Теорема котельникова формулировка смысл применение. Так ли хорош цифровой звук — частота дискретизации и теорема Котельникова

В конце девятнадцатого начале двадцатого века бурно развивались средства телефонной и радиосвязи. В 1882 г. в Санкт Петербурге заработала первая в России телефонная станция. У этой станции было 259 абонентов. А в Москве примерно в это же время было 200 абонентов.

В 1896 г. Александр Попов передал на расстояние 250 метров первый сигнал по радио, состоявший всего из двух слов:

Развитие средств связи было во главе технического прогресса. С тех пор прошло чуть более века, и благодаря работам ученых и инженеров этой отрасли мы видим, как изменился мир.

Мы не представляем нашей жизни без телефона, радиосвязи, телевидения и интернета. В основе этого лежит распространение электромагнитных волн, теорию которых разработал Джеймс Клерк Максвелл в середине девятнадцатого века. Электромагнитные волны являются носителем полезных сигналов, а в теории передачи сигналов основополагающее значение играет теорема российского ученого и инженера, академика Владимира Александровича Котельникова.

В науку она вошла под названием теорема Котельникова.

Владимир Александрович Котельников

Будущий академик родился в 1908 г. в семье преподавателей казанского университета. Учился в МВТУ им. Баумана, посещал интересующие его лекции в МГУ. В 1930 г. электротехнический факультет, на котором обучался Котельников, преобразовался в Московский энергетический институт, его Котельников и закончил. После окончания института он работал в различных вузах и лабораториях. Во время войны заведовал лабораторией закрытого НИИ в Уфе, где занимался вопросами защищенных каналов связи, кодировки сообщений.

Примерно такие разработки упоминаются у Солженицына в его романе "В круге первом".

Около сорока лет он заведовал кафедрой "Основы радиотехники", и был деканом радиотехнического факультета. В последствии стал директором института радиотехники и электроники АН СССР.

Все студенты соответствующих специальностей до сих пор учатся по учебнику Котельникова "Теоретические основы радиотехники".

Котельников также занимался проблемами радиоастрономии, радиофизическими исследованиями океанов, космическими исследованиями.

Свою последнюю работу "Модельная квантовая механика", написанную уже в почти в 97 лет, он не успел опубликовать. Она вышла только в 2008 г.

Скончался В. А. Котельников на 97-ом году жизни 11 февраля 2005 г. Он дважды герой социалистического труда, награжден множеством правительственных наград. В его честь названа одна из малых планет.

Теорема Котельникова

Развитие систем связи ставило множество теоретических вопросов. Например, сигналы какого диапазона частот можно передавать по каналам связи, разной физической структуры, с разной полосой пропускания, чтобы при приеме не потерять информации.

В 1933 году Котельников доказал свою теорему, которая иначе называется теорема отсчетов.

Формулировка теоремы Котельникова:

Если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченной по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты.

Описывается идеальный случай, когда время длительности сигнала бесконечно. Он не имеет прерываний, но имеет ограниченный спектр (по теореме Котельникова). Однако математическая модель, описывающая сигналы с ограниченным спектром, на практике хорошо применима и к реальным сигналам.

На основании теоремы Котельникова может быть реализован способ дискретной передачи непрерывных сигналов.

Физический смысл теоремы

Теорему Котельникова простыми словами можно объяснить следующим образом. Если надо передать некий сигнал, то не обязательно передавать его целиком. Можно передавать его мгновенные импульсы. Частота передачи этих импульсов называется частотой дискретизации в теореме Котельникова. Она должна быть в два раза больше верхней частоты В этом случае на приемном конце сигнал восстанавливается без искажений.

О дискретизации теорема Котельникова делает очень важные выводы. Для разного типа сигналов существуют разные частоты дискретизации. Для речевого (телефонного) сообщения при ширине канала 3,4 кГц - 6,8 кГц, а для телевизионного сигнала - 16 мГц.

В теории связи существует несколько типов каналов связи. На физическом уровне - проводные, акустические, оптические, инфракрасные и радиоканалы. И хотя теорема разработана для идеального канала связи, она применима и для всех остальных типов каналов.

Многоканальная электросвязь

Теорема Котельникова лежит в основе многоканальной электросвязи. При дискретизации и передаче импульсов период между импульсами гораздо больше их длительности. Это значит, что в промежутках импульсов одного сигнала (это называется скважность) можно передавать импульсы другого сигнала. Были реализованы системы на 12, 15, 30, 120, 180, 1920 речевых каналов. То есть по одной паре проводов можно передать одновременно около 2000 телефонных разговоров.

На основании теоремы Котельникова, простыми словами можно сказать, возникли практически все современные системы связи.

Гарри Найквист

Как это иногда бывает в науке, ученые, занимающиеся подобными проблемами, приходят почти одновременно к одинаковым выводам. Это вполне закономерно. До сих пор не утихают споры, кто открыл закон сохранения - Ломоносов или Лавуазье, кто изобрел лампу накаливания - Яблочкин или Эдисон, - Попов или Маркони. Этот список можно продолжать без конца.

Так, американский физик шведского происхождения Гарри Найквист в 1927 г. в журнале "Определенные проблемы телеграфной передачи" опубликовал свои исследования с выводами как у Котельникова. Его теорему иногда называют теорема Котельникова-Найквиста.

Гарри Найквист родился в 1907 году, защитил диссертацию в Йельском университете, работал в лаборатории Белла. Там занимался проблемами теплового шума в усилителях, участвовал в разработке первого фототелеграфа. Его труды послужили основой для дальнейших разработок Клода Шеннона. Найквист скончался в 1976 г.

Клод Шеннон

Клода Шеннона иногда называют отцом информационного века - столь велик его вклад в теорию связи и информатики. Клод Шеннон родился в 1916 г. в США. Работал в лаборатории Белла и ряде американских университетов. Во время войны вместе с занимался расшифровкой кодов немецких подводных лодок.

В 1948 г. в статье "Математическая теория связи" он предложил термин бит в качестве обозначения минимальной единицы информацию. Теорему, посвященную восстановлению сигнала по его дискретным отсчетам, он доказал (независимо от Котельникова) в 1949 году. Ее иногда называют теорема Котельникова-Шеннона. Правда на Западе больше принято наименование теорема Найквиста-Шеннона.

Шеннон ввел понятие энтропии в теорию связи. Занимался изучением кодов. Благодаря его работам, криптография стала полноценной наукой.

Котельников и криптография

Котельников тоже занимался проблемами кодов и криптографии. К сожалению, во времена СССР, все, что связано с кодами, шифрами, было строго засекречено. И открытых публикаций многих работ Котельникова быть не могло. Однако он работал над созданием закрытых каналов связи, коды которых противник взломать не мог.

18 июня 1941 года, практически перед самой войной, была написана статья Котельникова "Основные положения автоматической шифровки", опубликованная в сборнике 2006 г. "Квантовая криптография и теорема Котельникова об одноразовых ключах и отсчетах".

Помехоустойчивость

С помощью работы Котельникова была разработана теория потенциальной помехоустойчивости, которая определяет, какое максимальное количество помех может быть в канале связи, чтобы информация не была потеряна. Рассматривается вариант идеального приемника, который далек от реального. Но пути улучшения канала связи четко определены.

Космические исследования

Коллектив под руководством Котельникова внес большой вклад в системы автоматики и телеметрии. Сергей Павлович Королев привлекал лабораторию Котельникова к решению проблем космической отрасли.

Были построены десятки контрольно-измерительных пунктов, связанные в единый контрольно-измерительный комплекс.

Была разработана радиолокационная аппаратура для межпланетных космических станций, осуществлено картографирование при непрозрачной атмосфере планеты Венеры. С помощью устройств, разработанных под руководством Котельникова, с космических станций "Венера" и "Магеллан" проводилась радиолокация областей планеты по заранее определенным секторам. В результате мы знаем, что скрывается на Венере за плотными облаками. Также велись исследования Марса, Юпитера, Меркурия.

Разработки Котельникова нашли применение в орбитальных станциях и современных радиотелескопах.

В 1998 г. В. А.Котельников был награжден премией фон Кармана. Это премия Международной академии астронавтики, которая дается людям с творческим мышлением за значительный вклад в космические исследования.

Поиск радиосигналов внеземных цивилизаций

Международная программа поиска радиосигналов внеземных цивилизаций Seti с помощью крупнейших радиотелескопов была начата в 90-ые годы. Именно Котельников обосновал необходимость использования многоканальных приемников для этой цели. Современные приемники прослушивают одновременно миллионы радиоканалов, перекрывая весь возможный диапазон.

Также под его руководством были выполнены работы, которые определяют критерии разумного узкополосного сигнала в общем шуме и помехах.

К сожалению, пока эти поиски не увенчались успехом. Но в масштабах истории они ведутся совсем недолго.

Теорема Котельникова относится к фундаментальным открытиям в науке. Ее смело можно поставить в один ряд с теоремами Пифагора, Эйлера, Гаусса, Лоренца и т. д.

В каждой области, где необходимо передавать или принимать любые электромагнитные сигналы, мы сознательно или неосознанно пользуемся теоремой Котельникова. Мы разговариваем по телефону, смотрим телевизор, слушаем радио, пользуемся интернетом. Все это в основе своей содержит принцип дискретизации сигналов.

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти - это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова - это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников "О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи." Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

Где k - целое число; ω = 2πf1; Dk - постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

Т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

И поэтому F(t) может быть представлена так:

Функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

Могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Таким образом

Введем следующие обозначения

Подставляя получаем:

Преобразуем

Еще преобразуем

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

То есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус - нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) - дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Заключение

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.

В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов , имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам , взятым через интервалы , где – верхняя частота спектра сигнала.

В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова :

Таким образом, сигнал , можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов , заданных в дискретных точках (рис.1.16).

образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:

Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот . Увеличение приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

Функция вида называется функцией отсчетов (рис.1.17).

Она характеризуется следующими свойствами. Если , функция отсчетов имеет максимальное значение при , а в моменты времени () она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна , поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания , равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени , (). После этого передадим эти значения по каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой .

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле :

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.

Теорема Котельникова

5.3. Теорема Котельникова.

5.3.1. Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

Рис. 5.1. График реализации телеграфного сигнала.

а)

б)

в)

г)
Рис. 5.2. Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования

5.3.2. Сигналы с дискретным временем.

Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.5.2 а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.5.2б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.5.2б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

5.3.3. Цифровые сигналы.

Как будет показано в дальнейшем, при передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значением. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рис.5.2в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …; величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала uΔ(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями – шагом квантования. Например, на рис. 2в разрешенные значения амплитуд импульсов приняты равными целым числам 0; 1; 2; 3 и образуют равномерную шкалу квантования, которая может быть продолжена и на область отрицательных значений сигнала u(t); при этом шаг квантования Δu=1.

Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигнала uΔ(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначения u ц(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования e(t) = u ц(t) – uΔ(t). На рис.5.2г приведен пример временной диаграммы ошибки е(t). Передача цифрового сигнала u ц(t) вместо сигнала uΔ(t) фактически эквивалентна передаче импульсного сигнала uΔ(t) с предварительно наложенным на него сигналом ошибки е(t), который в этом случае может рассматриваться как помеха. Поэтому е(t) часто называют помехой квантования или шумом квантования.

5.3.4. Теорема Котельникова.

Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем f в герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой f в. Если интервал дискретизации Δt<2 f в, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой w в<=wΔ/2 можно представить рядом

, (2)

Где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt – частота дискретизации по времени.

Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (2) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (2), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

Представление сигнала u(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рис.5.3, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (2).

Рис.5.3. Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова.

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота f в = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации

Где k - номер отсчета;

аргумент t на с

период - это

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку время , то

Сравнив это выражение с формулой для C k , замечаем, что С учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид: (7)

Затем проделаем следующее: подставим выражение

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента t построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0,