Toán tử liên hợp phức có tuyến tính hay không. Eigenvalues và eigenvalues

Cho X là không gian Banach và A là toán tử tuyến tính có giới hạn được xác định trên X với một phạm vi trong không gian Banach Y. Cho x ÎX và f ÎY *. Khi đó giá trị f (Ax) được xác định, và các bất đẳng thức | f (Ax) | £ || f ||? || rìu || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Những bất đẳng thức này cho thấy rằng hàm tuyến tính j (x) được xác định bởi đẳng thức j (x) = f (Ax) là một hàm có giới hạn. Do đó, mỗi hàm giới hạn tuyến tính f ÎY với sự trợ giúp của toán tử A được liên kết với một hàm liên tục tuyến tính j ÎX *. Nói chung, thay đổi phần tử f mà chúng ta sẽ thu được, các yếu tố khác nhau NS; do đó chúng tôi có được nhà điều hành

được xác định trên Y *, với phạm vi trong không gian X *. Toán tử A * này liên quan đến toán tử A bởi đẳng thức (A * f) (x) = f (Ax). Nếu chúng ta áp dụng ký hiệu được giới thiệu trong Phần 2 cho hàm tuyến tính f (x) = (x, f), thì kết nối giữa các toán tử sẽ có vẻ đối xứng:

(Ax, f) = (x, A * f). (1)

Toán tử A * được xác định duy nhất bởi công thức (1) và được gọi là liên hợp toán tử với toán tử A.

Thật vậy, nếu với mọi x và y thì các giá trị bằng nhau giữ

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

thì theo Hệ quả 4 từ định lý Hahn-Banach rằng A 1 * y = A * y với mọi y, có nghĩa là A * = A 1 *.

Định lý 11. Toán tử adjoint A * là tuyến tính và.

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi chứng minh tính cộng của toán tử A *. Thật vậy, nếu y, z ÎY *, thì suy luận trên ngụ ý sự tồn tại của một phần tử duy nhất (y + z) * ÎX sao cho (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) với mọi x ÎX.

Mặt khác, sử dụng công thức (1), chúng ta có

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

những thứ kia. (y + z) * = A * x + A * y, khi đó A * (y + z) = A * y + A * z. Điều này chứng tỏ sự nhạy bén của toán tử A *. Tính đồng nhất cũng dễ dàng được xác minh.

Để tính toán định mức của toán tử A *, chúng tôi ước tính

Sau đó toán tử A * được giới hạn và.

Đến lượt nó, toán tử A * có một liên từ - A **, được xác định bởi một đẳng thức tương tự như (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

Tuy nhiên, vì từ (2) A ** x được xác định duy nhất cho mỗi xÎХ, nó sau khi so sánh các giá trị bằng nhau (1) và (2)

(Ax, y) = (A ** x, y) "xÎX," yÎY.

Theo Hệ quả 4 của định lý Hahn-Banach, điều sau có nghĩa là A ** x = Ax với mọi xÎX, nghĩa là A ** = A trên không gian X. Áp dụng bất đẳng thức đã được chứng minh đối với chuẩn của toán tử liền kề cho A * và A **, chúng ta có , đưa ra đẳng thức cần thiết:. Định lý được chứng minh.

Định lý. 12. Nếu A và B là các toán tử giới hạn tuyến tính từ không gian Banach X đến không gian Banach Y, thì

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λА) * = λА *

3. Theo giả thiết X = Y, đẳng thức (AB) * = B * A * là đúng.

Bằng chứng. Các thuộc tính trên tuân theo các mối quan hệ sau:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B * ) y);

2. ((λA) x, y) = λ (Ax, y) = λ (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Định lý được chứng minh.

Ví dụ 8. Trong không gian L2, xét toán tử tích phân Fredholm

với một nhân có hình vuông tích phân. Chúng ta có, sử dụng định lý Fubini,

, ở đâu

Do đó, việc chuyển đổi sang toán tử adjoint là việc tích hợp được thực hiện trên biến đầu tiên. Trong khi trong toán tử ban đầu, nó theo sau toán tử thứ hai.

Tìm hiểu thêm về chủ đề 6. Toán tử liên hợp. Điều kiện tồn tại của toán tử adjoint. Tính đóng của toán tử liền kề. Nối toán tử với toán tử bị giới hạn và định mức của nó.:

2. Định lý Schauder về tính liên tục hoàn toàn của toán tử liền kề. Phương trình của loại thứ nhất và thứ hai với các toán tử hoàn toàn liên tục. Một định lý về tính đóng của phạm vi giá trị của một toán tử
1. Toán tử tuyến tính trong không gian tuyến tính định mức. Tính tương đương của tính liên tục và tính giới hạn của một toán tử tuyến tính. Khái niệm về chuẩn của toán tử có giới hạn. Nhiều công thức tính định mức. Ví dụ về toán tử giới hạn tuyến tính.
4. Cốt lõi của nhà điều hành. Tiêu chí giới hạn cho toán tử nghịch đảo. Định lý toán tử nghịch đảo
2. Không gian của các toán tử liên tục tuyến tính và tính đầy đủ của nó đối với sự hội tụ đồng nhất của các toán tử
5. Ví dụ về toán tử nghịch đảo. Tính nghịch đảo của các toán tử dạng (I - A) và (A - C).
1. Các toán tử hoàn toàn liên tục và các thuộc tính của chúng. Nhà điều hành Fredholm và Hilbert-Schmidt
6. Đồ thị toán tử và các toán tử đóng. Tiêu chí đóng cửa. Định lý đồ thị đóng Banach. Định lý ánh xạ mở

Phần tử khác không x G V được gọi là phần tử thích hợp toán tử tuyến tính A: VV, nếu có một số như vậy A - giá trị riêng của toán tử tuyến tính A sao cho Ví dụ 1. Bất kỳ đa thức bậc 0 nào là giá trị riêng của toán tử phân biệt, giá trị riêng tương ứng bằng 0: Ví dụ 2. Phân biệt nhà điều hành Eigenvalues và các yếu tố riêng... Toán tử liên hợp. không có yếu tố riêng. Cho một đa thức lượng giác a cos t + 0 sin t sau khi phân biệt trở thành tỷ lệ thuận: Điều này có nghĩa là hoặc, tương tự, Đẳng thức cuối cùng giữ khi và chỉ khi nó theo sau rằng a = p = 0 và do đó, đa thức có thể chỉ là số không. Định lý 6. Một số thực A là một giá trị riêng của toán tử tuyến tính A nếu và chỉ khi số này là một căn của đa thức đặc trưng của nó: x (A) = 0. Sự cần thiết. Gọi A là giá trị riêng của toán tử A. Khi đó, tồn tại một phần tử khác x mà Ax = Ax. Hãy là cơ sở của không gian. Sau đó, đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại dưới dạng ma trận tương đương hoặc giống như vậy, Và đây, rằng x là một phần tử thích hợp, nó theo sau rằng cột tọa độ x (c) của nó là khác không. Điều này có nghĩa là hệ thống tuyến tính (1) có nghiệm khác không. Điều kiện sau chỉ có thể thực hiện được với điều kiện hoặc, điều tương tự, Tính đầy đủ. Một cách để xây dựng phần tử của riêng bạn. Gọi A là một căn của đa thức Xét hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận A (c) - AI: Theo điều kiện (2), hệ này có nghiệm khác không. Chúng ta hãy xây dựng một phần tử x theo quy tắc Cột tọa độ x (c) của phần tử này thỏa mãn điều kiện hoặc, điều kiện sau tương đương với thực tế là hoặc, chi tiết hơn, Do đó, x là giá trị riêng của toán tử tuyến tính A và A là giá trị riêng tương ứng của nó. Bình luận. Để tìm tất cả các giá trị riêng tương ứng với một giá trị riêng A nhất định, cần phải xây dựng FSR của hệ thống (3). Ví dụ 1. Tìm các ký hiệu riêng của một toán tử tuyến tính hoạt động theo quy tắc (toán tử chiếu) (Hình 6). M Xem xét các hoạt động của toán tử tuyến tính P trên các vectơ cơ sở. Chúng ta có Hãy để chúng ta viết ma trận toán tử: Các giá trị riêng và giá trị riêng. Toán tử liên hợp. chúng ta xây dựng một đa thức đặc trưng và tìm các gốc của nó. Chúng tôi có Xây dựng đồng nhất hệ thống tuyến tính với ma trận: Chúng ta nhận được, tương ứng: Chúng ta tìm thấy các hệ thống cơ bản của các giải pháp cho mỗi hệ thống này. Ta có 1 Như vậy, các tập riêng của toán tử phép chiếu này là: vectơ k với giá trị riêng là 0 và vectơ bất kỳ có giá trị riêng Ví dụ 2. Tìm các giá trị riêng của toán tử phân biệt tuyến tính V hoạt động trong không gian Afj của đa thức bậc Nhiều nhất là hai: Ma trận D của một toán tử đã cho trong cơ sở I, t, O có dạng là đa thức đặc trưng -A3 có đúng một căn A = 0. Nghiệm của hệ là tập 1,0,0, tương ứng đến đa thức bậc 0. §5. Toán tử liên hợp Trong không gian Euclide trên các toán tử tuyến tính, chúng ta có thể giới thiệu một hành động - phép toán liên hợp. Cho V là một không gian Euclid n chiều. Với mọi toán tử tuyến tính hoạt động trong không gian này; một phép liên hợp toán tử tuyến tính khác với một liên hợp đã cho có liên quan tự nhiên. Sự định nghĩa. Toán tử tuyến tính (đọc là: "a với một ngôi sao") được gọi là liên hợp với toán tử tuyến tính A: V - * V nếu đối với bất kỳ phần tử x và y nào từ không gian V thỏa mãn đẳng thức Toán tử tuyến tính A *, liên hợp nhà điều hành nàyÀ, nó luôn tồn tại. Gọi c = (et, ..., en) là trực tâm của không gian V và đặt A = A (c) = (o ^) là ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở này, nghĩa là, bằng các phép tính trực tiếp người ta có thể xác minh rằng for của toán tử tuyến tính A ": V -» V, được xác định bởi đẳng thức quy tắc (1) là thỏa mãn với bất kỳ và y. Hãy nhớ lại rằng, theo Định lý 1, để xây dựng một toán tử tuyến tính, nó là đủ để xác định hành động của nó đối với các phần tử cơ bản. đa thức với hệ số thực của bậc tối đa là phép toán đầu tiên của phép nhân vô hướng đối với tuân theo quy tắc... Chúng ta hãy đặt Như vậy, M \ là một không gian Euclide hai chiều. Gọi V: M \ - M \ là toán tử phân biệt: V (a + d »f) = b. Hãy xây dựng toán tử adjoint. Ma trận của toán tử V trong cơ sở này có dạng. Sau đó là ma trận của toán tử liên hợp V, hoạt động theo quy tắc: Đối với một đa thức tùy ý, ta thu được Tính chất của phép toán liên hợp 1. Đối với mỗi toán tử tuyến tính, có một toán tử chính xác là phụ thuộc vào nó. Gọi B và C là các toán tử liên hợp với toán tử đã cho A. Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ phần tử x và y nào từ không gian V đều có các giá trị bằng nhau. Toán tử liên hợp. và, xa hơn nữa, Bằng sự tùy tiện của sự lựa chọn phần tử x, chúng tôi kết luận rằng phần tử Vu-Su là trực giao với bất kỳ phần tử nào của không gian V và đặc biệt là với chính nó. Điều sau chỉ khả thi trong trường hợp By - Cy = 0 và do đó, By = C y. Do y là một phần tử tùy ý nên ta thu được B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, trong đó a là một số thực tùy ý. Cho A: V - + V và B: V - + V là các toán tử tuyến tính. Sau đó, thuộc tính 2-5 dễ dàng theo dõi từ tính duy nhất của toán tử liền kề. 6. Gọi c là trực tâm của không gian V. Để các toán tử A: V V và B: V - »V là liên hợp lẫn nhau, nghĩa là, các cân bằng B = A ", A = B * được thỏa mãn, cần và đủ rằng các ma trận A = A (c) và B = B (c) của chúng được lấy từ nhau bằng phép chuyển vị. Lưu ý. Chúng tôi nhấn mạnh rằng tính chất 6 chỉ có giá trị cho ma trận, 7. Nếu toán tử tuyến tính A không suy biến, thì toán tử A * liên hợp với nó cũng không suy biến và bằng nhau

Từ Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí

Không gian tuyến tính chung

Để cho được $E, \, L$ - không gian tuyến tính, và $E ^ *, \, L ^ *$ là không gian tuyến tính liên hợp (không gian của các hàm tuyến tính được xác định trên $E, \, L$ ). Sau đó, đối với bất kỳ toán tử tuyến tính nào $A \ dấu hai chấm E \ đến L$ và bất kỳ chức năng tuyến tính nào $g \ trong L ^ *$ một chức năng tuyến tính được xác định $f \ trong E ^ *$ - chồng chất $NS$ và $MỘT$ : $f (x) = g (A (x))$ ... Trưng bày $g \ mapsto f$ được gọi là toán tử tuyến tính adjoint và được ký hiệu là $A ^ * \ dấu hai chấm L ^ * \ đến E ^ *$ .

Trong ngắn hạn, sau đó $(A ^ * g, x) = (g, Ax)$ , ở đâu $(B, x)$ - hành động chức năng $NS$ mỗi vectơ $NS$ .

Không gian tuyến tính tôpô

Để cho được $E, \, L$ là các không gian tuyến tính tôpô, và $E ^ *, \, L ^ *$ - không gian tuyến tính tôpô liên hợp (không gian tiếp diễn các hàm tuyến tính được xác định trên $E, \, L$ ). Đối với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào $A \ dấu hai chấm E \ đến L$ và bất kỳ hàm tuyến tính liên tục nào $g \ trong L ^ *$ một hàm tuyến tính liên tục được xác định $f \ trong E ^ *$ - chồng chất $NS$ và $MỘT$ : $f (x) = g (A (x))$ ... Thật dễ dàng để kiểm tra rằng ánh xạ $g \ mapsto f$ tuyến tính và liên tục. Nó được gọi là toán tử adjoint và cũng được ký hiệu là $A ^ * \ dấu hai chấm L ^ * \ đến E ^ *$ .

Không gian Banach

Để cho được $Dấu hai chấm X \ đến Y$ là một toán tử tuyến tính liên tục hoạt động từ một không gian Banach $NS$ đến không gian Banach $Y$ để nó đi $X ^ *, Y ^ *$ - dấu cách liên hợp. Chúng tôi biểu thị $\ forall x \ in X, f \ in Y ^ * = f (Ax)$ ... Nếu như $NS$ - cố định, sau đó là một hàm liên tục tuyến tính trong $X, \ trong X ^ *$ ... Vì vậy cho $\ forall f \ in Y ^ *$ một hàm liên tục tuyến tính từ $X ^ *$ , do đó toán tử được định nghĩa $A ^ * \ dấu hai chấm Y ^ * \ đến X ^ *$ như vậy mà $=$ .

$A ^ *$ gọi là toán tử liên hợp... Tương tự, người ta có thể định nghĩa toán tử liền kề thành toán tử không giới hạn tuyến tính, nhưng nó sẽ không được định nghĩa trên toàn bộ không gian.

Vì $A ^ *$ các thuộc tính sau là đúng:

Nhà điều hành $A ^ *$ - tuyến tính.
Nếu như $MỘT$ là một toán tử tuyến tính liên tục, sau đó $A ^ *$ cũng là một toán tử liên tục tuyến tính.
Để cho được $O$ là toán tử 0, và $E$ - toán tử duy nhất. sau đó $O ^ * = O, E ^ * = E$ .
$(A + B) ^ * = A ^ * + B ^ *$ .
$\ forall \ alpha \ in \ mathbb C, (\ alpha A) ^ * = \ bar (\ alpha) A ^ *$ .
$(AB) ^ * = B ^ * A ^ *$ .
$(A ^ (- 1)) ^ * = (A ^ *) ^ (- 1)$ .

Không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert $NS$ Do đó, định lý Riesz xác định một không gian với đối ngẫu của nó, do đó, đối với toán tử $Dấu hai chấm H \ đến H$ bình đẳng $(Ax, y) = (x, A ^ * y)$ xác định toán tử adjoint $A ^ * \ dấu hai chấm H \ đến H$ ... Ở đây $(x, y)$ - chấm sản phẩm trong không gian $NS$ .

Xem thêm

Viết nhận xét về bài viết "Conjugate Operator"

Ghi chú (sửa)

Văn học

Schaefer H. Các không gian vectơ tôpô. - M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Phân tích chức năng và các ứng dụng của nó trong cơ học liên tục. - M .: Sách đại học ,. - 320 tr.
Trenogin V.A. Phân tích chức năng. - M .: Khoa học ,. - 495 tr.
Phân tích chức năng / biên tập viên S.G. Kerin. - Lần thứ 2, sửa đổi và phóng to. - M .: Khoa học ,. - 544 tr. - (Thư viện Tham khảo Toán học).
Halmos P. Không gian vectơ hữu hạn chiều. - M .: Fizmatgiz ,. - 264 tr.
Shilov G.E. Phân tích toán học(hàm một biến), phần 3. - M.: Khoa học,. - 352 tr.

Đoạn trích mô tả toán tử Conjugate

Các phụ tá phi nước đại trước anh ta vào sân trong. Kutuzov, thiếu kiên nhẫn thúc ngựa, dưới sức nặng của mình, và không ngừng gật đầu, đưa tay trước sự rắc rối của người bảo vệ kỵ binh (với một chiếc mũ màu đỏ và không có kính che mặt) trên người anh ta. Tiếp cận người bảo vệ danh dự của các đồng đội, phần lớn Những quý ông đã chào ông, ông im lặng trong một phút, cẩn thận nhìn họ bằng ánh mắt cứng cỏi chỉ huy và quay sang đám đông các tướng lĩnh và sĩ quan đang đứng xung quanh ông. Khuôn mặt anh ta đột nhiên mang một biểu cảm thanh tú; anh ta nhún vai với một cử chỉ bối rối.
- Và với những người tốt như vậy, mọi thứ phải rút lui và rút lui! - anh nói. “Vâng, tạm biệt, thưa Đại tướng,” anh ta nói thêm, và cho ngựa di chuyển qua cổng, đi ngang qua Hoàng tử Andrey và Denisov.
- Hoan hô! Tiếng hoan hô! Tiếng hoan hô! - hét lên từ phía sau anh ta.
Kể từ khi không gặp được Hoàng tử Andrey, Kutuzov ngày càng mập mạp, nhão và sưng lên vì mỡ. Nhưng đôi mắt trắng quen thuộc, vết thương và vẻ mệt mỏi trên khuôn mặt và dáng người của anh ấy đều giống nhau. Anh ta mặc một chiếc áo khoác ngoài đồng phục (một chiếc roi treo trên vai trên một chiếc thắt lưng mỏng) và đội một chiếc mũ kỵ binh màu trắng. Anh ta, đang xòe ra và lắc lư nặng nề, đang ngồi trên con ngựa phi thường của mình.
- Fyu ... fyu ... fyu ... - anh huýt sáo gần như nghe rõ, bước vào sân. Gương mặt anh thể hiện niềm vui khi nguôi ngoai một người đàn ông đang có ý định nghỉ ngơi sau chuyến công tác. Anh ta nhấc chân trái ra khỏi kiềng, cả người ngã xuống và nhăn nhó cố gắng, khó khăn lắm mới đưa chân lên yên xe, khuỵu gối, càu nhàu và cúi xuống vòng tay với Cossacks và những người phụ tá đã hỗ trợ anh ta.
Anh hoàn hồn, nhìn xung quanh với đôi mắt nheo lại và liếc nhìn Hoàng tử Andrey, dường như không nhận ra anh, bước đi với dáng lặn đến hiên nhà.
- Fyu ... fyu ... fyu, - anh huýt sáo và một lần nữa quay lại nhìn Hoàng tử Andrey. Ấn tượng về khuôn mặt của Hoàng tử Andrey chỉ sau vài giây (như thường xảy ra với những người già) đã gắn liền với ký ức về tính cách của anh ta.
“Và, xin chào, hoàng tử, xin chào, em yêu, đi thôi…” anh nói với vẻ mệt mỏi, nhìn xung quanh, và nặng nề bước vào hiên nhà kêu cót két dưới sức nặng của mình. Anh cởi cúc áo và ngồi xuống chiếc ghế dài trước hiên nhà.
- Thế còn cha?
“Hôm qua tôi nhận được tin về cái chết của anh ấy,” Hoàng tử Andrei nói ngay sau đó.
Kutuzov sợ hãi mở mắt ra nhìn về phía Hoàng tử Andrey, sau đó cởi mũ ra, làm dấu hiệu của dấu hiệu của dấu hiệu của dấu hiệu của dấu hiệu cho anh ta: “Nước thiên đàng cho anh ta! Chúa sẽ ở trên tất cả chúng ta! ”Anh thở dài thườn thượt, ôm hết ngực và im lặng. "Tôi yêu và tôn trọng anh ấy và tôi đồng cảm với bạn bằng cả trái tim mình." Anh ôm lấy Hoàng tử Andrew, ép cậu vào lồng ngực mập mạp của mình và không chịu buông ra trong một thời gian dài. Khi để anh ta đi, Hoàng tử Andrei nhìn thấy đôi môi mờ của Kutuzov đang run rẩy và có những giọt nước mắt. Anh thở dài và nắm lấy băng ghế bằng cả hai tay để đứng dậy.
“Hãy đến, đến với tôi, chúng ta sẽ nói chuyện,” anh nói; nhưng vào lúc này, Denisov, người vừa tỏ ra e dè với cấp trên của mình như kẻ thù, bất chấp việc các phụ tá ở hàng hiên ngăn cản anh ta bằng một tiếng thì thầm giận dữ, vừa mạnh dạn đập cựa vào bậc thềm, bước vào hiên nhà. . Kutuzov, để tay trên băng ghế dự bị, nhìn Denisov với vẻ không hài lòng. Denisov, tự giới thiệu về mình, tuyên bố rằng anh phải thông báo cho lãnh chúa của mình về một vấn đề quan trọng vì lợi ích của tổ quốc. Kutuzov bắt đầu nhìn Denisov với vẻ mệt mỏi và với một cử chỉ khó chịu, lấy tay và gập lại trên bụng, lặp lại: “Vì lợi ích của tổ quốc? Nó là gì? Nói. " Denisov đỏ mặt như một cô gái (thật kỳ lạ khi nhìn thấy vết sơn trên khuôn mặt già nua và say xỉn này), và mạnh dạn bắt đầu vạch ra kế hoạch cắt dây chuyền hoạt động kẻ thù giữa Smolensk và Vyazma. Denisov đã sống ở những khu vực này và biết rõ về khu vực này. Không nghi ngờ gì nữa, kế hoạch của anh ta có vẻ tốt, đặc biệt là vì sức mạnh của niềm tin trong lời nói của anh ta. Kutuzov nhìn vào chân mình và thỉnh thoảng nhìn lại sân của túp lều bên cạnh, như thể anh đang mong đợi điều gì đó khó chịu từ đó. Quả thật, từ trong túp lều mà ông đang nhìn, trong bài phát biểu của Denisov, một vị tướng xuất hiện với chiếc cặp dưới tay.
- Gì? - ở giữa phần trình bày của Denisov, Kutuzov nói. - Sẵn sàng?
"Sẵn sàng, thưa Đức vua," vị tướng nói. Kutuzov lắc đầu, như thể nói: "Làm thế nào một người có thể xoay sở để làm tất cả những điều này," và tiếp tục lắng nghe Denisov.
Denisov nói: “Tôi gửi lời cao quý trung thực của viên sĩ quan, rằng tôi là một vị thần trong thông điệp của Napoléon.

Cho một toán tử tuyến tính tùy ý được đưa ra trong một không gian đơn nhất một chiều.

Định nghĩa 4. Một toán tử tuyến tính được gọi là liên hợp đối với toán tử nếu và chỉ khi với hai vectơ bất kỳ từ đẳng thức

. (46)

Chúng ta sẽ chứng minh rằng đối với mỗi toán tử tuyến tính có một toán tử phụ và hơn nữa, chỉ có một. Để chứng minh, chúng tôi chọn một số cơ sở chính thống. Sau đó [xem (41)] toán tử bắt buộc và một vectơ tùy ý từ phải thỏa mãn đẳng thức

Nhờ (46), sự bình đẳng này có thể được viết lại như sau:

. (47)

Bây giờ chúng ta lấy đẳng thức (47) làm định nghĩa của một toán tử.

Dễ dàng kiểm tra rằng toán tử được định nghĩa theo cách này là tuyến tính và thỏa mãn đẳng thức (46) cho các vectơ tùy ý và từ. Ngoài ra, đẳng thức (47) xác định duy nhất toán tử. Do đó, sự tồn tại và tính duy nhất của toán tử liền kề được thiết lập.

Giả sử là một toán tử tuyến tính trong một không gian đơn nhất và là ma trận tương ứng với toán tử này theo cơ sở trực chuẩn. Sau đó, áp dụng công thức (41) cho vectơ, chúng ta nhận được:

Bây giờ hãy để ma trận tương ứng với toán tử adjoint trong cùng một cơ sở. Sau đó theo công thức (48)

Từ (48) và (49) theo (46) nó như sau:

Ma trận được chuyển vị và liên hợp phức tạp cho. Ma trận như vậy thường được gọi là liên hợp (xem Chương I) đối với.

Do đó, các ma trận liền kề tương ứng với các toán tử liền kề trong cơ sở trực chuẩn.

Định nghĩa của toán tử adjoint ngụ ý các thuộc tính sau:

2. ,

3. (- vô hướng),

Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu một khái niệm quan trọng. Hãy để là một không gian con tùy ý trong. Ta biểu thị bằng tập hợp tất cả các vectơ từ trực giao đến. Dễ dàng nhận thấy rằng cũng có một không gian con trong và mỗi vectơ từ đó được biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổng, trong đó , tức là, có một sự phân tách

Chúng tôi có được sự phân tách này bằng cách áp dụng cho một vectơ tùy ý từ sự phân tách (15) của phần trước. được gọi là phần bù trực giao với. Rõ ràng sẽ là phần bù trực giao cho. Chúng tôi viết với sự hiểu biết rằng bất kỳ vectơ nào từ là trực giao với bất kỳ vectơ nào từ.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng thuộc tính cơ bản của toán tử adjoint:

5. Nếu một số không gian con là bất biến đối với, thì phần bù trực giao của không gian con này sẽ bất biến đối với.

Thật vậy, hãy để nó được. Sau đó, nó theo sau từ này và từ (46). Vì là một vectơ tùy ý từ, điều gì cần phải chứng minh.

Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa sau:

Định nghĩa 5. Hai hệ vectơ và được gọi là hệ thức sinh học nếu

biểu tượng Kronecker ở đâu.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh mệnh đề sau:

6. Nếu là một toán tử tuyến tính của cấu trúc đơn giản, thì toán tử liền kề cũng có cấu trúc đơn giản, hơn nữa, người ta có thể chọn hệ thống hoàn chỉnh của eigenvector và khai thác và để chúng có tính bình thường sinh học:

Thật vậy, hãy để là một hệ thống hoàn chỉnh của các đặc trưng của nhà điều hành. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu

Xem xét phần bù trực giao một chiều cho không gian con – chiều. Sau đó, nó là bất biến đối với:

Từ nó như sau:, vì nếu không thì vectơ sẽ phải bằng không. Nhân với các thừa số thích hợp, ta được:

Nó dựa trên tính chất lượng sinh học của các hệ thống vectơ mà các vectơ của mỗi hệ thống này là độc lập tuyến tính.

Chúng tôi cũng lưu ý một đề xuất như vậy:

7. Nếu các toán tử và có một ký tự riêng chung, thì các số đặc trưng của các toán tử này tương ứng với các ký tự riêng chung là liên hợp phức.

Thật vậy, hãy ... Sau đó, thiết lập trong (46), chúng tôi có , ở đâu .

8. Giả sử là ký tự riêng của toán tử và giả sử là phần bù trực giao cho không gian con một chiều. Do đó, theo Mệnh đề 5., không gian con là bất biến dưới toán tử. Do đó, mọi toán tử tuyến tính trong không gian đơn vị-thứ nguyên có một không gian con bất biến-thứ nguyên., Sau đó cho và do đó ma trận toán tử là tam giác trên. Chúng ta đi đến định lý sau:

Đối với bất kỳ toán tử tuyến tính nào trong không gian đơn vị một chiều, một cơ sở trực chuẩn có thể được xây dựng trong đó ma trận của toán tử này là tam giác.

Đề xuất này thường được gọi là định lý Schur. Tất nhiên, bằng cách sử dụng định lý tổng quát về giảm ma trận của một toán tử về dạng Jordan, có thể dễ dàng chứng minh định lý Schur bằng cách liên tiếp trực giao hóa cơ sở Jordan. Chứng minh trên về cơ bản chỉ sử dụng sự tồn tại của một eigenvector cho một toán tử tuyến tính hoạt động trong không gian đơn nhất một chiều.

Toán tử liên hợp phức có tuyến tính hay không. Eigenvalues ​​và eigenvalues