh) \\]

Đó là tất cả!

Trả lời: $ \\ bên trái [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 8 & -8 \\\\\\ end (mảng) \\ right] $.

Nhiệm vụ 2. Thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Left [\\ bearch (ma trận) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ end (ma trận) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Phán quyết. Một lần nữa các ma trận đã thỏa thuận, vì vậy hãy thực hiện các hành động: \\ [\\]

\\ [\\ Bearch (Align) \\ Left [\\ Begin (Matrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] \\ CDOT \\ TRÁI KHÔNG BẮT ĐẦU [\\ BEGIN (ARRAY) (* (35) (r) ) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 1 \\ cdot 9 + 3 \\ cdot \\ trái ( -3 \\ right) & 1 \\ cdot 6 + 3 \\ cdot \\ left (-2 \\ right) \\\\ 2 \\ cdot 9 + 6 \\ cdot \\ trái (-3 \\ right) & 2 \\ cdot 6 + 6 \\ cdot \\ Còn lại (-2 \\ phải) \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (ma trận) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ end (ma trận) \\ phải]. \\ End (căn chỉnh) \\]

Như chúng ta thấy, hóa ra ma trận chứa đầy số không

Trả lời: $ \\ bên trái [\\ bắt đầu (Ma trận) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] $.

Từ các ví dụ trên, rõ ràng là sự nhân lên của ma trận không phải là một hoạt động khó khăn như vậy. Ít nhất là cho ma trận vuông kích thước 2 đến 2.

Trong quá trình tính toán, chúng tôi đã cấu thành một ma trận trung gian, nơi vẽ trực tiếp, những con số bao gồm trong một hoặc một ô khác. Đây là cách nó nên được thực hiện khi giải quyết các nhiệm vụ này.

Các thuộc tính chính của việc làm việc Matrix

Một cách ngắn gọn. Phép nhân ma trận:

1. Không phổ biến: $ a \\ cdot b \\ ne b \\ cdot A $ trong trường hợp chung. Tất nhiên, có những ma trận đặc biệt mà sự bình đẳng là $ a \\ cdot b \u003d b \\ cdot A $ (ví dụ: nếu $ b \u003d e $ là một ma trận duy nhất), nhưng trong hầu hết các trường hợp, nó không hoạt động;
2. Liên kết: $ \\ Left (a \\ cdot b \\ right) \\ cdot c \u003d a \\ cdot \\ trái (b \\ cdot c \\ right) $. Ở đây không có tùy chọn: Đứng bên cạnh ma trận có thể được nhân lên, không sống sót cho lần tiếp theo và bên phải của hai ma trận này.
3. Phân phối: $ a \\ cdot \\ left (b + c \\ right) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c $ và $ \\ bên trái (A + B \\ RIFE) \\ cdot c \u003d a \\ cdot c + b \\ cdot c $ (do không phổ biến, công việc phải phân phối riêng biệt ở bên phải và bên trái.

Và bây giờ - tất cả đều giống nhau, nhưng chi tiết hơn.

Nhân các ma trận phần lớn gợi nhớ đến việc nhân số cổ điển. Nhưng có sự khác biệt, quan trọng nhất trong số đó là nhân với ma trận, nói chung, không phổ biến.

Xem xét một lần nữa ma trận từ nhiệm vụ 1. Chúng tôi đã biết công việc trực tiếp của họ:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ strake (mảng) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Nhưng nếu bạn thay đổi ma trận ở một số nơi, chúng ta sẽ nhận được một kết quả hoàn toàn khác:

\\ [\\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (mảng) (* ( 35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ Left [\\ Begin (Matrix) -14 & 4 \\\\ 0 & 10 \\\\\\ end (Ma trận) \\ ĐÚNG] \\]

Hóa ra rằng $ a \\ cdot b \\ ne b \\ cdot A $. Ngoài ra, hoạt động nhân chỉ được xác định đối với ma trận phối hợp $ a \u003d \\ left [m \\ ork n \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [n \\ time k \\ right] $, nhưng không ai đảm bảo rằng chúng sẽ vẫn còn đồng ý, nếu họ thay đổi chúng ở những nơi. Ví dụ: Ma trận $ \\ Left [2 \\ Lần 3 \\ right] $ và $ \\ bên trái [3 \\ lần 5 \\ right] $ khá nhất quán theo thứ tự được chỉ định, nhưng cùng một ma trận $ \\ bên trái [3 \\ lần 5 \\ Phải] $ và $ \\ bên trái [2 \\ lần 3 \\ right] $ được ghi theo thứ tự ngược lại không còn được đồng ý. Sự sầu nảo. :(

Trong số các ma trận vuông của kích thước được chỉ định $ n $ sẽ luôn tìm thấy như vậy cho kết quả tương tự cả khi nhân theo thứ tự trực tiếp và ngược lại. Làm thế nào để mô tả tất cả các ma trận tương tự (và bao nhiêu nói chung) là chủ đề cho một bài học riêng. Hôm nay chúng ta sẽ không nói về nó. :)

Tuy nhiên, nhân hóa ma trận là kết hợp:

\\ [\\ left) \\ cdot c \u003d a \\ cdot \\ left (b \\ cdot c \\ right) \\]

Do đó, khi bạn cần nhân nhiều ma trận liên tiếp cùng một lúc, nó khá cần thiết để làm điều đó với một chiếc SLOP: Hoàn toàn có thể một số ma trận đứng gần đó mang lại một kết quả thú vị. Ví dụ: ma trận không, như trong nhiệm vụ 2, đã thảo luận ở trên.

Trong các nhiệm vụ thực tế, nó thường phải nhân với các ma trận vuông có kích thước của $ \\ bên trái [n \\ ork n \\ right] $. Tập hợp tất cả các ma trận như vậy được biểu thị bằng $ ((m) ^ (n)) $ (tức là ghi lại $ a \u003d \\ left [n \\ ork n \\ right] $ và \\ có nghĩa giống nhau) và nó sẽ là cần thiết Trong đó Matrix $ e $, được gọi là đơn.

Định nghĩa. Ma trận duy nhất của số tiền $ n $ là một ma trận $ e như vậy cho bất kỳ ma trận vuông $ a \u003d \\ left [n \\ ork n \\ right] $ được thực hiện bởi sự bình đẳng:

Một ma trận như vậy luôn trông như nhau: Trên đường chéo chính có các đơn vị, và trong tất cả các tế bào khác - số không.

\\ [\\ bearch (align) & \\ cdot \\ trái (b + c \\ right) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c; \\ & \\ TRÁI (A + B \\ RIGHT) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C. \\\\ \\ end (Căn chỉnh) \\]

Nói cách khác, nếu bạn cần nhân một ma trận cho tổng của hai cái còn lại, bạn có thể nhân nó với mỗi "hai" khác ", sau đó gấp kết quả. Trong thực tế, thường là cần thiết để thực hiện một hoạt động ngược: chúng tôi nhận thấy cùng một ma trận, chúng tôi mang nó ra cho khung, chúng tôi thực hiện bổ sung và do đó đơn giản hóa cuộc sống của bạn. :)

Lưu ý: Để mô tả phân bổ, chúng tôi đã phải đăng ký hai công thức: nơi số tiền nằm trong hệ số thứ hai và nơi số tiền đầu tiên. Điều này đang xảy ra do thực tế là sự nhân lên của ma trận là không phổ biến (và nói chung, trong một đại số không giao hoán rất nhiều truyện cười, khi làm việc với các số bình thường, thậm chí không đến với tâm trí). Và nếu, hãy nói, bạn sẽ cần phải viết tài sản này trong kỳ thi, sau đó bạn chắc chắn sẽ viết cả hai công thức, nếu không giáo viên có thể tức giận một chút.

Được rồi, tất cả những câu chuyện cổ tích về ma trận vuông. Còn hình chữ nhật thì sao?

Trường hợp ma trận hình chữ nhật

Và không có gì giống như với hình vuông.

Nhiệm vụ 3. Thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Left [\\ bign (ma trận) \\ bắt đầu (ma trận) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ end (ma trận) & \\ bearch (ma trận) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\\\ end (Ma trận) \\ \\ \\ End (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) -2 & 5 \\\\ 3 & 4 \\\\ end (mảng) \\ right] \\]

Phán quyết. Chúng tôi có hai ma trận: $ a \u003d \\ left [3 \\ ork 2 \\ right] $ và $ b \u003d \\ left [2 \\ ork 2 \\ right] $. Chúng tôi đã uống số biểu thị kích thước liên tiếp:

Như bạn có thể thấy, các số trung tâm trùng khớp. Vì vậy, ma trận được thỏa thuận, và chúng có thể nhân lên. Và ở đầu ra, chúng tôi nhận được Matrix $ C \u003d \\ Left [3 \\ Times 2 \\ RIGHT] $:

\\ [\\ Bearch (align) \\ left [\\ bign (ma trận) \\ bắt đầu (Ma trận) 5 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ end (Ma trận) & \\ BEGIN (MATRIX) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ \\ end (Matrix) \\\\\\ end (ma trận) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) -2 & 5 \\\\ 3 & 4 \\\\ end (mảng) \\ phải] \u003d \\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 5 \\ cdot \\ trái (-2 \\ right) +4 \\ cdot 3 & 5 \\ cdot 5 + 4 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot \\ Bên trái (-2 \\ right) +5 \\ cdot 3 & 2 \\ cdot 5 + 5 \\ cdot 4 \\\\ 3 \\ cdot \\ trái (-2 \\ right) +1 \\ cdot 3 & 3 \\ cdot 5 + 1 \\ cdot 4 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 2 & 41 \\\\ 11 & 30 \\\\ -3 & 19 \\ \\\\ end (Mảng) \\ phải]. \\ End (căn chỉnh) \\]

Mọi thứ đều rõ ràng: Trong ma trận cuối cùng của 3 dòng và 2 cột. Nó là khá $ \u003d \\ bên trái [3 \\ lần 2 \\ phải] $.

Trả lời: $ \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) \\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) 2 \\\\ 11 \\\\ - 3 \\\\ end (mảng) & \\ Bắt đầu (MATRIX) 41 \\\\ 30 \\\\ 19 \\\\ end (Ma trận) \\\\ end (mảng) \\ right] $.

Bây giờ hãy xem xét một trong những nhiệm vụ đào tạo tốt nhất cho những người chỉ bắt đầu làm việc với ma trận. Trong đó, cần phải chỉ đơn giản là nhân lên một số hai dấu hiệu, nhưng trước tiên xác định liệu phép nhân như vậy có được cho phép không?

Nhiệm vụ 4. Tìm tất cả các cặp ma trận có thể:

\\\\]; $ B \u003d \\ left [\\ bearch (ma trận) \\ bắt đầu (ma trận) 0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ end (ma trận) \\ bắt đầu (ma trận) 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\ \\\\ End (matrix) \\\\ end (ma trận) \\ phải] $; $ C \u003d \\ Left [\\ Begin (Matrix) 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] $.

Phán quyết. Để bắt đầu, hãy viết kích thước của ma trận:

\\; \\ B \u003d \\ left [4 \\ l lần 2 \\ right]; \\ c \u003d \\ left [2 \\ ork 2 \\ right] \\]

Chúng tôi có được Ma trận $ A $ AN chỉ có thể được phối hợp với Ma trận $ B $, vì số lượng cột bằng $ A $ là 4 và một số hàng như vậy chỉ là $ B $. Do đó, chúng ta có thể tìm thấy một công việc:

\\\\ cdot \\ bên trái [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) 0 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 3 \\\\ 4 & 0 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ Còn lại [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) - 10 & 7 \\\\ 10 & 7 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Tôi đề xuất các bước trung gian để tự mình thực hiện người đọc. Tôi chỉ lưu ý rằng kích thước của ma trận kết quả tốt hơn để xác định trước, ngay cả trước bất kỳ tính toán nào:

\\\\ cdot \\ bên trái [4 \\ lần 2 \\ phải] \u003d \\ bên trái [2 \\ lần 2 \\ phải] \\]

Nói cách khác, chúng ta chỉ cần xóa các hệ số "quá cảnh" đảm bảo tính nhất quán của ma trận.

Những lựa chọn nào khác có thể? Tất nhiên, bạn có thể tìm thấy $ b \\ cdot A $, vì $ b \u003d \\ left [4 \\ lips 2 \\ right] $, $ a \u003d \\ left [2 \\ l lần 4 \\ right] $, do đó, Vapor $ \\ Left (b; a \\ right) $ là nhất quán, và kích thước của công việc sẽ là:

\\\\ cdot \\ bên trái [2 \\ lần 4 \\ right] \u003d \\ left [4 \\ ork 4 \\ right] \\]

Nói tóm lại, ở đầu ra sẽ có một ma trận $ \\ bên trái [4 \\ lần 4 \\ right] $, các hệ số được xem xét dễ dàng:

\\\\ cdot \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 1 &1 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [\\ Start (mảng) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 & -4 & 6 & 6 \\\\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Rõ ràng, bạn có thể đồng ý trên một $ C \\ CDOT khác $ và $ b \\ cdot c $ - và đó là nó. Do đó, chúng tôi chỉ cần viết các tác phẩm thu được:

Thật dễ dàng. :)

Trả lời: $ ab \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) -10 & 7 \\\\ 10 & 7 \\\\ end (mảng) \\ phải] $; $ Ba \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 2 & 3 & 4 & 6 \\\\ 2 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 4 & -4 & 8 &8 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] $; $ CA \u003d \\ Left [\\ Begin (mảng) (* (35) (r)) 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 &1 & 2 & -2 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] $; $ Bc \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 0 & 4 \\\\ end (mảng) \\ right] $.

Nói chung, tôi rất khuyên bạn nên thực hiện nhiệm vụ này. Và một nhiệm vụ tương tự khác trong bài tập về nhà của bạn. Những suy nghĩ đơn giản này sẽ giúp bạn tìm ra tất cả các giai đoạn quan trọng của sự nhân lên của ma trận.

Nhưng về câu chuyện này không kết thúc. Đi đến các trường hợp đặc biệt của phép nhân. :)

Chuỗi vector và cột vector

Một trong những thao tác ma trận phổ biến nhất là phép nhân trên một ma trận trong đó một dòng hoặc một cột.

Định nghĩa. Cột vectơ là một ma trận có kích thước $ \\ bên trái [m \\ lần 1 \\ right] $, I.E. bao gồm một số dòng và chỉ một cột.

Chuỗi vector là ma trận $ \\ bên trái [1 \\ lần n \\ right] $, i.e. bao gồm một hàng và một số cột.

Trong thực tế, chúng tôi đã gặp những đối tượng này. Ví dụ: vectơ ba chiều thông thường của bộ 15 so với $ \\ HeentRightarrow (a) \u003d \\ left (x; y; z \\ right) $ không có gì ngoài một chuỗi vectơ. Từ quan điểm về lý thuyết về sự khác biệt giữa các hàng và cột, hầu như không có. Cần phải chú ý để được đồng ý với các yếu tố ma trận xung quanh.

Nhiệm vụ 5. Thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 2 &1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ end (mảng) \\ phải] \\ Cdot \\ bên trái [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Phán quyết. Trước chúng tôi, công việc của ma trận đã thỏa thuận: $ \\ bên trái [3 \\ lần 3 \\ right] \\ cdot \\ bên trái [3 \\ lần 1 \\ right] \u003d \\ left [3 \\ lần 1 \\ right] $. Tìm công việc này:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 2 &1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ end (mảng) \\ phải] \\ Cdot \\ bên trái [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [order (mảng) (* (35) (R)) 2 \\ cdot 1+ \\ left (-1 \\ right) \\ cdot 2 + 3 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\ 4 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 2 \\ \\ -1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 2 + 1 \\ cdot \\ left (-1 \\ right) \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [order (mảng) (* (35) (r)) -3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Trả lời: $ \\ bên trái [\\ bắt đầu (mảng) (* (35) (r)) - 3 \\\\ 8 \\\\ 0 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] $.

Nhiệm vụ 6. Thực hiện phép nhân:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 &3 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) ( r)) 3 & 1 &1 \\\\ 4 & 6 & 0 \\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Phán quyết. Một lần nữa, mọi thứ đều phù hợp: $ \\ bên trái [1 \\ lần 3 \\ right] \\ cdot \\ bên trái [3 \\ lần 3 \\ right] \u003d \\ Left [1 \\ lần 3 \\ right] $. Chúng tôi xem xét công việc:

\\ [\\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 &3 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) ( R)) 3 & 1 & -1 \\\\ 4 &1 & 3 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\ left [order (mảng) (* (35) (r) ) 5 & 19 & 5 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Trả lời: $ \\ bên trái [\\ BEGIN (MATRIX) 5 & -19 & 5 \\\\\\ end (Ma trận) \\ Phải] $.

Như bạn có thể thấy, khi bạn nhân chuỗi vectơ và một cột vectơ trên Ma trận vuông ở đầu ra, chúng tôi luôn nhận được một chuỗi hoặc cột có cùng kích thước. Thực tế này có nhiều ứng dụng - từ việc giải các phương trình tuyến tính cho tất cả các loại biến đổi tọa độ (kết quả là, cũng làm giảm các hệ phương trình, nhưng chúng ta sẽ không có gì buồn).

Tôi nghĩ mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Đi đến phần cuối cùng của bài học ngày hôm nay.

Xây dựng ma trận đến mức độ

Trong số tất cả các hoạt động nhân đôi sự chú ý nhất định, nó được nâng lên ở một mức độ - đây là khi chúng ta nhân giống nhau một đối tượng tự mình nhiều lần. Matrices cũng không ngoại lệ, chúng cũng có thể được dựng lên nhiều bằng nhiều độ.

Những công việc như vậy luôn đồng ý:

\\\\ cdot \\ left [n \\ ork n \\ right] \u003d \\ Left [n \\ ork n \\ right] \\]

Và chỉ ra chính xác như mức độ thông thường:

\\ [\\ bign (align) & \\ cdot a \u003d ((a) ^ (2)); \\ & a \\ cdot a \\ cdot a \u003d ((a) ^ (3)); \\\\ \\ Underbrace (a \\ cdot a \\ cdot \\ ldots \\ cdot a) _ (n) \u003d ((a) ^ (n)). \\\\ \\ end (align) \\]

Thoạt nhìn, mọi thứ đều đơn giản. Hãy xem nó trông có vẻ trong thực tế như thế nào:

Nhiệm vụ 7. Eduge Matrix đến mức độ quy định:

$ ((\\ Bên trái [\\ BEGIN (MATRIX) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT]) ^ (3)) $

Phán quyết. Vâng, hãy dựng lên. Đầu tiên, hãy cương cứng trong một hình vuông:

\\ [\\ BEGIN (Align) & ((\\ Left [\\ Begin (Ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] ^ (2)) \u003d \\ Left [\\ Begin (Ma trận ) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ Left [\\ Begin (mảng) (* (35) (r)) 1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 & 1 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\ 0 \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 & 0 \\ Cdot 1 + 1 \\ cdot 1 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\ \\\\ End (mảng) \\ right] \\ end (align) \\]

\\ [\\ BEGIN (Căn chỉnh) & ((\\ Left [\\ Begin (Matrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT]) ^ (3)) \u003d ((\\ Còn lại [\\ bắt đầu (Ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT]) ^ (3)) \\ CDOT \\ CỨNG [\\ BEGIN (MATRIX) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (Ma trận ) \\ Right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bắt đầu (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \u003d \\ & \u003d \\ left [\\ begin (mảng) (* (35) (r)) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (mảng) \\ right] \\ end (align) \\]

Đó là tất cả.:)

Trả lời: $ \\ Left [\\ Begin (Matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] $.

Nhiệm vụ 8. Eduge Ma trận đến mức độ quy định:

\\ [(\\ Left [\\ bign (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] ^ (10)) \\]

Phán quyết. Nhưng không cần thiết phải khóc ở chỗ "bằng cấp quá lớn", "thế giới không công bằng" và "những giáo lý bị mất hoàn toàn." Trong thực tế, mọi thứ đều dễ dàng:

\\ [\\ Bearch (align) & ((\\ left [\\ bign (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (ma trận) \\ right] ^ (10)) \u003d ((\\ bên trái [\\ bắt đầu (Ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIFE] ^ (3)) \\ CDOT ((\\ Left [\\ Begin (Ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ End (matrix) \\ right] ^ (3)) \\ cdot ((\\ left [\\ begin (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] ^ (3)) \\ CDOT \\ Bên trái [\\ bắt đầu (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ Left (\\ Left [\\ Begin (Matrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\ \\ End end (matrix) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (ma trận) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \\ right) \\ cdot \\ left (\\ left [\\ bắt đầu ( Ma trận) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ begin (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ phải] \\ phải) \u003d \\ & \u003d \\ Left [\\ bearch (ma trận) 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \\ cdot \\ left [\\ bign (ma trận) 1 & 4 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ End (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ bign (ma trận) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] \\ end (align) \\]

Lưu ý: Trong dòng thứ hai, chúng tôi đã sử dụng tính phân tích nhân. Trên thực tế, chúng tôi đã sử dụng nó trong nhiệm vụ trước, nhưng nó đã hoàn toàn.

Trả lời: $ \\ Left [\\ Begin (Matrix) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] $.

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp trong việc xây dựng ma trận đến mức độ. Ví dụ cuối cùng có thể được khái quát hóa:

\\ [(\\ left [\\ bearch (ma trận) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (ma trận) \\ right] ^ (n)) \u003d \\ left [order (mảng) (* (35) ( R)) 1 & n \\\\ 0 & 1 \\\\\\ end (mảng) \\ phải] \\]

Thực tế này là dễ dàng để chứng minh thông qua cảm ứng toán học hoặc nhân rộng trực tiếp. Tuy nhiên, không phải luôn luôn khi bằng cấp có thể bị bắt bởi các mẫu như vậy. Do đó, hãy chú ý: thường nhân nhiều ma trận "Stroy" hóa ra dễ dàng và nhanh hơn so với tìm kiếm một số mẫu thông thường.

Nói chung, không tìm kiếm ý nghĩa cao nhất mà nó không phải là. Tóm lại, hãy xem xét việc xây dựng một ma trận lớn hơn - thay vào đó $ \\ bên trái [3 \\ lần 3 \\ phải] $.

Nhiệm vụ 9. Eduge the Matrix đến mức độ quy định:

\\ [\\ Left [\\ bign (ma trận) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (ma trận) \\ right]) ^ (3)) \\]

Phán quyết. Sẽ không tìm kiếm sự thường xuyên. Chúng tôi làm việc "Stroy":

\\ [(\\ left [\\ bign (ma trận) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (ma trận) \\ right] ^ (3)) \u003d ((\\ Còn lại [\\ BEGIN (Ma trận) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] ^ (2)) \\ CDOT \\ TRÁI [\\ BEGIN (MATRIX ) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] \\]

Để bắt đầu, hãy dựng lên ma trận này trong hình vuông:

\\ [\\ BEGIN (Căn chỉnh) & ((\\ Left [\\ Begin (Ma trận) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] ^ ( 2)) \u003d \\ Left [\\ BEGIN (MATRIX) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (Ma trận) \\ RIFE] \\ CDOT \\ CLEPT [\\ BEGIN (MATRIX) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (matrix) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r) ) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ end (align) \\]

Bây giờ được dựng lên vào khối lập phương:

\\ [\\ BEGIN (Căn chỉnh) & ((\\ Left [\\ Begin (Ma trận) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ end (Ma trận) \\ RIGHT] ^ ( 3)) \u003d \\ Left [\\ bearch (mảng) (* (35) (r)) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ end (mảng) \\ phải] \\ Cdot \\ bên trái [\\ bắt đầu (ma trận) 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ end (ma trận) \\ right] \u003d \\\\ & \u003d \\ left [\\ bign (mảng) (* (35) (r)) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ end (mảng) \\ right] \\ end (align) \\]

Đó là tất cả. Nhiệm vụ được giải quyết.

Trả lời: $ \\ Left [\\ Begin (Matrix) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ End (Ma trận) \\ Phải] $.

Như bạn có thể thấy, khối lượng máy tính đã trở nên nhiều hơn, nhưng ý nghĩa của việc này không thay đổi từ điều này. :)

Trên bài học này có thể được hoàn thành. Lần sau chúng tôi sẽ xem xét hoạt động ngược lại: Theo công việc hiện có, chúng tôi sẽ tìm kiếm các yếu tố ban đầu.

Như bạn đã đoán, có lẽ đã đoán, nó sẽ là về ma trận trả lại và các phương pháp của vị trí của nó.