Các mô hình toán học của các hệ thống và quy trình động. Mô hình liên tục và rời rạc

Giới thiệu: ................................................... ...................................................... 3

1. Mô hình cân bằng giữa các ngành ............................................. ................. 4

1. 1. Mô hình động Leontiev ........................................... ... ......... 7

1. 2. Xây dựng mô hình Leontiev động .................................. 12

2. Mô hình Neumann ............................................. ................................. 16

Sự kết luận................................................. ............................................ hai mươi

Người giới thiệu ................................................. ............................... 21

Các mô hình động của nền kinh tế là các mô hình mô tả nền kinh tế đang phát triển (trái ngược với các mô hình tĩnh mô tả trạng thái của nó tại một thời điểm nhất định). Một mô hình là động nếu ít nhất một trong các biến của nó thuộc một khoảng thời gian khác với các biến còn lại.

Nói chung, các mô hình năng động của nền kinh tế được thu gọn lại để mô tả các hiện tượng kinh tế sau: trạng thái ban đầu kinh tế học, phương pháp sản xuất công nghệ (mỗi “phương pháp” nói rằng từ một tập hợp các nguồn lực x có thể sản xuất một tập hợp các sản phẩm y trong một đơn vị thời gian), cũng như tiêu chí tối ưu.

Mô tả toán học của các mô hình động của nền kinh tế được thực hiện bằng cách sử dụng các hệ phương trình vi phân (trong các mô hình có Thời gian liên tục), các phương trình khác biệt (trong các mô hình có gián đoạn thời gian), cũng như các hệ thống thông thường phương trình đại số.

Đặc biệt, với sự trợ giúp của các mô hình động, các nhiệm vụ sau của kế hoạch và dự báo các quá trình kinh tế được giải quyết: xác định quỹ đạo hệ thống kinh tế, trạng thái của nó tại các thời điểm nhất định, phân tích hệ thống để ổn định, phân tích các thay đổi cấu trúc.

Theo quan điểm của phân tích lý thuyết tầm quan trọng lớn mua lại mô hình von Neumann động. Đối với việc áp dụng thực tế các mô hình động lực của nền kinh tế vẫn còn ở giai đoạn đầu: các tính toán dựa trên một mô hình thậm chí tiệm cận thực tế là vô cùng phức tạp. Nhưng sự phát triển theo hướng này vẫn tiếp tục. Đặc biệt, các mô hình phát triển kinh tế đa ngành (đa lĩnh vực) được sử dụng, bao gồm các mô hình động về cân bằng đầu vào - đầu ra, chức năng sản xuất và lý thuyết về tăng trưởng kinh tế.

Mô hình liên ngành là một phần của kinh tế vĩ mô

mô hình hóa và phục vụ cho việc phân tích và đánh giá trạng thái của trạng thái cân bằng kinh tế chung của nền kinh tế quốc dân. Quốc gia

nền kinh tế trong cán cân đầu vào-đầu ra được thể hiện bằng một số ngành công nghiệp thuần túy,

các luồng tài chính được kết nối với nhau từ việc bán sản phẩm,

công trình và dịch vụ. Các ngành công nghiệp thuần túy là các ngành công nghiệp có điều kiện đại diện cho

sản xuất một hoặc nhiều sản phẩm đồng nhất.

Mô hình động cân bằng đầu vào - đầu ra - một trường hợp đặc biệt của các mô hình động của nền kinh tế; dựa trên nguyên tắc cân bằng liên ngành, trong đó các phương trình được giới thiệu bổ sung đặc trưng cho những thay đổi trong quan hệ giữa các kỳ theo thời gian dựa trên các chỉ số riêng lẻ: ví dụ, đầu tư vốn và tài sản cố định (cho phép tạo ra sự liên tục giữa các bảng cân đối kế toán của các kỳ riêng lẻ).

Các giả định chính của mô hình cân bằng liên ngành là:

Mỗi ngành sản xuất đúng một sản phẩm

Mỗi sản phẩm được sản xuất bởi chính một ngành công nghiệp

Số lượng sản phẩm bằng số ngành

Cường độ của ngành có thể được đo lường bằng khối lượng đầu ra của sản phẩm tương ứng.

chi phí của bất kỳ sản phẩm nào trong mỗi ngành công nghiệp tỷ lệ thuận với cường độ của nó

Cán cân đầu vào - đầu ra là một mô hình kinh tế - toán học được hình thành bằng cách chồng chéo các hàng và cột của bảng, tức là các số dư phân phối sản phẩm và chi phí sản xuất được liên kết với nhau bởi các kết quả. Các chỉ tiêu chính ở đây là hệ số của tổng chi phí và chi phí trực tiếp.

Mô hình động của cán cân đầu vào - đầu ra đặc trưng cho quan hệ sản xuất của nền kinh tế quốc dân trong một số năm, phản ánh quá trình tái sản xuất trong động thái. Theo mô hình cân bằng đầu vào - đầu ra, hai loại tính toán được thực hiện: loại thứ nhất, khi khối lượng sản xuất và phân phối sản phẩm cân bằng được tính toán dựa trên một mức tiêu dùng cuối cùng nhất định; loại thứ hai, bao gồm các phép tính hỗn hợp, khi khối lượng sản xuất nhất định trong một ngành (sản phẩm) và mức tiêu thụ cuối cùng nhất định trong các ngành khác sẽ tính toán số dư sản xuất và phân phối sản phẩm đầy đủ.

Mô hình kinh tế-toán học ma trận được sử dụng rộng rãi nhất của cân bằng liên ngành. Nó là một bảng hình chữ nhật (ma trận), các yếu tố trong đó phản ánh các mối quan hệ của các đối tượng kinh tế. Các giá trị định lượng của các đối tượng này được tính toán theo các quy tắc được thiết lập trong lý thuyết ma trận. Mô hình ma trận phản ánh cơ cấu của chi phí sản xuất và phân phối và giá trị mới được tạo ra.

Bảng cân đối đầu vào - đầu ra của sản xuất và phân phối

sản phẩm, công trình và dịch vụ

Góc phần tư đầu tiên phản ánh dữ liệu về việc cung cấp sản phẩm lẫn nhau,

công trình, dịch vụ giữa các ngành. Góc phần tư đầu tiên được gọi là góc phần tư

tiêu dùng trung gian và đặc trưng cho tiêu dùng trung gian

(chi phí) hoặc nhu cầu trung gian của các ngành sản xuất sản phẩm,

công trình, dịch vụ:

X ij- giá thành sản phẩm tôi ngành thứ, giao trong j-ngành công nghiệp thứ trong

trong năm, hoặc chi phí sản xuất tôi-ngành công nghiệp tiêu thụ j thứ tự

ngành trong năm;

tôi- dòng thứ - tiêu thụ sản phẩm trung gian tôi ngành thứ của tất cả

các ngành nghề;

j-cột thứ - tiêu thụ (chi phí) trong j sản phẩm công nghiệp thứ của tất cả

các ngành sản xuất các sản phẩm của họ;

X tôi- giá trị của tổng sản phẩm được sản xuất tôi ngành thứ trong

trong năm.

Góc phần tư thứ hai được gọi là Góc phần tư sử dụng cuối.

(tiêu dùng) hoặc nhu cầu cuối cùng. Nó trình bày việc sử dụng cuối cùng của các sản phẩm của các ngành công nghiệp, được chia thành tiêu dùng cuối cùng ( TỪ tôi), đầu tư ( Tôi tôi), xuất khẩu ( E tôi) và nhập khẩu ( M tôi), cán cân ngoại thương ( E tôi – M tôi). Tiêu dùng cuối cùng bao gồm tiêu dùng của các hộ gia đình (dân cư), chính phủ và các tổ chức phi lợi nhuận.

Góc phần tư thứ ba được gọi là góc phần tư giá trị gia tăng. . Trong anh ấy

đại diện cho giá trị gia tăng được thêm vào chi phí trong các ngành công nghiệp

sản phẩm của các ngành sản xuất sản phẩm, công trình, dịch vụ khác.

Giá trị gia tăng được tạo ra trong các lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân,

bao gồm: tiền công ( V j), khấu hao (tiêu hao vốn cố định)

(C j), thu nhập ròng ( m j). Góc phần tư thứ tư không được điền.

Cơ cấu các ngành trong IOB bao gồm các ngành sản xuất vật chất:

ngành công nghiệp (năng lượng, cơ khí, ánh sáng và thực phẩm

công nghiệp, xây dựng, nông nghiệp) và các ngành công nghiệp

dịch vụ phi vật chất (nhà ở và dịch vụ xã, ngân hàng, y tế, giáo dục, khoa học, v.v.). Sự cân bằng giữa các ngành thực tế bao gồm khoảng 30 ngành công nghiệp. Số dư liên ngành trong năm qua được gọi là số dư báo cáo liên ngành.

Cân bằng đầu vào - đầu ra được biết đến trong khoa học và thực tiễn là phương pháp đầu vào - đầu ra được phát triển bởi V.V. Leontiev. Phương pháp này được rút gọn thành giải hệ phương trình tuyến tính, trong đó các tham số là các yếu tố chi phí sản xuất. Các hệ số thể hiện mối quan hệ giữa các ngành của nền kinh tế (hệ số chi phí nguyên vật liệu hiện tại), chúng ổn định và có thể dự đoán được. Giải hệ phương trình cho phép bạn xác định đâu là sản lượng và chi phí trong mỗi ngành để đảm bảo sản xuất sản phẩm cuối cùng khối lượng và cấu trúc cho trước. Đối với điều này, một bảng các luồng hàng hóa giữa các kênh được biên soạn. Các ẩn số là sản lượng và chi phí của hàng hoá được sản xuất và sử dụng trong mỗi ngành. Tính toán của họ với sự trợ giúp của các hệ số có nghĩa là khối lượng sản xuất đảm bảo trạng thái cân bằng chung. Trong trường hợp có sự chênh lệch, có tính đến đơn đặt hàng của người tiêu dùng, bao gồm cả người tiêu dùng nhà nước, một ma trận kế hoạch được lập để giải phóng tất cả các loại của cải vật chất và chi phí sản xuất của chúng.

Phương thức đầu vào - đầu ra đã trở thành cách phổ quát dự báo và hoạch định trong điều kiện kinh tế thị trường và kinh tế chỉ thị. Nó được sử dụng trong hệ thống LHQ, ở Mỹ và các nước khác để dự báo và lập kế hoạch kinh tế, cơ cấu sản xuất và các mối quan hệ giữa các ngành.

Mô hình động phản ánh quá trình phát triển kinh tế. Trong chúng

các khoản đầu tư vốn sản xuất được tách biệt khỏi phần cuối cùng

sản phẩm, cơ cấu và ảnh hưởng của chúng đến tăng trưởng khối lượng sản xuất được nghiên cứu.

Sơ đồ cân bằng đầu vào-đầu ra động được trình bày trong bảng

Bảng chứa hai ma trận. Các phần tử của ma trận thứ hai hiển thị bao nhiêu sản phẩm tôi-ngành công nghiệp thứ được gửi trong giai đoạn hiện tại tới j ngành công nghiệp như đầu tư vốn sản xuất vào tài sản cố định và tài sản lưu động.

Trong sơ đồ động, sản phẩm cuối cùng tại tôi bao gồm các sản phẩm tôi- ngành thứ, đi vào tiêu dùng cá nhân và công cộng, tích lũy

lĩnh vực phi sản xuất, xây dựng cơ bản dở dang, xuất khẩu. Tất cả các

các chỉ số được đưa ra dưới dạng chi phí.

Các tỷ lệ số dư sau được biểu diễn trong bảng:

Các luồng đầu tư vốn liên ngành đề cập đến giai đoạn

(t- 1,t). Động lực học được cung cấp bởi các quan hệ bổ sung:

Ý nghĩa kinh tế của các hệ số ϕ ij = Кij / ΔХj tiếp theo: họ

hiển thị bao nhiêu sản phẩm tôi-ngành công nghiệp thứ nên được đầu tư vào

j-ngành công nghiệp thứ để tăng sản lượng sản phẩm của mình trên mỗi đơn vị

được coi là đơn vị đo lường. Tỷ lệ cược ϕ ij gọi là

tỷ lệ đầu tư vốn hoặc tỷ lệ tăng trưởng

Cường độ vốn. Hệ phương trình (1), có xét đến (2), có thể viết thành:

Hãy biểu diễn (3) dưới dạng ma trận:

(4)

Từ (4) nó theo sau rằng

Mô hình (3) được gọi là mô hình động rời rạc của Leontief về cân bằng đầu vào - đầu ra. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình sai phân tuyến tính bậc 1. Để nghiên cứu mô hình này, cần thiết lập tại thời điểm ban đầu các vectơ X (0 ) và Y (t) vì t = 1, 2, …, T. Nghiệm của mô hình sẽ là các giá trị của các vectơ X (t), K (t), t = 1, 2, …, T.

Điều kiện cho tính khả giải của hệ (3) đối với vectơ X (t) là yêu cầu det ( E − Một − F) ≠ 0

Trong mô hình này, giả định rằng mức tăng sản lượng trong kỳ

(t – 1, t) là do các khoản đầu tư vốn được thực hiện trong cùng kỳ.

Trong thời gian ngắn, giả định này là không thực tế, vì hiện hữu

trễ thời gian (thời gian trễ) giữa các khoản đầu tư vào

tài sản sản xuất và sự gia tăng sản lượng. mô hình,

tính đến độ trễ của các khoản đầu tư vốn, tạo thành một nhóm đặc biệt

các mô hình động của cân bằng liên vùng.

Nếu ta chuyển sang thời gian liên tục thì phương trình (3) sẽ được viết lại dưới dạng hệ phương trình vi phân bậc 1 với hệ số không đổi:

(6)

Để giải quyết nó, ngoài ma trận hệ số của các dòng hiện tại

chi phí vật liệu A = (một ij) và tỷ lệ chi phí vốn F = (ϕ ij)

cần phải biết mức tổng sản lượng tại thời điểm ban đầu

t = 0 (x(0)) và quy luật thay đổi giá trị của sản phẩm cuối cùng y (t) trên phân khúc .

Nghiệm của hệ phương trình (6) sẽ là các giá trị của hàm vectơ x (t)

trên phân khúc . Điều kiện khả năng giải quyết cho hệ thống (6) là det F ≠ 0 .

Mô hình liên ngành năng động tổng quát hơn là mô hình

có tính đến năng lực sản xuất của các ngành. Nó được trình bày dưới đây dưới dạng các tỷ lệ sau:

(7)

(9)

Tình hình nền kinh tế trong năm tđược đặc trưng trong động lực học bởi những điều sau đây

biến:

X t- vectơ cột của tổng sản lượng của các ngành công nghiệp;

v t- người kiểm tra đầu vào của công suất nhánh;

γ là ma trận nghỉ hưu năng lực theo đường chéo;

x t- vectơ cột của công suất ngành (đầu ra tối đa có thể);

l t = (l 1 , l 2 ,..., l N)t vectơ cường độ lao động của ngành sản xuất, có thể phụ thuộc vào thời gian;

L t – khối lượng nguồn lao động trong nền kinh tế.

Thời gian trong mô hình là rời rạc và thay đổi theo khoảng thời gian bằng một năm

(t = 1, 2, …, T). Hệ số của ma trận chi phí trực tiếp A = ║аij║ và ma trận

cường độ vốn của tăng trưởng năng lực sản xuất Ф = ║Фij║ có thể

phụ thuộc vào thời gian. Một hàm vectơ đã cho ngoại sinh Y t và hàm số L t . Giải pháp của mô hình là các vectơ X t và x t, thỏa mãn hệ bất phương trình (7) - (10).

Bất đẳng thức (7) cho thấy vectơ tổng sản phẩm X t phải

đáp ứng chi phí sản xuất liên tục AH t, chi phí sản xuất cho

vận hành các cơ sở sản xuất FV t và tiêu dùng phi sản xuất Y t. Bất bình đẳng (8) giới hạn tổng sản lượng của các ngành trong khả năng sẵn có, bất bình đẳng (9) thể hiện sự cân bằng của ngành về thay đổi năng lực sản xuất, có tính đến việc nghỉ hưu và đi làm, bất bình đẳng (10) cho thấy tổng việc làm bị giới hạn bởi nguồn lao động sẵn có.

Chúng ta hãy xác định các giá trị đặc trưng cho sự thay đổi trong tổng sản lượng của 5 ngành trong 7 khoảng thời gian.

Bây giờ hãy tái tạo ma trận D. Hệ số dij ma trận D bằng số lượng sản phẩm của ngành i yêu cầu tăng thêm một đơn vị (tính theo giá trị) quỹ của ngành j. Tỷ lệ cược dijđược gọi là hệ số về cường độ vốn của tăng trưởng OPF.

Chúng ta hãy xây dựng một ma trận K gồm các hệ số chi phí vốn hoặc hệ số vốn.

Bây giờ chúng ta hãy xác định

Cho Ф 0 = 0,

(Ma trận A - ma trận chi phí trực tiếp)

Vì vậy, chúng tôi có vectơ đầu tiên

Các bảng cho t = 2, 3, 4, 5, 6 được lấy theo cách tương tự.

Mô hình Neumann trình bày N sản phẩm và m cách để

sản xuất. Mỗi j- cách thứ được cho bởi vectơ cột chi phí sản phẩm

một j và một vectơ cột của các bản phát hành sản phẩm b j trên mỗi đơn vị

cường độ quá trình:

(1)

Điều này có nghĩa là ở cường độ đơn vị j quá trình sản xuất tiêu thụ các sản phẩm vector một j và các sản phẩm được sản xuất b j. Các vectơ (1) được coi là đơn vị tự nhiên hoặc giá không đổi.

Các vectơ chi phí và đầu ra tạo thành ma trận chi phí NHƯNG và phát hành

TẠI với các yếu tố chi phí không âm một ij và phát hành b ij :

ma trận NHƯNG và TẠI có các thuộc tính sau:

1) một ij ≥0 ,b ij≥0, tức là tất cả các phần tử của ma trận là không âm;

2) có nghĩa là: trong mỗi m cách

sản xuất tiêu thụ ít nhất một sản phẩm;

3) có nghĩa là: mỗi sản phẩm

được sản xuất theo ít nhất một phương thức sản xuất;

Do đó, mỗi cột của ma trận NHƯNG và mỗi hàng của ma trận TẠI

phải có ít nhất một yếu tố tích cực.

Xuyên qua X (t) biểu thị vectơ cột của cường độ

sau đó CÂY RÌU (t) là vectơ chi phí, BX (t) là véc tơ của các vấn đề cho một

vectơ X (t) cường độ xử lý.

Mô hình Neumann là sự tổng quát hóa của mô hình động

Cân bằng Leontief đầu vào-đầu ra, vì nó cho phép sản xuất một sản phẩm bằng nhiều phương pháp sản xuất và trùng khớp với nó nếu B = E.

Các mối quan hệ sau đây diễn ra trong mô hình Neumann:

(2)

Mối quan hệ (2) có nghĩa là trong quá trình sản xuất sản phẩm trong một năm

(t+ 1) sản phẩm tiêu thụ được sản xuất trong năm t.

Véc tơ P (t)=(P 1 (t), P 2 (t),..., P N (t)) ≥0 được gọi là vectơ giá

sản phẩm được sản xuất trong một năm t nếu nó thỏa mãn các quan hệ sau:

(3)

Nếu hệ số ma trận NHƯNG và TẠI là các đại lượng giá trị với giá không đổi, sau đó R (t) sẽ là một vectơ của các chỉ số giá.

Bất đẳng thức vectơ đầu tiên trong (3) có nghĩa là chi phí đầu ra

sản phẩm cho từng phương thức sản xuất công nghệ / năm t+ 1 không được lớn hơn chi phí giá thành trong năm t.

Từ (2) và (3), các mối quan hệ sau đây diễn ra:

(4)

Quan hệ đầu tiên trong (4) có nghĩa là giá tôi-sản phẩm thứ mỗi năm t bằng 0 nếu bản phát hành vào năm t sẽ nhiều hơn chi phí mỗi năm ( t + 1).

Quan hệ thứ hai (4) có nghĩa là j thứ tự Quy trình công nghệ mỗi năm t sẽ không áp dụng (cường độ bằng 0) nếu chi phí chi tiêu cho nó trong năm t nhiều hơn chi phí phát hành trong một năm ( t + 1).

Sự định nghĩa. Vectơ X (t) và P (t), t = 1, 2, …, T gọi là quỹ đạo

tăng trưởng cân bằng trong mô hình Neumann nếu chúng thỏa mãn

các điều kiện:

(5)

Ở đây λ là tỷ lệ, ρ là tỷ lệ phần trăm tăng trưởng cân bằng.

Từ (5) nó theo sau rằng ở trạng thái tăng trưởng cân bằng, các giá trị của các thành phần vectơ X (t) tăng theo tỷ lệ và các vectơ P (t) đang giảm. Trong trường hợp này, các mối quan hệ sau đây diễn ra:

(6)

ở đâu X(0) và R(0) - giá trị ban đầu của vectơ trong một năm t = 0.

Từ (5), (6) cần thỏa mãn các mối quan hệ trên quỹ đạo tăng trưởng cân bằng.

(7)

Câu hỏi về sự tồn tại của quỹ đạo tăng trưởng cân bằng đang được giải quyết

các định lý sau.

Định lý đầu tiên của Neumann. Nếu ma trận A và B thỏa mãn

tính chất 1-3 thì hệ bất phương trình (7) có nghiệm X (t), p (t), λ, ρ,

những thứ kia. trong mô hình Neumann, có các quỹ đạo của sự tăng trưởng cân bằng.

Định lý thứ hai của Neumann. Có một giải pháp X * (t), P * (t),λ * ,ρ *

hệ thống (7), sẽ có tốc độ tăng trưởng tối đa λ * ≥λ và

tỷ lệ lãi tối thiểu ρ * ≤ ρ so với các giải pháp khác.

Trong trường hợp này, mối quan hệ được đáp ứng:

(8)

Giải pháp này được gọi là Xa lộ, hoặc quỹ đạo

tăng trưởng cân bằng tối đa trong mô hình Neumann.

Mô hình Neumann là một mô hình lý thuyết thuần túy không tính toán được. Thoát đến kết quả thực tếđược thực hiện thông qua mô hình động của V. Leontiev, đây là một trường hợp đặc biệt của mô hình Neumann. Giá thu được trên cơ sở cân bằng động có các đặc tính của giá của mô hình Neumann. Mô hình Leontief sử dụng dữ liệu từ sự cân bằng đầu vào - đầu ra động. Dựa trên cân bằng động, cũng có thể xây dựng tia Neumann về tăng trưởng kinh tế cân bằng tối đa và tính giá tương ứng với tia này, phản ánh chi phí cơ hội. Sự khác biệt giữa mô hình liên ngành động và mô hình Neumann là nó dựa trên giả định rằng một và chỉ một quy trình sản xuất có thể thực hiện được trong mỗi ngành. Do đó, việc lựa chọn một giải pháp cho mỗi ngành chỉ được rút gọn trong việc xác định cường độ của phương thức sản xuất.

Kết luận, chúng tôi lưu ý rằng với sự trợ giúp của cân bằng đầu vào-đầu ra, chúng tôi quyết định

các nhiệm vụ sau:

1. Theo bảng cân đối đầu vào - đầu ra, hãy tìm ma trận chi phí trực tiếp và tổng chi phí.

2. Đã thiết lập véc tơ của sản xuất cuối cùng, hãy xác định véc tơ của tổng sản lượng.

3. Đã thiết lập vectơ của tổng sản lượng, hãy xác định vectơ của sản lượng cuối cùng.

4. Đối với các giá trị mới về giá trị gia tăng, hãy tìm các chỉ số giá và xây dựng bàn mới cân bằng giữa các kẽ.

5. Tìm các vectơ của tổng sản lượng, giá trị gia tăng, chi phí,

chia sẻ chi phí và giá trị gia tăng trong tổng sản phẩm, liên ngành

cung cấp sản phẩm, lập bảng cân đối đầu vào - đầu ra.

Phương pháp phân tích “đầu vào - đầu ra” đã làm đầy lý thuyết về cân bằng kinh tế tổng quát với nội dung thực tiễn, nó góp phần hoàn thiện bộ máy toán học. Phương pháp của Leontiev được phân biệt bởi tính rõ ràng và đơn giản, tính phổ biến và tính toàn cầu, hay nói cách khác là tính phù hợp với nền kinh tế của từng quốc gia và khu vực, đối với nền kinh tế thế giới nói chung.

Mô hình đầu vào-đầu ra của Leontief dựa trên sơ đồ cân bằng giữa các ngành, giả định rằng mỗi ngành sản xuất một và chỉ sản phẩm của riêng mình bằng cách sử dụng các sản phẩm của các ngành khác và thông qua công nghệ tuyến tính. Nó giúp phân tích luồng hàng hóa giữa các ngành công nghiệp và trả lời câu hỏi: liệu có thể thỏa mãn nhu cầu cuối cùng của dân cư về hàng hóa trong điều kiện của công nghệ này không?

Quỹ đạo chính là tia Neumann. Vấn đề chính của lý thuyết quay vòng là phân tích mức độ gần nhau của quỹ đạo của các mô hình tối ưu hóa với các đường cao tốc tương ứng. Các quỹ đạo tối ưu trong các mô hình động của Leontiev và Neumann có các đặc tính này trong các điều kiện bổ sung nhất định.

1. Kolemaev V.A. "Mô hình kinh tế và toán học" UNITI-DANA, 2005 295 tr.

2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. "Các mô hình và phương pháp kinh tế, toán học" Hướng dẫn dành cho sinh viên các chuyên ngành kinh tế, 2003. - 94 tr.

3. Các mô hình và phương pháp kinh tế, toán học / Ed. A.V. Kuznetsova. - Minsk: BSEU, 2000.

4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm

5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm

Khoa học máy tính, điều khiển học và lập trình

Các mô hình sử dụng trong quản lý. Các loại mô hình. Thang đo thời gian của các mô hình động. Các mô hình liên tục của hệ động lực học. Phương trình trạng thái. Hệ thống phi tuyến. Mô hình số của hệ thống động lực học. Vấn đề bước quá lớn. Mô hình Dynamo rời rạc

Các mô hình sử dụng trong quản lý. Các loại mô hình. Quy mô thời gian của các mô hình động. Mô hình liên tục của hệ thống động lực học. Phương trình trạng thái. Hệ thống phi tuyến. Mô hình số của hệ thống động lực học. Vấn đề bước quá lớn. Mô hình rời rạc của hệ thống động. Khả năng quản lý, đánh giá và khả năng quan sát. Hệ thống mờ

Mô hình quá trình là cơ sở của quản lý. Bất kỳ chiến lược kiểm soát nào cũng dựa trên một số hiểu biết về cách một quá trình vật lý phản ứng với tín hiệu đầu vào. Do đó, khả năng phân tích và mô phỏng động lực của hệ thống là điều kiện tiên quyết chính để quản lý thành công.

Các loại mô hình

Có nhiều cách để mô tả hệ thống bằng cách sử dụng các mô hình. Sự lựa chọn cụ thể phụ thuộc vào thông tin đã có từ trước, khả năng thu thập dữ liệu về quá trình khi nó phát triển và quan trọng nhất là mục đích của mô phỏng. Không giống như khoa học, trong đó mục tiêu của mô hình hóa là cái nhìn sâu sắc về bản chất của hệ thống, mô hình theo nghĩa kỹ thuật được coi là phù hợp nếu các quy trình kiểm soát tương ứng hoạt động theo cách có thể dự đoán được, tức là có một đầu ra ổn định với sai lệch nhỏ từ đặt giá trị, khả năng tái tạo của phản hồi đối với tín hiệu đầu vào, v.v.

1. Mô tả liên tục trong thời gian (analogue). Hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hoặc phi tuyến tính cho sự cân bằng của khối lượng, năng lượng, lực hoặc mômen. Trong nhiều trường hợp, các phương trình phi tuyến tính có thể được tuyến tính hóa để làm việc với chúng dễ dàng hơn.
2. Mô tả thời gian rời rạc(mô tả thời gian được lấy mẫu). Tính chất vật lý được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hoặc phi tuyến tính. Cách tiếp cận này có nghĩa là thông tin về hệ thống chỉ có sẵn tại một số thời điểm riêng biệt nhất định. Trên thực tế, kiểu mô tả này gần như không thể tránh khỏi khi kiểm soát kỹ thuật số bởi vì máy tính dựa trên kiến ​​trúc von Neumann phổ biến nhất ( von Neumann ), thực hiện các lệnh một cách tuần tự. Định nghĩa về khoảng thời gian lấy mẫu, tức là tần suất cập nhật hoặc tính toán lại dữ liệu, là nhiều nhất yếu tố quan trọng mô hình như vậy.
3. Các mô hình của hệ thống dựa trên sự kiện rời rạc(mô hình sự kiện rời rạc) hoặc trên chuỗi các sự kiện(hệ thống giải trình tự). Một ví dụ về trình tự sự kiện đã được đưa ra trong phần 2.2.1. Với mô tả này, các giá trị đầu vào và đầu ra của hệ thống rời rạc trong thời gian và thường là tín hiệu nhị phân của loại "bật / tắt". Nhiều hệ thống điều khiển trình tự có thể được mô tả như hệ thống xếp hàng và được mô hình hóa như cái gọi là chuỗi Markov hoặc quy trình Markov.
4. Mô hình hệ thống có độ không đảm bảo(hệ thống có sự không chắc chắn). Cả bản thân hệ thống được điều khiển và các phép đo thường bị ảnh hưởng bởi nhiễu và nhiễu không mong muốn. Trong một số trường hợp, những xáo trộn và kiến ​​thức không đầy đủ về quy trình kỹ thuật có thể được giải thích theo thống kê. Trong một số trường hợp khác, các yếu tố không chắc chắn có thể được mô tả bằng các biểu thức ngôn ngữ và logic thay vì các đặc điểm định lượng. Một ví dụ về mô tả như vậy là quy tắc "if-then-else" của các hệ thống chuyên gia. Một phương tiện khác để mô tả sự không chắc chắn là cái gọi là mờ(mờ) đại số.

Quy mô thời gian của các mô hình động

Thang đo thời gian là một trong những đặc điểm quan trọng quá trình động. Hầu hết các hệ thống kỹ thuật và ngành công nghiệp bao gồm một số quy trình khác nhau đáng kể về thời gian phản hồi. Vì vậy, khi mô tả quá trình, điều quan trọng là phải chọn một thang thời gian tương ứng với mục tiêu.

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ về sản xuất công nghiệp. Nhiệm vụ quản lý có thể được chia thành nhiều cấp độ. Các sự kiện ở cấp độ máy xảy ra trong phần nhỏ của giây, chẳng hạn như khi vận hành cánh tay rô bốt hoặc một máy công cụ. Tiếp theo, hơn thế nữa cấp độ cao kiểm soát, ở cấp trang web, mục tiêu là đồng bộ hóa các cơ chế khác nhau, chẳng hạn như quyết định khi nào robot nên di chuyển một bộ phận giữa hai máy. Thang thời gian ở đây đã theo thứ tự từ giây đến phút. Ở cấp độ địa điểm, người ta giả định rằng nhiệm vụ điều khiển một máy cụ thể đã được giải quyết ở cấp độ thấp hơn. Quy mô thời gian ở cấp công trường được xác định bởi các nhiệm vụ cung cấp phôi cho máy, xác định xem liệu robot có rảnh để lấy một bộ phận mới hay không, v.v. Ở cấp cao hơn, sản xuất nói chung được lên kế hoạch, tức là sản xuất cái gì. và với những gì Đặc điểm cụ thể. Việc giải quyết những vấn đề như vậy có thể mất vài ngày hoặc vài tuần, và so sánh, động lực của một máy được coi là một lần.

Mô phỏng các hệ thống động lực

Có cả những quy trình nổi tiếng và đã được nghiên cứu từ lâu, và những quy trình mà rất ít người biết đến và rất khó để định lượng. Ví dụ, động lực học của máy bay và lò phản ứng hạt nhân đã được nghiên cứu rất kỹ lưỡng, và có những mô hình khá chính xác, mặc dù rất phức tạp, của các quá trình này. Có những quá trình rất khó để định lượng. Ví dụ, một quá trình lên men trong phòng thí nghiệm của một loại vi sinh vật trong một môi trường dinh dưỡng xác định rõ có thể được mô tả khá chính xác. Ngược lại, quá trình xử lý nước thải sinh học chứa một hỗn hợp phức tạp của các sinh vật trong một môi trường rất khó mô tả. Quá trình như vậy chỉ có thể được mô tả một phần bằng các mô hình định lượng thông thường. Khi các mô hình định lượng không đủ hoặc chúng quá phức tạp, các mô hình ngữ nghĩa (ngôn ngữ) được sử dụng để mô tả các quá trình. Các ví dụ khác về các quá trình được nghiên cứu một phần là sản xuất kim loại, tách các chất lỏng và rắn, nhiều quá trình sinh hóa, và hoạt động của lò quay.

Các quy trình có các thông số thay đổi theo thời gian có các vấn đề cụ thể của riêng chúng. Ví dụ, trong một hệ thống sinh học, việc bổ sung một cơ chất mới vào một quá trình có thể gây ra đột biến ở vi sinh vật dẫn đến sự thay đổi đáng kể trong động lực học của toàn bộ quá trình.

Thông thường, mô hình hóa một hệ thống phức tạp là một quá trình khó khăn, tốn kém và tốn thời gian, đặc biệt nếu cần xác minh thực nghiệm. Về cơ bản, có hai cách để phát triển một mô hình. Với cách tiếp cận vật lý, mô hình được hình thành dựa trên các mối quan hệ vật lý và các phương trình cân bằng. Một cách khác để xây dựng mô hình động là dựa trên dữ liệu thử nghiệm. Sự lo lắng được đưa vào quy trình kỹ thuật dưới dạng nhiều loại tín hiệu đầu vào khác nhau, và sau đó việc phân tích chuỗi dữ liệu đầu vào và đầu ra được thực hiện bằng cách sử dụng một thủ tục được gọi lànhận dạng tham số. Nếu phân tích được thực hiện trong thời gian thực, tức là ở tốc độ có thể so sánh với tốc độ của quá trình, thì quy trình này được gọi làđánh giá đệ quy.

Trong thực tế, một tổ hợp thường được sử dụng mô hình vật lý và nhận dạng tham số. Với việc nghiên cứu sâu hơn về các thuộc tính cơ bản của quy trình, việc có được một mô tả động chính xác trở nên dễ dàng hơn. Tuy nhiên, ngay cả những mô hình được phát triển cẩn thận dựa trên cách tiếp cận vật lý cũng cần phải có sự kiểm chứng thực nghiệm.

Các thông số của nhiều quá trình và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn thay đổi theo không gian, ví dụ, nồng độ của chất lỏng trong bể chứa. Sự cân bằng vật lý của các hệ thống như vậy được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Trong hệ thống điều khiển quá trình, các phương trình này thường được xấp xỉ bởi sự khác biệt hữu hạn trong các biến không gian để hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân thông thường

Các mô hình liên tục của hệ động lực học. Phương trình trạng thái

Phương trình vi phân mô tả một quá trình vật lý luôn có thể được chuyển đổi thành hệ phương trình vi phân thông thường bậc nhất. Trong trường hợp này, chúng tôi nói rằng mô tả này ở dạngphương trình trạng thái hoặc trong không gian trạng thái. Ưu điểm chính của dạng ký hiệu này là các phương pháp số có thể được sử dụng để giải các phương trình này. Ngoài ra, bản chất vật lý của quá trình được truy tìm rõ ràng, cụ thể là mối quan hệ giữa các biến bên trong và các tín hiệu đầu vào và đầu ra bên ngoài. Tương tự, việc nghiên cứu các hệ thống điều khiển có nhiều hơn một đầu vào và đầu ra dễ dàng hơn dưới dạng phương trình trạng thái. Cơ sở của bộ máy toán học cho các mô hình trong không gian trạng thái chủ yếu là vector đại số tuyến tính và các ký hiệu ma trận giúp đơn giản hóa rất nhiều mô tả. Tuy nhiên, các phương pháp đại số tuyến tính không bắt buộc phải có hiểu biết cơ bản về động lực học của hệ thống.

Các phương trình trạng thái là thực tế và Một cách thuận tiện mô tả các hệ thống động lực học. Trạng thái là một tập hợp tất cả các biến được gọi làbiến trạng thái , các đạo hàm bậc nhất được đưa vào phương trình mô tả hệ thống động lực học. Khái niệm về phương trình trạng thái có tầm quan trọng cơ bản. Nếu trạng thái hiện tại của hệ thống (các biến trạng thái) và các tín hiệu đầu vào được biết, thì có thể dự đoán được các hoạt động tiếp theo của nó. Đồng thời, thời tiền sử, tức là không cần thiết phải biết trạng thái hiện tại đã đạt được như thế nào. Nói cách khác, trạng thái là lượng thông tin tối thiểu về một hệ thống cần thiết để dự đoán hành vi trong tương lai của nó.

Điều kiện x có thể được biểu diễn dưới dạng một vectơ cột có thành phần là các biến trạng thái

Tất cả các biến trạng thái có thể được đo trực tiếp bằng những trường hợp hiếm, tức là có các biến bên trong không thể được giám sát bằng cảm biến. Do đó, mô tả không gian-trạng thái còn được gọi làmô tả nội bộ. Các phép đo đại lượng đầu ra được ký hiệu bằng y 1, y 2, ..., y p và tạo nên vector tại

Nói chung, số lượng cảm biến R, liên quan đến quy trình kỹ thuật, ít biến trạng thái hơn P. Do đó, việc tính toán x đến y nhiệm vụ không tầm thường.

Bất kỳ hệ thống kỹ thuật nào cũng bị ảnh hưởng bởi hai loại tín hiệu tín hiệu đầu vào có thể được thay đổi bằng tay hoặc tự động bởi bất kỳ phương tiện kỹ thuật, và các tín hiệu không thể kiểm soát. Các tín hiệu của loại đầu tiên được gọi là tín hiệu điều khiển hoặc biến điều khiển.Ư 1, Ư 2 trang điểm vector U

Tín hiệu đầu vào của loại thứ hai có thể ảnh hưởng đến hệ thống, nhưng không thể kiểm soát được. Độ lớn của các tín hiệu này phản ánh ảnh hưởng của môi trường bên ngoài lên hệ thống, ví dụ, sự thay đổi (nhiễu loạn) tải gây ra bởi nhiệt độ, bức xạ, hiệu ứng từ không mong muốn ("đón"), v.v. Tất cả các tín hiệu này được ký hiệu bằng vectơ v

Mục đích của hệ thống điều khiển là tính toán, trên cơ sở các phép đo sẵn có, cho các tín hiệu điều khiển như vậy và sao cho, bất chấp ảnh hưởng của nhiễu, v , hệ thống kỹ thuậtđã thực hiện các nhiệm vụ được giao. Một hệ thống được điều khiển có thể được biểu diễn dưới dạng một sơ đồ khối (Hình 3.13), trong đó hiển thị các tín hiệu điều khiển, nhiễu và các biến đầu ra

Cơm. 2.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển

Khu vực ứng dụng mô hình tuyến tính

Có những hiện tượng động lực học không thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi. Hãy xem xét ảnh hưởng của tính phi tuyến đối với các ví dụ. Các hệ thống được mô tả dưới đây hoạt động như tuyến tính đối với các giá trị nhỏ của tín hiệu đầu vào và đối với các giá trị phi tuyến tính lớn xuất hiện.

Giới hạn tín hiệu

Trong điều kiện thực tế, tất cả các tín hiệu đều bị hạn chế. Trong nhiều hệ thống kỹ thuật, van được sử dụng như phần tử điều khiển cuối cùng. Vì van không thể mở quá 100%, tín hiệu điều khiển được tính toán toán học đôi khi chỉ đơn giản là không thể thực hiện được (Hình 2.2). Điều này gây ra một số khó khăn trong công tác quản lý.

Một ví dụ khác về dòng điện rôto cắt tín hiệu động cơ điện. Dòng điện phải được hạn chế, nếu không động cơ sẽ bị cháy. Theo đó, hệ thống điều khiển động cơ không thể tuyến tính, đặc biệt là ở gia tốc và mômen lớn, khi dòng điện cũng phải lớn.

Hình.2.2 Đầu ra bộ truyền động hạn chế

Hệ thống phi tuyến

Các hệ thống được mô tả là phi tuyến tính, nhưng theo một số giả thiết nhất định, chúng có thể được xấp xỉ bằng phương trình tuyến tính. Các loại phi tuyến tính khác không thể được rút gọn thành mô tả tuyến tính. Ví dụ phổ biến nhất là hệ thống rơ le. Rơle tạo ra tín hiệu nhị phân kiểu "bật / tắt"; Rơ le lý tưởng cho bất kỳ đầu vào tích cực nào có đầu ra dương cố định và theo đó, đầu ra âm cố định cho bất kỳ đầu vào âm nào. Rõ ràng là trong một hệ thống như vậy, nguyên tắc chồng chất không tồn tại.

Ví dụ về các hệ thống có sự không tuyến tính đáng kể:

1. các loại rơ le (có vùng chết, độ trễ, v.v.);
2. van (vùng chết, bão hòa);
3. các biến dạng không thẳng của lò xo cơ học;
4. giảm áp suất khi thu hẹp đường ống;
5. lực ma sát;
6. lực cản khí động học;
7. tính chất hơi nước;
8. động cơ dòng điện một chiều với dây quấn kích từ nối tiếp (mômen là hàm bình phương cường độ dòng điện của mạch rôto);

Động cơ AC

Hệ thống phi tuyến có thể được mô tả dưới dạng sau

nơi n biến trạng thái và đầu vào r, hoặc trong một dạng vector

Mô phỏng số hệ thống động lực

Trong hầu hết các trường hợp, phương pháp số được sử dụng để giải các phương trình vi phân phi tuyến. Phương pháp chính để giải các phương trình vi phân là tính gần đúng của đạo hàm thời gian bằng các phương trình sai phân đơn giản. Phương pháp này được gọi là xấp xỉ chênh lệch tăng dần Euler.

Nếu các điều kiện ban đầu x (0) được biết, thì các trạng thái x ( t + h), x (t +2 h), x (t +3 h ), ..., là những giá trị gần đúng của giải pháp chính xác tại thời điểm t + h, t + 2h, t + 3h vân vân. Ở đây, điều rất quan trọng là phải chọn tích hợp bước (bước) h, mà về nguyên tắc, phải càng nhỏ càng tốt, nhưng trên thực tế, một số giá trị thỏa hiệp được chọn. Một bước quá nhỏ sẽ dẫn đến thời gian tính toán dài một cách bất hợp lý (tất nhiên, điều này vẫn phụ thuộc nghiêm trọng vào độ phức tạp của các phép tính, loại phương trình, số lượng biến và sức mạnh của bộ xử lý). Mặt khác, quá nhiều h gây ra các vấn đề về sự hội tụ của giải pháp và dẫn đến kết quả không mong muốn. Ảnh hưởng của một bước được chọn không chính xác có thể rất đáng kể, đặc biệt nếu hệ thống đang được mô hình hóa bao gồm cả các quá trình động nhanh và chậm.

Vấn đề bước quá lớn

Để minh họa vấn đề của một bước quá lớn, hãy xem xét một hệ thống đơn giản được mô tả bởi một phương trình bậc nhất

trong đó x (0) = 1 và a> 0. Phương trình có một nghiệm phân tích

Mặt khác, phương trình vi phân có thể được giải số bằng phương pháp Euler. Khi tính gần đúng đạo hàm bằng một hiệu số hữu hạn

Trên hình. 2.3. hiển thị những gì xảy ra ở các kích thước bước khác nhau h. Nói chung, đối với các giá trị lớn h sao cho h> 2 / a, nghiệm x sẽ có một ký tự dao động với dấu hiệu thay đổi và tăng biên độ. Vấn đề dao động do bước tích phân quá lớn được gọi là không ổn định số. Sự mất ổn định này không liên quan gì đến bản thân hệ thống và chỉ gây ra bởi một phép gần đúng quá thô khi tính toán lời giải.

Có nhiều phương pháp tích phân số, mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng; Phương pháp Runge-Kutta được sử dụng rộng rãi nhất. Hầu hết các phương pháp tích hợp cho phép kích thước bước thay đổi, được chọn tự động để đáp ứng tiêu chí lỗi xác định trước.

Mô hình rời rạc của hệ thống động lực học

Một máy tính kỹ thuật số không thể xử lý dữ liệu tương tự thay đổi liên tục. Theo đó, cả việc thu thập dữ liệu và tạo ra các tín hiệu điều khiển chỉ xảy ra tại một số thời điểm nhất định. Tình hình về cơ bản không thay đổi khi tốc độ bộ xử lý ngày càng tăng. Bộ xử lý nhanh hơn hoạt động theo nguyên tắc giống như bộ xử lý chậm hơn, nó chỉ xử lý nhiều dữ liệu hơn trong cùng một khoảng thời gian, nhưng dữ liệu vẫn rời rạc.

Sau đây là mô hình quy trình vật lý thích hợp cho các ứng dụng điều khiển máy tính. Phù hợp với mô hình được xem xét, dữ liệu quá trình đo được được thu thập theo các khoảng thời gian đều đặn. Các khoảng này không nhất thiết phải giống nhau, nhưng việc mô tả mô hình động rời rạc trở nên dễ dàng hơn với khoảng không đổi. Quá trình này gọi làlấy mẫu, tùy ý(lấy mẫu) hoặc lượng tử hóa, khoảng thời gian dàithời gian (khoảng thời gian, khoảng thời gian) lấy mẫu, tùy ý(thời gian lấy mẫu) hoặc lượng tử hóa. Một đơn giản hóa khác được sử dụng trong việc phát triển các mô hình quy trình thời gian rời rạc là dữ liệu đo được và tín hiệu điều khiển không đổi trong khoảng thời gian lấy mẫu. Trên thực tế, các lược đồ mẫu và giữ của giao diện máy tính hoạt động theo cùng một cách.

Mô tả trong không gian trạng thái

Quá trình phi tuyến có thể được tính gần đúng bằng phương trình sai phân

ở đâu h khoảng thời gian lấy mẫu kh số sê-ri của nó; f (x, u ) đạo hàm theo thời gian của vectơ trạng thái hệ thống x. Sự gần đúng là hợp lệ nếu h là đủ nhỏ, và đạo hàm là "mịn". Phương trình chênh lệch về cơ bản giống như trong mô phỏng số. Hệ thống tuyến tính với hệ số không đổi trong dạng rời rạc xuất hiện như sau

Trong ký hiệu ma trận, điều này có thể được viết

Đối với một hệ thống tuyến tính hoặc tuyến tính hóa, việc tính gần đúng là không cần thiết. Vì các phương trình vi phân tuyến tính có thể được giải một cách giải tích, các phương trình tương ứng cho đại diện rời rạc có thể thu được từ dung dịch. Giả định rằng tín hiệu điều khiển u (t) không đổi giữa các lần lấy mẫu, tức là hệ thống bao gồm một mạch lưu giữ. Mô hình rời rạc có thể được viết dưới dạng ma trận

trong đó Ф là ma trận thứ nguyên n x n, và Г ma trận thứ nguyên n x l. Kết nối giữa ma trận A và B và ma trận F và G như sau

nơi mà tôi ma trận đơn vị.

Việc chuyển đổi giữa các ma trận cho các mô hình liên tục và rời rạc có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các chương trình tiêu chuẩn. Xấp xỉ chênh lệch hữu hạn có xu hướng đưa ra một giải pháp chính xác cho các giá trị nhỏ của khoảng thời gian lấy mẫu h. Vì các phép đo diễn ra theo chu kỳ, nên phương trình cho mô hình rời rạc chỉ có giá trị tại các thời điểm lấy mẫu

Giải phương trình của một mô hình rời rạc trên máy tính kỹ thuật số khá đơn giản: nghiệm x ( kh ) tại các thời điểm liên tiếp được tính toán từng bước dựa trên các phương trình chênh lệch

Khả năng quản lý, đánh giá và khả năng quan sát

Mỗi hệ thống kỹ thuật có một số đặc điểm cơ bản cần được chú ý đặc biệt.

Khả năng kiểm soát nó là một đặc tính của hệ thống cho biết liệu hệ thống có đủ các thông số điều chỉnh để điều khiển nó theo cách cần thiết hay không. Nói một cách đại khái, hệ thống có thể điều khiển được nếu có thể chọn các hành động điều khiển như vậy và để hệ thống đạt được trạng thái nhất định X. Chỉ khi hệ thống có thể điều khiển được thì các cực (hoặc giá trị riêng) của nó mới có thể được di chuyển tùy ý bằng phản hồi.

Nếu quá trình không thể kiểm soát được, điều này có nghĩa là các bộ phận của hệ thống bị ngắt kết nối vật lý khỏi các tín hiệu điều khiển..

Các tín hiệu điều khiển ảnh hưởng đến từng biến trạng thái riêng lẻ. Trong một hệ thống được điều khiển, tất cả các phần tử của ma trận B đều khác không, nếu không, các biến trạng thái tương ứng với các phần tử không của ma trận B không thể được điều khiển bằng các tín hiệu điều khiển. Giá trị của các biến như vậy sẽ chỉ được xác định bởi các thuộc tính của hệ thống.

Khả năng điều khiển của một hệ thống tuyến tính dựa trên một mô hình liên tục và rời rạc có thể được xác minh bằng các phương pháp toán học. Tuy nhiên, không có phương pháp toán học nào có thể thay thế sự hiểu biết về bản chất vật lý của quá trình của kỹ sư thiết kế. Ví dụ, nó thường xảy ra rằng một số tham số được kiểm soát kém, tức là giá trị của các hệ số tương ứng P là nhỏ. Và mặc dù hệ thống có thể kiểm soát chính thức, nhưng một bộ điều chỉnh thực sự phù hợp với công dụng thực tế, không thể được tạo.

Đánh giá tình trạng dựa trên các phép đo

Đặc tính thứ hai của hệ thống liên quan đến phép đo và quan sát. Thành phần hiện có của cảm biến có cho phép thu thập đầy đủ thông tin về trạng thái của hệ thống hay không. Có thể tính toán gián tiếp toàn bộ vector trạng thái hiện tại không x (t), nếu giá trị hiện tại và trước đó của tín hiệu đầu ra y (0) được biết. Đặc tính này được gọi là khả năng quan sát.

Trong hầu hết các trường hợp, trạng thái của hệ thống không được đo trực tiếp, tức là số lượng cảm biến ít hơn số lượng biến trạng thái. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải biết vector trạng thái hoàn chỉnh x, ngay cả khi các cảm biến thích hợp không tồn tại hoặc đơn giản là quá đắt. Trong các điều kiện nhất định, bạn có thể tính toán vectơ trạng thái X dựa trên các phép đo tại . Trong những gì sau đây, x sẽ biểu thị vectơ trạng thái được tính toán, vì nó có thể khác với vectơ thực.

Để tính toán các biến trạng thái không được đo lường, bạn có thể sử dụng thủ tụcước tính (công cụ ước tính), và cho cả mô hình liên tục và rời rạc. Ở đây, chúng tôi xem xét một thuật toán ước lượng cho một mô hình rời rạc, vì nó có thể được áp dụng trực tiếp trong điều khiển máy tính. Đánh giá trạng thái thực chất là một mô tả quy trình kỹ thuật bằng các phương trình sai khác, trong đó một thuật ngữ bổ sung được đưa ra để điều chỉnh các biến ước lượng dựa trên các phép đo y

Ma trận D trong hầu hết các trường hợp bằng không. Nếu hệ thống chỉ có một cảm biến thì K là vectơ, ngược lại nó là ma trận. Với ước tính "tuyệt vời", x và x trùng nhau và số hạng cuối cùng trong phương trình bằng 0, vì y \ u003d C x. Ước lượng sẽ tuân theo cùng một phương trình động lực học như vectơ trạng thái thực x. Vì X khác với x, thuật ngữ cuối cùng, tức là sự khác biệt giữa phép đo thực tế của y và ước tính C * x của nó, được sử dụng để sửa lỗi. Ma trận K là hệ số trọng số quyết định chất lượng của cuộc đánh giá.

Hệ thống mờ

Nhiều hệ thống không chỉ phi tuyến tính và không cố định (thay đổi theo thời gian), mà thường được xác định kém. Chúng không thể được mô hình hóa bằng các phương trình hoặc được biểu diễn bằng một tập hợp các quy tắc hợp lý rõ ràng if-then-else. Để giải quyết những vấn đề như vậy, nhà khoa học người Mỹ Lotfi A. Zadeh ( Lotfi A. Zadeh ) logic mờ được phát triển(lập luận mờ). Thuật ngữ "mờ" thực sự được sử dụng không hoàn toàn chính xác, vì logic dựa trên lý thuyết toán học một cách chắc chắn.

Logic mờ có thể được xem như một phương pháp luận điều khiển rời rạc bắt chước suy nghĩ của con người, sử dụng một đặc tính vốn có trong tất cả hệ thống vật lý như một sự không chính xác. Tính toán và logic truyền thống sử dụng các tập xác định, tức là bạn luôn có thể biết liệu một phần tử có thuộc một tập hợp hay không. Logic nhị phân thông thường chỉ hoạt động trên các trạng thái đối lập "nhanh / chậm", "mở / đóng", "nóng / lạnh". Theo logic này, nhiệt độ 25 "C" có thể được coi là "nóng", và 24,9 ° C vẫn là "lạnh", và bộ điều khiển nhiệt độ sẽ phản ứng tương ứng.

Ngược lại, logic mờ hoạt động bằng cách chuyển đổi các biến nhị phân cứng "nóng / lạnh", "nhanh / chậm", "mở / đóng" thành các biếnmức độ thành viên — "ấm / mát", "khá nhanh / hơi chậm". Nhiệt độ 20 ° C có thể có nghĩa là cả "ấm" và "mát" cùng một lúc. Các điểm này bị bỏ qua. logic thông thường, nhưng đóng vai trò là nền tảng của logic mờ. Mức độ thành viên được xác định sự tin tưởng (sự tự tin) hoặc sự chắc chắn (sự chắc chắn) (biểu diễn dưới dạng một số từ 0 đến 1) mà một phần tử cụ thể thuộc tập mờ.

Các hệ thống mờ phát triển các quyết định của chúng dựa trên thông tin đầu vào dưới dạng các biến ngôn ngữ, tức là các thuật ngữ của ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn như "nóng", "chậm" hoặc "tối". Các biến này được xử lý theo quy tắc "if-then-else" và kết quả là một hoặc nhiều kết luận được hình thành, tùy thuộc vào câu lệnh nào là đúng. Đầu ra của mỗi quy tắc được tính theo độ tin cậy hoặc mức độ thành viên của các giá trị đầu vào của nó.

Có một số tương tự giữa các quy tắc "nếu-thì" nhân tạo trí thông minh và logic mờ, mặc dù trí tuệ nhân tạo là một quá trình xử lý ký hiệu, còn logic mờ thì không. TẠI trí tuệ nhân tạo mạng nơron là một tập hợp dữ liệu và kết luận ở dạng cấu trúc đặc biệt. Mỗi giá trị đầu vào được gán một hệ số trọng số tương đối, rời rạc. Dữ liệu có trọng số chính xác theo một cách nào đó tạo thành một mạng lưới để ra quyết định. Ngược lại, trong logic mờ, các hàm trọng số liên tục được xác định trên tập các giá trị liên thuộc.

Logic mờ thường giải quyết các biến được quan sát hơn là đo lường. Quản lý dựa trên logic mờ có một điểm khác biệt đáng kể so với cách quản lý truyền thống. Mô hình thứ hai dựa trên một mô hình toán học của hệ thống, giả định kiến ​​thức chi tiết về các biến có liên quan. Mô hình logic mờ giải quyết các mối quan hệ đầu vào / đầu ra trong đó nhiều tham số được tập hợp lại với nhau. Với điều khiển như vậy, việc thay thế một phạm vi lớn các giá trị bằng một số lượng cấp thành viên nhỏ hơn giúp giảm số lượng các biến mà bộ điều khiển phải hoạt động. Theo đó, yêu cầu ít quy tắc hơn vì có ít tham số hơn để đánh giá và trong nhiều trường hợp, bộ điều khiển logic mờ có thể tạo ra quyết định nhanh hơn hệ thống chuyên gia dựa trên quy tắc "nếu-thì". Trên các nguyên mẫu thử nghiệm, người ta đã chỉ ra rằng logic mờ là một công cụ tốt cho lượng thông tin không đủ.

Bộ điều chỉnh tự động tốc độ tàu đóng vai trò là một minh họa đơn giản cho các ứng dụng logic mờ. Tiêu chí cho bộ điều khiển là tối ưu hóa thời gian di chuyển theo các ràng buộc đã biết. Dữ liệu đầu vào là tốc độ hiện tại, gia tốc và khoảng cách đến đích, trên cơ sở đó bộ điều khiển kiểm soát công suất động cơ

Hàm thành viên gán các giá trị ngôn ngữ cho các giá trị đo được. Trong trường hợp được hiển thị, gia tốc có giá trị "phanh" do độ dốc lớn. Tốc độ thuộc về bộ "chậm" (trọng lượng 0,8) và "quá chậm" (trọng lượng 0,2), và khoảng cách "rất gần đích" với trọng lượng 0,65 và "gần" với trọng lượng 0,35

Một số quy tắc có thể đưa ra ý tưởng về logic điều khiển:

1. nếu tốc độ là "quá chậm" và tăng tốc là "phanh", thì sức mạnh phải được "tăng lên đáng kể";
2. nếu tốc độ là "chậm" và tăng tốc là "phanh", thì công suất nên được "tăng một chút";
3. nếu khoảng cách là "gần", thì bạn nên "giảm nhẹ" sức mạnh.

Nên chọn quy tắc nào? Đầu ra cũng có một mức độ tin cậy, điều này phụ thuộc vào mức độ tin cậy (tức là trọng số) của đầu vào. Lựa chọn cuối cùng trong ví dụ này là "tăng một chút" sức mạnh. Ngay cả khi tốc độ "quá chậm", tàu đã gần đến đích.

Không có gì đảm bảo rằng logic mờ có thể xử lý thành công các hệ thống phức tạp. Bộ điều khiển logic mờ thực tế là một đánh giá về trạng thái của hệ thống, điều này không dựa trên mô hình cụ thể. Rất khó để chứng minh tính ổn định của một bộ điều khiển như vậy.

Tạo ra một số mô hình phổ quát tương ứng với các khía cạnh khác nhauứng dụng của nó gần như là không thể. Để có được thông tin phản ánh các thuộc tính nhất định của đối tượng được quản lý, cần phải phân loại các mô hình. Việc phân loại dựa trên các tính năng của nhà điều hành φ. Toàn bộ các đối tượng điều khiển, dựa trên các đặc điểm về thời gian và không gian, có thể được chia thành sau các lớp học: tĩnh hoặc động; tuyến tính hoặc phi tuyến tính; liên tục hoặc rời rạc trong thời gian; cố định hoặc không cố định; các quá trình trong đó các tham số của chúng thay đổi trong không gian và các quá trình không có sự thay đổi trong không gian trong các tham số. Vì các mô hình toán học là sự phản ánh của các đối tượng tương ứng, chúng được đặc trưng bởi các lớp giống nhau. Tên đầy đủ của mô hình có thể bao gồm sự kết hợp của các tính năng được liệt kê. Những dấu hiệu này làm cơ sở cho tên của các loại mô hình tương ứng.

Tùy thuộc vào bản chất của các quá trình được nghiên cứu trong hệ thống, tất cả các mô hình có thể được chia thành các loại sau:

Mô hình xác định- hiển thị các quá trình xác định, nghĩa là, các quá trình trong đó giả định là không có bất kỳ ảnh hưởng ngẫu nhiên nào.

Mô hình Stochastic- hiển thị các quá trình và sự kiện xác suất; trong trường hợp này, một số cách triển khai được phân tích quá trình ngẫu nhiên, và các đặc điểm trung bình được ước tính.

Đứng im và mô hình không cố định. Mô hình được gọi là tĩnh nếu dạng của toán tử φ và các tham số p của nó không thay đổi theo thời gian, nghĩa là khi

φ = φ, tức là y = φ (p, x).

Nếu các thông số của mô hình thay đổi theo thời gian, thì mô hình đó

tham số không đứng yên

Phần lớn hình thức chung không cố định - khi loại chức năng cũng phụ thuộc vào thời gian. Sau đó, một đối số khác được thêm vào bản ghi hàm

Mô hình tĩnh và mô hình động. Việc phân chia các loại mô hình này dựa trên các đặc điểm về chuyển động của đối tượng được nghiên cứu như một hệ vật chất.

Nói về mô hình từ quan điểm của các bài toán điều khiển, cần lưu ý rằng không gian ở đây được hiểu không phải là không gian hình học, mà là không gian của các trạng thái - tọa độ của các trạng thái của các biến đầu ra. tại. Yếu tố vector y thường là các thông số công nghệ được kiểm soát (tốc độ dòng chảy, áp suất, nhiệt độ, độ ẩm, độ nhớt, v.v.). Thành phần của các yếu tố vectơ yđối với bản thân đối tượng có thể rộng hơn so với mô hình của đối tượng này, vì việc mô hình hóa chỉ yêu cầu nghiên cứu một phần các thuộc tính của hệ thống thực. Chuyển động của đối tượng điều khiển trong không gian trạng thái và trong thời gian được ước tính bằng cách sử dụng quá trình vector y (t).

Mô hình hệ thống được gọi là tĩnh lặng, nếu trạng thái của hệ không thay đổi, tức là hệ ở trạng thái cân bằng, nhưng chuyển động gắn liền với trạng thái tĩnh của vật ở trạng thái cân bằng. Mô tả toán học trong mô hình tĩnh không bao gồm thời gian như một biến số và bao gồm các phương trình đại số hoặc phương trình vi phân trong trường hợp các đối tượng có tham số phân bố. Mô hình tĩnh thường là phi tuyến tính. Chúng phản ánh chính xác trạng thái cân bằng do quá trình chuyển đổi của một đối tượng từ chế độ này sang chế độ khác gây ra.

Năng động mô hình phản ánh sự thay đổi trạng thái của đối tượng theo thời gian. Mô tả toán học của các mô hình như vậy nhất thiết phải bao gồm một đạo hàm theo thời gian. Mô hình động sử dụng phương trình vi phân. Các nghiệm chính xác của những phương trình này chỉ được biết đến đối với một loại phương trình vi phân nhất định. Thông thường, người ta phải sử dụng các phương pháp số gần đúng.

Đối với mục đích điều khiển, mô hình động được trình bày như một hàm truyền kết nối các biến đầu vào và đầu ra.

Mô hình tuyến tính và phi tuyến tính. Hàm toán học L (x) - tuyến tính nếu

L (λ 1 x 1 + λ 2 x 2) = λ 1 L (x 1) + λ 2 L (x 2).

Điều này cũng đúng với các hàm của một số biến. Một hàm tuyến tính cố hữu trong việc chỉ sử dụng các phép toán cộng đại số và nhân một biến số với một hệ số không đổi. Nếu có các phép toán phi tuyến tính trong biểu thức cho toán tử mô hình, thì mô hình là phi tuyến tính, nếu không thì mô hình là tuyến tính.

Mô hình với các tham số gộp và phân tán. Cần lưu ý rằng, có tính đến thuật ngữ được giới thiệu, sẽ đúng hơn nếu sử dụng khái niệm “tọa độ trạng thái” thay vì từ “tham số” trong tên của mô hình. Tuy nhiên, đây là một cái tên lâu đời thường được tìm thấy trong tất cả các công việc về mô hình hóa quy trình.

Nếu các biến quá trình chính thay đổi cả theo thời gian và không gian (hoặc chỉ trong không gian), thì các mô hình mô tả các quá trình đó được gọi là mô hình với phân phối thông số. Trong trường hợp này, không gian hình học được giới thiệu z = (z 1, z 2, z 3) và các phương trình giống như sau:

y (z) = φ, p (z) = ψ.

Mô tả toán học của chúng thường bao gồm các phương trình vi phân riêng, hoặc phương trình vi phân thông thường trong trường hợp các quá trình tĩnh với một tọa độ không gian.

Nếu có thể bỏ qua sự không đồng nhất trong không gian của các giá trị tọa độ của các trạng thái của đối tượng, tức là gradient, thì mô hình tương ứng là mô hình có tập trung thông số. Đối với họ, khối lượng và năng lượng dường như tập trung tại một điểm.

Không phải lúc nào cũng bắt buộc phải có không gian ba chiều. Ví dụ, một mô hình của một cuộn dây với chất lỏng làm việc được nung nóng và có vỏ thành mỏng thường tiến hành theo chiều một chiều của vật thể - chỉ tính đến chiều dài của cuộn dây. Đồng thời, quá trình truyền nhiệt đến một thể tích giới hạn của chất lỏng làm việc qua thành dày có thể được mô tả bằng mô hình một chiều chỉ tính đến chiều dày vỏ, v.v. Đối với các đối tượng cụ thể, dạng của các phương trình tương ứng đòi hỏi sự biện minh.

Mô hình là liên tục và rời rạc trong thời gian. Các mô hình liên tục phản ánh các quá trình liên tục trong các hệ thống. Mô hình mô tả trạng thái của các đối tượng theo thời gian như một đối số liên tục - tiếp diễn(theo thời gian):

y (t) = φ, p (t) = ψ.

Mô hình rời rạc phục vụ để mô tả các quá trình được cho là rời rạc. Một mô hình rời rạc không thể dự đoán hành vi của một đối tượng trong khoảng thời gian giữa các lần đếm thời gian rời rạc. Nếu chúng ta giới thiệu lượng tử hóa thời gian với một bước ∆t, thì một thang đo rời rạc được xem xét, trong đó i = 0,1,2… - thu được ý nghĩa của thời gian tương đối. Và mô hình rời rạc:

y (i) = φ; p (i) = ψ.

Tại sự lựa chọn đúng đắn bước ∆t có thể được mong đợi từ mô hình rời rạc của kết quả với độ chính xác được xác định trước. Khi thay đổi ∆t, các hệ số của phương trình sai phân cũng cần được tính toán lại.

Rời rạc- mô hình liên tục được sử dụng cho các trường hợp khi họ muốn làm nổi bật sự hiện diện của cả quá trình rời rạc và liên tục.

Yêu cầu đối với mô hình toán học: độ chính xác - thuộc tính phản ánh mức độ trùng khớp giữa các giá trị của các tham số đối tượng được dự đoán bằng cách sử dụng mô hình với giá trị thực của chúng; hiệu quả chi phí của thời gian máy; tính phổ quát - khả năng ứng dụng vào việc phân tích một nhóm các đối tượng cùng loại.

(1) Hệ thống và các yếu tố của hệ thống

ACS - bao gồm một đối tượng điều khiển, các thiết bị điều khiển tương tác với nhau (SAP). Đối tượng điều khiển (CO) là một thiết bị mà chế độ hoạt động yêu cầu của nó phải được hỗ trợ bởi hệ thống. Thiết bị điều khiển là thiết bị tác động lên đối tượng điều khiển để duy trì chế độ hoạt động của đối tượng điều khiển. Hệ thống là một tập hợp các yếu tố tương tác. Thuộc tính của một hệ thống khác với tập hợp các phần tử mà nó bao gồm. Trong phân tích, tổng hợp hệ thống, một mô tả toán học của hệ thống điều khiển được sử dụng. Có 2 cách mat. mô tả hệ thống điều khiển: 1) cổ điển - trong trường hợp này, tất cả các phần tử của hệ thống được mô tả bằng cách sử dụng các phương trình riêng biệt mà không tính đến mối quan hệ giữa các phần tử. 2) hệ thống - trong trường hợp này, tất cả các phần tử của hệ thống được xem xét cho một số lượng hữu hạn hệ thống con và được coi là có tính đến mối quan hệ giữa phần tử. Về mặt toán học, hệ thống có thể được mô tả theo 3 cách: 1) phân tích - sử dụng vi phân. hoặc tuyến tính; 2) đồ họa - sơ đồ, đồ thị; 3) dạng bảng - một đồ thị trong một bảng.

(2) Phân loại ACS

Hệ thống tuyến tính - hệ thống được mô tả phương trình đường thẳng. Hệ thống phi tuyến - được mô tả bằng các phương trình phi tuyến, tức là vi sai. Hệ thống liên tục - trạng thái được đưa ra trên toàn bộ tập hợp liên tục . Hệ thống rời rạc - hệ thống, giá trị của đại lượng đầu ra tồn tại hoặc được xác định tại một thời điểm cụ thể . Hệ thống rời rạc liên tục, trong đó giá trị đầu ra trong một khu vực nhất định là giá trị liên tục và trong khoảng thời gian t 1 -t 2 là giá trị rời rạc . Hệ tĩnh là hệ được mô tả bằng phương trình với các tham số không đổi (các tham số không thay đổi theo thời gian). Không cố định - được mô tả bằng các phương trình với các tham số thay đổi. BSC - hệ thống với các tham số gộp - hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân thông thường trong đạo hàm riêng. Một chiều - các hệ thống trong đó số lượng đầu ra là một . Đa biến - có nhiều giá trị đầu ra . Tĩnh - không có hệ thống quán tính, tức là không đổi trong thời gian . Động - giá trị đầu vào thay đổi theo thời gian, các giá trị này được đặc trưng bởi một quá trình động . Xác định - hệ thống không có ảnh hưởng bên ngoài. Stochastic (có thể xảy ra hoặc ngẫu nhiên) - các hệ thống như vậy được đặc trưng bởi một số trạng thái và tất cả phụ thuộc vào các tác động bên ngoài.

(3) Ảnh hưởng đến hệ thống (các biến của hệ phương trình).

Hành động chính hoặc hành động đầu vào x (t) là hành động được lên kế hoạch. Hành động kiểm soát (U (t)) - hành động được xác định bởi phương trình kiểm soát và ảnh hưởng đến các đối tượng quản lý. Tác động gây phiền nhiễu f (t) - tác động không có kế hoạch, tức là ngẫu nhiên (các thông số Môi trường). Đầu ra y (t) được điều khiển bởi một biến, giá trị này đặc trưng cho các tham số của các đối tượng điều khiển. Nội bộ x (t) - do ảnh hưởng của một số hệ thống đối với những hệ thống khác.

(4) Mô hình toán học của hệ thống động liên tục.

Trước khi chuyển sang mô hình toán học ACS, cần vẽ sơ đồ chức năng của nó. Trong một sơ đồ như vậy, mỗi phần tử ACS tương ứng với một hình chữ nhật nhất định với ký hiệu của phần tử cụ thể này. Hành động đầu vào được cung cấp cho bộ cộng, có tính đến việc xử lý lỗi, từ hành động đầu vào, hành động cài đặt g (t) sẽ thu được. Đi vào thiết bị điều khiển, tạo ra hành động điều khiển u (t) và nhập đối tượng điều khiển. Trong đối tượng kiểm soát, có tính đến ảnh hưởng bên ngoài j (t) tạo ra đầu ra y (t). Sai số điều khiển mà l (t) được gửi đến cơ cấu chấp hành, được thiết kế để thay đổi trạng thái tái hấp thụ. Hệ thống này đã đóng. Phần dưới cùng được gọi là Phản hồi, có thể là cả tích cực và tiêu cực. Ở giai đoạn tiếp theo của việc vẽ ra một mô hình toán học, sơ đồ chức năng được chuyển đổi thành một sơ đồ cấu trúc, cũng bao gồm các hình chữ nhật, nhưng thay vì chỉ định một phần tử hệ thống, phương trình trạng thái hoặc hoạt động của liên kết này được viết vào đó. Sơ đồ khối là mô hình toán học hệ thống điều khiển. Các phương trình mô tả các trạng thái thay đổi theo thời gian của một hệ thống hoặc phần tử được gọi là phương trình động lực học. Thông thường, các hệ thống được mô tả bằng cách sử dụng phương trình vi phân.

(5) Phương pháp sai lệch nhỏ.

Khi nghiên cứu một hệ phương trình phi tuyến, lời giải chỉ có thể nhận được ở dạng thuần túy, do đó, người ta sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để thu được một nghiệm phân tích của phương trình vi phân phi tuyến. Tuyến tính hóa là sự thay thế các phương trình phi tuyến tính bằng các phương trình tuyến tính gần đúng (phương pháp độ lệch nhỏ). Xem xét một số yếu tố . Hãy để các quá trình được thực hiện giữa các giá trị đầu vào và đầu ra, được mô tả bằng một phương trình vi phân phi tuyến tính có dạng . Hãy biểu thị trạng thái ổn định của vật thể thông qua x 0, y 0 và độ lệch so với trạng thái này x 'và y'. thì giá trị đầu vào sẽ được biểu diễn: x = x 0 + x '; y + y 0 + y '. Trong trường hợp chung, các giá trị đầu vào và đầu ra có thể là hàm của thời gian, khi đó giá trị đầu ra sẽ được biểu thị bằng: . Trong vùng lân cận của điểm x 0, y 0, chúng ta khai triển hàm F (x, y, t) trong một chuỗi Taylor: , trong đó R là tập các số hạng của dãy, bậc của đạo hàm cao hơn bậc đầu tiên. Trong trường hợp độ lệch so với trạng thái ổn định, các giá trị nhỏ, bạn có thể lấy (*), trong đó . Trong trường hợp độ lệch so với trạng thái ổn định bằng 0, phương trình sẽ có dạng (**). Trừ (**) khỏi (*) ta được phương trình vi phân tuyến tính , được gọi là phương trình theo độ lệch. Phương trình này mô tả trạng thái của đối tượng điều khiển đối với các sai lệch nhỏ.

(6) Phương pháp giải phương trình vi phân.

1) phân tích, nhận giải pháp ở dạng rõ ràng. Dựa trên quyết định này bạn có thể khám phá phản ứng của đối tượng với bất kỳ đầu vào nào; 2) số, nghiệm của phương trình là một nghiệm số trong các điều kiện ban đầu cho trước; 3) định tính, nó được sử dụng chủ yếu trong lý thuyết điều khiển và không có giải pháp rõ ràng, các ước tính định tính khác nhau thu được ????? (thời gian quá trình chuyển đổi, băng thông). Các giai đoạn giải phương trình vi phân: 1) theo phương trình vi phân ban đầu, chúng tạo nên phương trình đặc trưng của hệ; 2) tìm nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng; 3) viết ra giải pháp chung phương trình vi phân và sử dụng các điều kiện ban đầu xác định các hệ số của giá trị đầu ra; 4) một nghiệm cụ thể được thêm vào nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng, ​​bậc cao hơn bậc ba, là không thể phân tích được, do đó, người ta sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm nguyên, điều này làm phức tạp việc nghiên cứu toàn bộ hệ thống.

Thí dụ.

Thí dụ.

Thí dụ.

Thí dụ. Mô hình S = gt2 / 2, 0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Thí dụ.

a1x1 + a2x2 = S,

Mô hình xác định và ngẫu nhiên

Mô hình là xác định nếu mỗi tập tham số đầu vào tương ứng với một tập tham số đầu ra được xác định rõ ràng và duy nhất; nếu không, mô hình là không xác định, ngẫu nhiên (xác suất).

Thí dụ. Các mô hình vật lý trên là xác định. Nếu trong mô hình S = gt2 / 2, 0< t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:

S (p) = g (p) t2 / 2, 0< t < 100,

thì chúng ta sẽ nhận được một mô hình ngẫu nhiên về (không còn tự do) rơi xuống.

Mô hình chức năng, lý thuyết tập hợp và lôgic

Một mô hình là chức năng nếu nó có thể được biểu diễn như một hệ thống của một số loại quan hệ chức năng.

Một mô hình là lý thuyết tập hợp nếu nó có thể được biểu diễn với sự trợ giúp của một số tập hợp và quan hệ thuộc về chúng và giữa chúng.

Thí dụ.Để bộ

X = (Nikolai, Peter, Nikolaev, Petrov, Elena, Ekaterina, Mikhail, Tatyana) và các mối quan hệ:

Nikolai - chồng của Elena,

Ekaterina - vợ của Peter,

Tatyana là con gái của Nikolai và Elena,

Michael là con trai của Peter và Catherine,

Gia đình của Michael và Peter là bạn bè của nhau.

Khi đó, tập X và tập các quan hệ liệt kê Y có thể dùng như một mô hình lý thuyết tập hợp của hai họ thân thiện.

Một mô hình được gọi là logic nếu nó có thể được biểu diễn bằng các vị từ, các hàm logic.

Ví dụ, một tập hợp các hàm logic có dạng:

z = x y x, p = x y

là một mô hình logic toán học về hoạt động của một thiết bị rời rạc.

Mô hình trò chơi

Mô hình trò chơi, nếu nó mô tả, thực hiện một số tình huống trò chơi giữa những người tham gia trò chơi.

Thí dụ. Hãy để người chơi 1 là một thanh tra thuế có lương tâm và người chơi 2 là một người đóng thuế vô lương tâm. Có một quy trình (trò chơi) về việc trốn thuế (một mặt) và tiết lộ việc che giấu các khoản nộp thuế (mặt khác). Người chơi chọn các số tự nhiên i và j (i, j n), có thể được xác định tương ứng, với việc phạt người chơi 2 vì không nộp thuế khi người chơi 1 phát hiện ra sự thật không thanh toán và với lợi ích tạm thời của người chơi 2 khỏi trốn thuế. Nếu chúng ta lấy một trò chơi ma trận với một ma trận trả thưởng bậc n làm mô hình, thì mỗi phần tử trong nó được xác định bởi quy tắc aij = | i - j |. Mô hình trò chơi được mô tả bởi ma trận này và chiến lược né và bắt. Trò chơi này mang tính chất đối kháng.

Mô hình ngôn ngữ

Mô hình được gọi là ngôn ngữ, ngôn ngữ, nếu nó được biểu diễn bởi một đối tượng ngôn ngữ nào đó, được hình thức hóa hệ thống ngôn ngữ hoặc cấu trúc.

Đôi khi như vậy người mẫu gọi là lời nói, cú pháp.

Ví dụ, các quy tắc của con đường - ngôn ngữ, Mô hình cấu trúc giao thông và người đi bộ trên đường.

Gọi B là tập hợp tạo gốc của danh từ, C là tập hợp các hậu tố, P là tính từ, b i là gốc của từ; "+" - phép toán nối từ, ": =" - phép toán gán, "=>" - phép toán đầu ra (xuất các từ mới), Z - tập hợp nghĩa (ngữ nghĩa) tính từ.

Ngôn ngữ người mẫu Sự hình thành từ M có thể được biểu diễn bằng:

= + <с i >.