Onbepaalde integraal online. Antiderivatieve en onbepaalde integraal – Kennishypermarkt

Deze les is de eerste in een reeks video's over integratie. Daarin zullen we analyseren wat een primitief van een functie is, en ook de elementaire methoden bestuderen voor het berekenen van deze primitief.

In feite is hier niets ingewikkelds: in wezen komt het allemaal neer op het concept van afgeleide, waar je al bekend mee zou moeten zijn :)

Ik zal dit meteen opmerken, aangezien dit de allereerste les van ons is nieuw onderwerp Tegenwoordig zullen er geen complexe berekeningen en formules meer zijn, maar wat we vandaag zullen leren zal de basis vormen voor veel complexere berekeningen en constructies bij het berekenen van complexe integralen en gebieden.

Bovendien gaan we er bij de start van de studie van integratie en integralen in het bijzonder impliciet van uit dat de student op zijn minst al bekend is met de concepten van afgeleiden en op zijn minst basisvaardigheden heeft in het berekenen ervan. Zonder een duidelijk begrip hiervan is er absoluut niets te doen op het gebied van integratie.

Hier ligt echter een van de meest voorkomende en verraderlijke problemen. Feit is dat veel studenten, wanneer ze beginnen met het berekenen van hun eerste primitieve afgeleiden, deze verwarren met afgeleiden. Als gevolg hiervan, bij examens en zelfstandig werk Er worden domme en beledigende fouten gemaakt.

Daarom zal ik nu geen duidelijke definitie van een primitief geven. In ruil daarvoor stel ik voor dat u ziet hoe het wordt berekend aan de hand van een eenvoudig concreet voorbeeld.

Wat is een primitief en hoe wordt deze berekend?

Deze formule kennen we:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Deze afgeleide wordt eenvoudig berekend:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Laten we zorgvuldig naar de resulterende uitdrukking kijken en $((x)^(2))$ uitdrukken:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Maar we kunnen het op deze manier schrijven, volgens de definitie van een afgeleide:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

En nu opgelet: wat we zojuist hebben opgeschreven is de definitie van een primitief. Maar om het correct te schrijven, moet je het volgende schrijven:

Laten we de volgende uitdrukking op dezelfde manier schrijven:

Als we deze regel generaliseren, kunnen we de volgende formule afleiden:

\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nu kunnen we een duidelijke definitie formuleren.

Een primitief van een functie is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Vragen over de primitieve functie

Het lijkt vrij eenvoudig en duidelijke definitie. Bij het horen ervan zal de aandachtige student echter onmiddellijk een aantal vragen hebben:

Laten we zeggen: oké, deze formule is correct. In dit geval hebben we echter, met $n=1$, problemen: er verschijnt “nul” in de noemer, en we kunnen niet delen door “nul”.
De formule is beperkt tot alleen graden. Hoe u de primitief kunt berekenen, bijvoorbeeld van sinus, cosinus en elke andere trigonometrie, evenals constanten.
Existentiële vraag: is het altijd mogelijk om een primitief te vinden? Zo ja, hoe zit het dan met de primitief van de som, het verschil, het product, enz.?

Ik zal de laatste vraag meteen beantwoorden. Helaas wordt het primitief, in tegenstelling tot de afgeleide, niet altijd in overweging genomen. Er bestaat geen universele formule waarmee we uit een initiële constructie een functie zullen verkrijgen die gelijk is aan deze soortgelijke constructie. Wat machten en constanten betreft, daar zullen we het nu over hebben.

Problemen met stroomfuncties oplossen

\[((x)^(-1))\naar \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Zoals we zien, deze formule voor $((x)^(-1))$ werkt niet. De vraag rijst: wat werkt dan? Kunnen we $((x)^(-1))$ niet tellen? Natuurlijk kunnen we dat. Laten we dit eerst onthouden:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Laten we nu eens nadenken: de afgeleide van welke functie is gelijk aan $\frac(1)(x)$. Het is duidelijk dat elke student die dit onderwerp op zijn minst een beetje heeft bestudeerd, zich zal herinneren dat deze uitdrukking gelijk is aan de afgeleide van de natuurlijke logaritme:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Daarom kunnen we vol vertrouwen het volgende schrijven:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\naar \ln x\]

Je moet deze formule kennen, net als de afgeleide van een machtsfunctie.

Dus wat we tot nu toe weten:

Voor een machtsfunctie - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Voor een constante - $=const\to \cdot x$
Een speciaal geval van een machtsfunctie is $\frac(1)(x)\to \ln x$

En als we de eenvoudigste functies gaan vermenigvuldigen en delen, hoe kunnen we dan de primitief van een product of quotiënt berekenen? Helaas werken analogieën met de afgeleide van een product of quotiënt hier niet. Er bestaat geen standaardformule. Voor sommige gevallen zijn er lastige speciale formules - we zullen er in toekomstige videolessen kennis mee maken.

Onthoud echter: algemene formule bestaat er geen soortgelijke formule voor het berekenen van de afgeleide van een quotiënt en een product.

Echte problemen oplossen

Taak nr. 1

Laten we elk van de machtsfuncties afzonderlijk berekenen:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

Terugkerend naar onze uitdrukking, schrijven we de algemene constructie:

Probleem nr. 2

Zoals ik al zei, worden prototypes van werken en bijzonderheden “to the point” niet in aanmerking genomen. Hier kunt u echter het volgende doen:

We hebben de breuk opgesplitst in de som van twee breuken.

Laten we de wiskunde doen:

Het goede nieuws is dat je, als je de formules voor het berekenen van primitieve formules kent, al meer kunt berekenen complexe ontwerpen. Laten we echter verder gaan en onze kennis nog wat uitbreiden. Feit is dat veel constructies en uitdrukkingen, die op het eerste gezicht niets met $((x)^(n))$ te maken hebben, kunnen worden weergegeven als een macht met een rationale exponent, namelijk:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Al deze technieken kunnen en moeten gecombineerd worden. Krachtuitdrukkingen kunnen zijn

vermenigvuldigen (graden optellen);
delen (graden worden afgetrokken);
vermenigvuldigen met een constante;
enz.

Machtsuitdrukkingen oplossen met rationele exponent

Voorbeeld #1

Laten we elke wortel afzonderlijk berekenen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

In totaal kan onze gehele constructie als volgt worden geschreven:

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Daarom krijgen we:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

In totaal kunnen we, door alles in één uitdrukking te verzamelen, schrijven:

Voorbeeld nr. 3

Om te beginnen merken we op dat we $\sqrt(x)$ al hebben berekend:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Laten we herschrijven:

Ik hoop dat ik niemand zal verbazen als ik zeg dat wat we zojuist hebben bestudeerd slechts de eenvoudigste berekeningen van primitieve getallen zijn, de meest elementaire constructies. Laten we nu wat verder kijken complexe voorbeelden, waarin je naast de primitieve tabellen in tabelvorm ook het schoolcurriculum moet onthouden, namelijk verkorte vermenigvuldigingsformules.

Complexere voorbeelden oplossen

Taak nr. 1

Laten we ons de formule voor het kwadraat van het verschil herinneren:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Laten we onze functie herschrijven:

We moeten nu het prototype van een dergelijke functie vinden:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Laten we alles samenbrengen in een gemeenschappelijke structuur:

Probleem nr. 2

In dit geval moeten we de verschilkubus uitbreiden. Laten we het volgende onthouden:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Als we dit feit in aanmerking nemen, kunnen we het als volgt schrijven:

Laten we onze functie een beetje transformeren:

Wij tellen zoals altijd – voor elke termijn afzonderlijk:

\[((x)^(-3))\naar \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\naar \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\naar \ln x\]

Laten we de resulterende constructie schrijven:

Taak nr. 3

Bovenaan hebben we het kwadraat van de som, laten we deze uitbreiden:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Laten we de uiteindelijke oplossing schrijven:

Nu aandacht! Een heel belangrijk ding, dat verband houdt met het leeuwendeel van de fouten en misverstanden. Feit is dat we tot nu toe, bij het tellen van primitieve derivaten met behulp van derivaten en het brengen van transformaties, niet hebben nagedacht over waar de afgeleide van een constante gelijk aan is. Maar de afgeleide van een constante is gelijk aan “nul”. Dit betekent dat u de volgende opties kunt schrijven:

$((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dit is heel belangrijk om te begrijpen: als de afgeleide van een functie altijd hetzelfde is, dan heeft dezelfde functie een oneindig aantal primitieve getallen. We kunnen eenvoudigweg alle constante getallen aan onze primitieve getallen toevoegen en nieuwe krijgen.

Het is geen toeval dat bij de uitleg van de problemen die we zojuist hebben opgelost, stond: 'Schrijf op algemeen beeld primitieven." Die. Bij voorbaat wordt er al van uitgegaan dat er niet één van hen is, maar een hele menigte. Maar in feite verschillen ze alleen in de constante $C$ aan het einde. Daarom zullen we bij onze taken corrigeren wat we niet hebben voltooid.

Opnieuw herschrijven we onze constructies:

In dergelijke gevallen moet u eraan toevoegen dat $C$ een constante is - $C=const$.

In onze tweede functie krijgen we de volgende constructie:

En de laatste:

En nu hebben we werkelijk gekregen wat er van ons werd verlangd in de oorspronkelijke toestand van het probleem.

Problemen oplossen bij het vinden van primitieve woorden met een bepaald punt

Nu we iets weten over constanten en de eigenaardigheden van het schrijven van primitieve woorden, is het heel logisch dat het volgende type probleem zich voordoet, wanneer het uit de verzameling van alle primitieve woorden nodig is om de enige echte te vinden die er doorheen zou gaan gegeven punt. Wat is deze taak?

Feit is dat alle primitieve woorden van een bepaalde functie alleen verschillen doordat ze verticaal met een bepaald getal zijn verschoven. En dit betekent dat ongeacht welk punt op het coördinatenvlak we nemen, er zeker één primitief zal passeren, en bovendien slechts één.

De problemen die we nu zullen oplossen, zijn dus als volgt geformuleerd: zoek niet alleen de primitieve functie, ken de formule van de oorspronkelijke functie, maar kies precies degene die door het gegeven punt gaat, waarvan de coördinaten in het probleem zullen worden gegeven stelling.

Voorbeeld #1

Laten we eerst eenvoudig elke term tellen:

\[((x)^(4))\naar \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\naar \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nu vervangen we deze uitdrukkingen in onze constructie:

Deze functie moet door het punt $M\left(-1;4 \right)$ gaan. Wat betekent het dat het door een punt gaat? Dit betekent dat als we in plaats van $x$ overal $-1$ plaatsen, en in plaats van $F\left(x \right)$ - $-4$, we de juiste numerieke gelijkheid zouden moeten krijgen. Laten we dit doen:

We zien dat we een vergelijking hebben voor $C$, dus laten we proberen deze op te lossen:

Laten we de oplossing opschrijven waarnaar we op zoek waren:

Voorbeeld nr. 2

Allereerst is het noodzakelijk om het kwadraat van het verschil te onthullen met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

De oorspronkelijke constructie zal als volgt worden geschreven:

Laten we nu $C$ vinden: vervang de coördinaten van punt $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wij drukken $C$ uit:

Het blijft nodig om de uiteindelijke uitdrukking weer te geven:

Trigonometrische problemen oplossen

Als slotakkoord van wat we zojuist hebben besproken, stel ik voor er nog twee te bespreken complexe taken, die trigonometrie bevatten. Daarin moet je op dezelfde manier primitieve functies voor alle functies vinden en vervolgens uit deze set de enige selecteren die door het punt $M$ op het coördinatenvlak gaat.

Vooruitkijkend zou ik willen opmerken dat de techniek die we nu zullen gebruiken om primitieve waarden van goniometrische functies te vinden, in feite een universele techniek voor zelftest is.

Taak nr. 1

Laten we de volgende formule onthouden:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Op basis hiervan kunnen we schrijven:

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen door onze uitdrukking:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Laten we de uitdrukking herschrijven, rekening houdend met dit feit:

Probleem nr. 2

Dit zal iets moeilijker zijn. Nu zul je zien waarom.

Laten we deze formule onthouden:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Om van de "min" af te komen, moet je het volgende doen:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hier is ons ontwerp

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen:

In totaal noteren we de uiteindelijke constructie:

Dat is alles wat ik je vandaag wilde vertellen. We hebben de term primitieve getallen zelf bestudeerd, hoe je ze kunt berekenen op basis van elementaire functies, en ook hoe je een primitief kunt vinden die door een specifiek punt op het coördinatenvlak gaat.

Ik hoop dat deze les je zal helpen dit complexe onderwerp op zijn minst een beetje te begrijpen. In ieder geval zijn het op primitieve getallen die onbepaalde en onbepaalde integralen construeren, dus het is absoluut noodzakelijk om ze te berekenen. Dat is alles voor mij. Tot ziens!

We hebben gezien dat de afgeleide talloze toepassingen kent: de afgeleide is de bewegingssnelheid (of, algemener, de snelheid van welk proces dan ook); afgeleide is de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie; met behulp van de afgeleide kun je een functie onderzoeken op monotoniciteit en extrema; de afgeleide helpt bij het oplossen van optimalisatieproblemen.

Maar binnen echte leven Inverse problemen moeten ook worden opgelost: naast het probleem van het vinden van de snelheid volgens een bekende bewegingswet, is er bijvoorbeeld ook het probleem van het herstellen van de bewegingswet volgens een bekende snelheid. Laten we een van deze problemen eens bekijken.

Voorbeeld 1. Een materieel punt beweegt in een rechte lijn, de snelheid op tijdstip t wordt gegeven door de formule u = tg. Vind de wet van beweging.

Oplossing. Laat s = s(t) de gewenste bewegingswet zijn. Het is bekend dat s"(t) = u"(t). Dit betekent dat u een keuze moet maken om het probleem op te lossen functie s = s(t), waarvan de afgeleide gelijk is aan tg. Het is niet moeilijk om dat te raden

Laten we meteen opmerken dat het voorbeeld correct, maar onvolledig is opgelost. We ontdekten dat het probleem in feite oneindig veel oplossingen heeft: elke functie van de vorm een willekeurige constante kan dienen als bewegingswet, aangezien

Om de taak specifieker te maken, moesten we de beginsituatie vastleggen: geef de coördinaat aan van een bewegend punt op een bepaald tijdstip, bijvoorbeeld op t=0. Als bijvoorbeeld s(0) = s 0, dan verkrijgen we uit de gelijkheid s(0) = 0 + C, d.w.z. S 0 = C. Nu is de bewegingswet op unieke wijze gedefinieerd:
In de wiskunde worden wederkerige bewerkingen toegewezen verschillende namen, kom op speciale aanduidingen: bijv. kwadrateren (x 2) en extraheren vierkantswortel sinus(zonde) en boogsinus(boog in x), enz. Het proces van het vinden van de afgeleide met betrekking tot gegeven functie wordt differentiatie genoemd, en de omgekeerde bewerking, d.w.z. het proces van het vinden van een functie uit een gegeven afgeleide: integratie.
De term ‘afgeleide’ zelf kan worden gerechtvaardigd ‘in het dagelijks leven’: de functie y - f(x) ‘brengt tot bestaan’ nieuwe functie y"= f"(x) De functie y = f(x) fungeert als een “ouder”, maar wiskundigen noemen het uiteraard geen “ouder” of “producent”, ze zeggen dat dit het geval is, in relatie tot de functie y"=f"(x), het primaire beeld, of, kort gezegd, de primitief.

Definitie 1. De functie y = F(x) wordt primitieve genoemd voor de functie y = f(x) op een gegeven interval X als voor alle x uit X de gelijkheid F"(x)=f(x) geldt.

In de praktijk wordt het interval X meestal niet gespecificeerd, maar geïmpliceerd (als het natuurlijke domein van de definitie van de functie).

Hier zijn enkele voorbeelden:

1) De functie y = x 2 is primitief voor de functie y = 2x, aangezien voor alle x de gelijkheid (x 2)" = 2x waar is.
2) de functie y - x 3 is primitief voor de functie y-3x 2, aangezien voor alle x de gelijkheid (x 3)" = 3x 2 waar is.
3) De functie y-sinх is een primitief voor de functie y = cosx, aangezien voor alle x de gelijkheid (sinx)" = cosx waar is.
4) De functie is primitief voor een functie op het interval, aangezien voor alle x > 0 de gelijkheid waar is
Over het algemeen is het, als u de formules voor het vinden van derivaten kent, niet moeilijk om een tabel met formules samen te stellen voor het vinden van antiderivatieven.

We hopen dat je begrijpt hoe deze tabel is samengesteld: de afgeleide van de functie die in de tweede kolom is geschreven is gelijk aan de functie die in de overeenkomstige rij van de eerste kolom is geschreven (controleer het, wees niet lui, het is erg bruikbaar). Voor de functie y = x 5 is de primitieve vorm, zoals u zult vaststellen, bijvoorbeeld de functie (zie de vierde rij van de tabel).

Opmerkingen: 1. Hieronder zullen we de stelling bewijzen dat als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x), de functie y = f(x) oneindig veel primitieve woorden heeft en dat ze allemaal de vorm y = hebben F(x ) + C. Daarom zou het juister zijn om de term C overal in de tweede kolom van de tabel toe te voegen, waar C een willekeurig reëel getal is.
2. Kortheidshalve zeggen ze soms in plaats van de zinsnede “de functie y = F(x) is een primitief van de functie y = f(x)”, dat F(x) een primitief is van f(x) .”

2. Regels voor het vinden van primitieve namen

Bij het vinden van primitieve afgeleiden, maar ook bij het vinden van afgeleiden, worden niet alleen formules gebruikt (ze staan vermeld in de tabel op p. 196), maar ook enkele regels. Ze houden rechtstreeks verband met de overeenkomstige regels voor de berekening van derivaten.

We weten dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van zijn afgeleiden. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 1. De primitief van een som is gelijk aan de som van de primitieve getallen.

Wij vestigen uw aandacht op de enigszins “lichtheid” van deze formulering. In feite zou men de stelling moeten formuleren: als de functies y = f(x) en y = g(x) primitieve woorden hebben op het interval X, respectievelijk y-F(x) en y-G(x), dan is de som van de functies y = f(x)+g(x) heeft een primitief op het interval X, en deze primitief is de functie y = F(x)+G(x). Maar meestal blijven ze bij het formuleren van regels (en niet stellingen) alleen over trefwoorden- dit maakt het handiger om de regel in de praktijk toe te passen

Voorbeeld 2. Zoek de primitief voor de functie y = 2x + cos x.

Oplossing. De primitieve voor 2x is x"; de primitieve voor cox is sin x. Dit betekent dat de primitieve voor de functie y = 2x + cos x de functie y = x 2 + sin x zal zijn (en in het algemeen elke functie van de vorm Y = x 1 + sinx + C) .
We weten dat de constante factor uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 2. De constante factor kan uit het teken van de primitief worden gehaald.

Voorbeeld 3.

Oplossing. a) De primitief voor sin x is -soz x; Dit betekent dat voor de functie y = 5 sin x de primitieve functie de functie y = -5 cos x zal zijn.

b) De primitief voor cos x is sin x; Dit betekent dat de primitief van een functie de functie is
c) De primitieve voor x 3 is de primitieve voor x is de primitieve voor de functie y = 1 is de functie y = x. Met behulp van de eerste en tweede regels voor het vinden van primitieve woorden vinden we dat de primitieve voor de functie y = 12x 3 + 8x-1 de functie is
Opmerking. Zoals bekend is de afgeleide van een product niet gelijk aan het product van derivaten (de regel voor het differentiëren van een product is complexer) en is de afgeleide van een quotiënt niet gelijk aan het quotiënt van derivaten. Daarom zijn er geen regels voor het vinden van de primitief van het product of de primitief van het quotiënt van twee functies. Wees voorzichtig!
Laten we een andere regel verkrijgen voor het vinden van primitieve woorden. We weten dat de afgeleide van de functie y = f(kx+m) wordt berekend met de formule

Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.
Regel 3. Als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x), dan is de primitief voor de functie y=f(kx+m) de functie

In werkelijkheid,

Dit betekent dat het een primitief is voor de functie y = f(kx+m).
De betekenis van de derde regel is als volgt. Als je weet dat de primitieve van de functie y = f(x) de functie y = F(x) is, en je moet de primitieve van de functie y = f(kx+m) vinden, ga dan als volgt te werk: dezelfde functie F, maar vervang het argument x door de uitdrukking kx+m; Vergeet bovendien niet om “correctiefactor” vóór het functieteken te schrijven
Voorbeeld 4. Vind primitieve woorden voor bepaalde functies:

Oplossing, a) De primitief voor sin x is -soz x; Dit betekent dat voor de functie y = sin2x de primitieve functie de functie zal zijn
b) De primitief voor cos x is sin x; Dit betekent dat de primitief van een functie de functie is

c) De primitief voor x 7 betekent dat voor de functie y = (4-5x) 7 de primitief de functie zal zijn

3. Onbepaalde integraal

We hebben hierboven al opgemerkt dat het probleem van het vinden van een primitief voor een gegeven functie y = f(x) meer dan één oplossing kent. Laten we dit probleem in meer detail bespreken.

Bewijs. 1. Zij y = F(x) de primitieve afgeleide voor de functie y = f(x) op het interval X. Dit betekent dat voor alle x uit X de gelijkheid x"(x) = f(x) geldt. Laten we vind de afgeleide van elke functie van de vorm y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Dus (F(x)+C) = f(x). Dit betekent dat y = F(x) + C een primitief is voor de functie y = f(x).
We hebben dus bewezen dat als de functie y = f(x) een primitieve y=F(x) heeft, de functie (f = f(x) oneindig veel primitieve woorden heeft, bijvoorbeeld elke functie van de vorm y = F(x) +C is een primitief.
2. Laten we nu bewijzen dat het aangegeven type functies de hele set primitieven uitput.

Zij y=F 1 (x) en y=F(x) twee primitieve waarden voor de functie Y = f(x) op het interval X. Dit betekent dat voor alle x uit het interval X de volgende relaties gelden: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

Laten we de functie y = F 1 (x) -.F(x) bekijken en de afgeleide ervan vinden: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Het is bekend dat als de afgeleide van een functie op interval X identiek gelijk is aan nul, de functie constant is op interval X (zie Stelling 3 uit § 35). Dit betekent dat F 1 (x) - F (x) = C, d.w.z. Fx) = F(x)+C.

De stelling is bewezen.

Voorbeeld 5. De wet van verandering van snelheid met de tijd wordt gegeven: v = -5sin2t. Bepaal de bewegingswet s = s(t), als bekend is dat op tijdstip t=0 de coördinaat van het punt gelijk was aan het getal 1,5 (d.w.z. s(t) = 1,5).

Oplossing. Omdat snelheid een afgeleide is van de coördinaat als functie van de tijd, moeten we eerst de primitieve van de snelheid vinden, d.w.z. primitief voor de functie v = -5sin2t. Een van deze primitieve woorden is de functie , en de verzameling van alle primitieve woorden heeft de vorm:

Om de specifieke waarde van de constante C te vinden, gebruiken we de beginvoorwaarden, volgens welke s(0) = 1,5. Door de waarden t=0, S = 1,5 in formule (1) te vervangen, krijgen we:

Door de gevonden waarde van C in formule (1) te vervangen, verkrijgen we de bewegingswet die ons interesseert:

Definitie 2. Als een functie y = f(x) een primitief y = F(x) heeft op een interval X, dan is de verzameling van alle primitieven, d.w.z. de verzameling functies van de vorm y = F(x) + C wordt de onbepaalde integraal van de functie y = f(x) genoemd en wordt aangegeven met:

(lezen: " onbepaalde integraal ef van x de x").
In de volgende paragraaf zullen we ontdekken wat de verborgen betekenis van deze aanduiding is.
Op basis van de tabel met primitieve waarden die in deze paragraaf beschikbaar is, zullen we een tabel met de belangrijkste samenstellen bepaalde integralen:

Op basis van de bovenstaande drie regels voor het vinden van primitieve waarden kunnen we de overeenkomstige integratieregels formuleren.

Regel 1. De integraal van de som van functies is gelijk aan de som van de integralen van deze functies:

Regel 2. De constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald:

Regel 3. Als

Voorbeeld 6. Vind onbepaalde integralen:

Oplossing, a) Met behulp van de eerste en tweede integratieregels verkrijgen we:

Laten we nu de 3e en 4e integratieformules gebruiken:

Als resultaat krijgen we:

b) Met behulp van de derde integratieregel en formule 8 verkrijgen we:

c) Om rechtstreeks een gegeven integraal te vinden, hebben we noch de overeenkomstige formule, noch de overeenkomstige regel. In dergelijke gevallen vooraf uitgevoerd identiteitstransformaties uitdrukking die onder het integraalteken staat.

Laten we de trigonometrische formule gebruiken om de graad te verminderen:

Dan vinden we achtereenvolgens:

A.G. Mordkovich Algebra 10e leerjaar

Kalender-thematische planning in de wiskunde, video in wiskunde online, Wiskunde op school

Sollicitatie

Integralen online op de website voor studenten en scholieren om het behandelde materiaal te consolideren. En train je praktische vaardigheden. Een complete oplossing van integralen online voor u in enkele ogenblikken zal u helpen alle fasen van het proces te bepalen. Elke keer dat u een integraal online gaat oplossen, moet u het type ervan identificeren; u kunt geen enkele methode gebruiken, tenzij je beschouwt de integraal als een tabelvorm. Niet elke tabelintegraal is duidelijk zichtbaar in een bepaald voorbeeld. Soms moet je de oorspronkelijke functie transformeren om de primitief te vinden. In de praktijk komt het oplossen van integralen neer op het interpreteren van het probleem van het vinden van het origineel, dat wil zeggen primitief uit een oneindige familie van functies, maar als de grenzen van integratie gegeven zijn, dan is er volgens de formule van Newton-Leibniz slechts één enkele functie overblijft om berekeningen op toe te passen. Online integralen - online onbepaalde integraal en online bepaalde integraal. De integraal van een functie online is de som van alle getallen die bedoeld zijn voor hun integratie. Daarom is de online definitieve integraal, informeel, het gebied tussen de grafiek van de functie en de x-as binnen de integratiegrenzen. Voorbeelden van het oplossen van problemen met integralen. Laten we berekenen complexe integraal op één variabele en koppel zijn antwoord aan de verdere oplossing van het probleem. Het is, zoals ze zeggen, mogelijk om direct de integraal van de integrand te vinden. Elke integraal bepaalt met hoge nauwkeurigheid het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de lijnen. Dit is een van de geometrische betekenissen. Deze methode maakt het voor studenten gemakkelijker. Verschillende stappen zullen in feite niet veel invloed hebben op de vectoranalyse. De integraal van een functie online is het basisconcept van integraalrekening. Volgens de belangrijkste analysestelling is integratie de omgekeerde werking van differentiatie, die helpt bij het oplossen differentiaalvergelijkingen. Er zijn er meerdere verschillende definities integratieoperaties die verschillen in technische details. Ze zijn echter allemaal compatibel, dat wil zeggen dat elke twee integratiemethoden, als ze op een bepaalde functie kunnen worden toegepast, hetzelfde resultaat zullen opleveren. De eenvoudigste is de Riemann-integraal: een bepaalde integraal of een onbepaalde integraal. Informeel kan de integraal van een functie van één variabele worden geïntroduceerd als het gebied onder de grafiek (de figuur ingesloten tussen de grafiek van de functie en de x-as). Elk dergelijk subprobleem kan rechtvaardigen dat het berekenen van de integraal uiterst noodzakelijk zal zijn aan het begin van een belangrijke aanpak. Vergeet dit niet! Als we proberen dit gebied te vinden, kunnen we figuren beschouwen die bestaan uit een bepaald aantal verticale rechthoeken, waarvan de basissen samen een integratiesegment vormen en worden verkregen door het segment in het juiste aantal kleine segmenten te verdelen. Integralen online oplossen. Integraal online - onbepaalde integraal online en bepaalde integraal online. Integralen online oplossen: online onbepaalde integraal en online bepaalde integraal. De rekenmachine lost integralen op met een gedetailleerde beschrijving van de acties en gratis! Een online onbepaalde integraal voor een functie is de verzameling van alle primitieve waarden van een bepaalde functie. Als een functie gedefinieerd is en continu is op een interval, dan is er een primitieve functie (of een familie van primitieve functies) voor. De integraal definieert alleen een uitdrukking, waarvan u de voorwaarden stelt wanneer een dergelijke behoefte zich voordoet. Het is beter om deze kwestie zorgvuldig te benaderen en innerlijke voldoening te ervaren van het verrichte werk. Maar het berekenen van de integraal met behulp van een andere dan de klassieke methode leidt soms tot onverwachte resultaten en daar hoeft men niet verbaasd over te zijn. Ik ben blij dat dit feit een positieve weerklank zal hebben op wat er gebeurt. Lijst met bepaalde integralen en onbepaalde integralen van integralen met volledige details stap voor stap oplossing. Alle integralen met gedetailleerde oplossingen online. Onbepaalde integraal. Het online vinden van de onbepaalde integraal is heel lastig een gemeenschappelijke taak in hogere wiskunde en andere technische takken van de wetenschap. Basismethoden voor integratie. Definitie van integrale, bepaalde en onbepaalde integraal, tabel met integralen, Newton-Leibniz-formule. Nogmaals, je kunt je integraal vinden met behulp van de tabel met integraaluitdrukkingen, maar dit moet nog steeds worden bereikt, omdat niet alles zo eenvoudig is als het op het eerste gezicht lijkt. Denk na over voltooide gebouwen voordat er fouten worden ontdekt. Bepaalde integraal en methoden voor de berekening ervan. Online bepaalde integraal met variabele bovengrens. Integralen online oplossen. Elk voorbeeld dat zal helpen bij het berekenen van de integraal met behulp van tabelformules zal zijn nuttige gids actie voor studenten van elk voorbereidingsniveau. De belangrijkste stap op weg naar het juiste antwoord.. Integralen online. Onbepaalde integralen die exponentiële en logaritmische functies bevatten. Integralen online oplossen - u ontvangt gedetailleerde oplossing Voor verschillende soorten integralen: onbepaald, bepaald, oneigenlijk. De Definite Integral Calculator berekent de definitieve integraal online van een functie over een interval met behulp van numerieke integratie. De integraal van een functie is een analoog van de som van een reeks. Informeel gesproken is een bepaalde integraal de oppervlakte van een deel van de grafiek van een functie. De integraal online oplossen. Integraal online - onbepaalde integraal online en bepaalde integraal online. Vaak bepaalt zo'n integraal hoeveel zwaarder een lichaam is dan een object met dezelfde dichtheid, en het maakt niet uit welke vorm het heeft, omdat het oppervlak geen water absorbeert. Integralen online oplossen. Integralen online - onbepaalde integraal online en bepaalde integraal online. Elke juniorstudent weet de integraal online te vinden. Aan de basis schoolcurriculum dit deel van de wiskunde wordt ook bestudeerd, maar niet in detail, maar alleen de basisprincipes van zo'n complex en belangrijk onderwerp. In de meeste gevallen beginnen studenten integralen te bestuderen met een uitgebreide theorie, die ook wordt voorafgegaan door belangrijke onderwerpen, zoals afgeleiden en overgang naar limieten - het zijn ook limieten. Het oplossen van integralen begint geleidelijk met de meest elementaire voorbeelden uit eenvoudige functies, en eindigt met de toepassing van vele benaderingen en regels die in de vorige eeuw en zelfs veel eerder zijn voorgesteld. Integraalrekening heeft een inleidend karakter op lyceums en scholen, dat wil zeggen op middelbare scholen onderwijsinstellingen. Onze website zal u altijd helpen en het online oplossen van integralen zal voor u gemeengoed worden, en vooral, een begrijpelijke taak. Op basis van deze hulpbron kunt u eenvoudig perfectie bereiken in dit wiskundige gedeelte. Door de regels die u stap voor stap leert te begrijpen, zoals de integratie in delen of de toepassing van de methode van Chebyshev, kunt u eenvoudig beslissen over maximale hoeveelheid punten voor elke test. Dus hoe kunnen we de integraal nog steeds berekenen met behulp van de bekende tabel met integralen, maar op zo'n manier dat de oplossing correct, correct en met een zo nauwkeurig mogelijk antwoord is? Hoe leer je dit en is dit voor een gewone eerstejaars mogelijk? zo snel mogelijk? Laten we deze vraag bevestigend beantwoorden: dat kan! Tegelijkertijd kunt u niet alleen elk voorbeeld oplossen, maar ook het niveau van een hooggekwalificeerde ingenieur bereiken. Het geheim is eenvoudiger dan ooit: u moet maximale inspanning leveren en de nodige tijd besteden aan zelfvoorbereiding. Helaas heeft nog niemand een andere manier bedacht! Maar niet alles is zo bewolkt als het op het eerste gezicht lijkt. Als u met deze vraag contact opneemt met onze servicewebsite, maken wij uw leven gemakkelijker, omdat onze website online integraal integralen kan berekenen, met zeer hoge snelheid en een onberispelijk accuraat antwoord. In de kern bepaalt de integraal niet hoe de verhouding van argumenten de stabiliteit van het systeem als geheel beïnvloedt. Als alles maar in balans zou zijn. Terwijl u de basisprincipes van dit wiskundige onderwerp leert, kan de dienst de integraal van elke integrand vinden als deze integraal kan worden opgelost in elementaire functies. Anders is het voor integralen die niet in elementaire functies worden opgenomen in de praktijk niet nodig om het antwoord in een analytische of, met andere woorden, in een expliciete vorm te vinden. Alle berekeningen van integralen komen neer op het bepalen van de primitieve functie van een gegeven integrand. Om dit te doen, berekent u eerst de onbepaalde integraal volgens alle wetten van de wiskunde online. vervang vervolgens, indien nodig, de bovenste en onderste waarden van de integraal. Als het niet nodig is om de numerieke waarde van de onbepaalde integraal te bepalen of te berekenen, wordt een constante toegevoegd aan de resulterende primitieve functie, waardoor een familie van primitieve functies wordt gedefinieerd. Integratie heeft een speciale plaats in de wetenschap en op elk technisch gebied in het algemeen, inclusief de continuümmechanica; het beschrijft hele mechanische systemen, hun bewegingen en nog veel meer. In veel gevallen bepaalt de samengestelde integraal de bewegingswet van een materieel punt. Het is een zeer belangrijk hulpmiddel bij de studie van toegepaste wetenschappen. Op basis hiervan kan men niet anders dan grootschalige berekeningen noemen om de wetten van bestaan en gedrag te bepalen mechanische systemen. Rekenmachine voor het online oplossen van integralen op de website website is krachtig hulpmiddel Voor professionele ingenieurs. We garanderen u dit zeker, maar we kunnen uw integraal pas berekenen nadat u de juiste uitdrukking in het domein van de integrand heeft ingevoerd. Wees niet bang om fouten te maken, alles kan in deze kwestie worden gecorrigeerd! Meestal komt het oplossen van integralen neer op het gebruik van tabelfuncties uit bekende leerboeken of encyclopedieën. Net als elke andere onbepaalde integraal, zal deze zonder grote kritiek worden berekend met behulp van de standaardformule. Eerstejaarsstudenten pakken de stof die ze hebben bestudeerd gemakkelijk en vanzelfsprekend op en voor hen duurt het vinden van een integraal soms niet meer dan twee minuten. En als een student de tabel met integralen heeft geleerd, kan hij de antwoorden over het algemeen in zijn hoofd bepalen. Het uitbreiden van functies met variabelen ten opzichte van oppervlakken betekent aanvankelijk de juiste vectorrichting op een bepaald abscispunt. Onvoorspelbaar gedrag van oppervlaktelijnen neemt bepaalde integralen als basis in de responsbron wiskundige functies. De linkerrand van de bal raakt de cilinder waarin de cirkel is ingeschreven niet als je naar de snede in een vlak kijkt. De som van kleine gebieden verdeeld in honderden stuksgewijze continue functies is de online integraal van een bepaalde functie. De mechanische betekenis van de integraal ligt in velen besloten toegepaste problemen, dit is zowel de bepaling van het volume van lichamen als de berekening van de lichaamsmassa. Bij deze berekeningen zijn drievoudige en dubbele integralen betrokken. We staan erop dat de oplossing van integralen online alleen wordt uitgevoerd onder toezicht van ervaren docenten en via talloze controles. We worden vaak gevraagd naar de prestaties van studenten die de colleges niet bijwonen, deze zonder reden overslaan, en hoe ze erin slagen deze te vinden de integraal zelf. Wij antwoorden dat studenten vrije mensen zijn en heel goed in staat zijn om extern te studeren en zich thuis voor te bereiden op een toets of examen. Onze service helpt iedereen binnen enkele seconden de integraal van een bepaalde functie over een variabele te berekenen. Het verkregen resultaat moet worden gecontroleerd door de afgeleide van de primitieve functie te nemen. In dit geval wordt de constante uit de oplossing van de integraal nul. Deze regel geldt uiteraard voor iedereen. Omdat multidirectionele operaties gerechtvaardigd zijn, wordt de onbepaalde integraal vaak gereduceerd tot het verdelen van het domein in kleine delen. Sommige studenten en schoolkinderen negeren deze vereiste echter. Zoals altijd kunnen online integralen tot in detail worden opgelost via onze servicewebsite en zijn er geen beperkingen op het aantal aanvragen, alles is gratis en voor iedereen beschikbaar. Er zijn niet veel sites die binnen enkele seconden een stapsgewijs antwoord bieden, en vooral: met hoge nauwkeurigheid en op een handige manier. In het laatste voorbeeld op pagina vijf huiswerk Ik kwam er een tegen die aangeeft dat het nodig is om de integraal stap voor stap te berekenen. Maar we mogen niet vergeten hoe het mogelijk is om de integraal te vinden met behulp van kant-en-klare dienstverlening, beproefd en getest op duizenden opgeloste voorbeelden online. Hoe een dergelijke integraal de beweging van het systeem bepaalt, wordt ons duidelijk en duidelijk gedemonstreerd door de aard van de beweging van de stroperige vloeistof, die wordt beschreven door dit stelsel van vergelijkingen.

Eerder vonden we, gegeven een gegeven functie, geleid door verschillende formules en regels, de afgeleide ervan. De afgeleide heeft talloze toepassingen: het is de bewegingssnelheid (of, algemener, de snelheid van welk proces dan ook); de hoekcoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie; met behulp van de afgeleide kun je een functie onderzoeken op monotoniciteit en extrema; het helpt bij het oplossen van optimalisatieproblemen.

Maar naast het probleem van het vinden van de snelheid volgens een bekende bewegingswet, is er ook een omgekeerd probleem: het probleem van het herstellen van de bewegingswet volgens een bekende snelheid. Laten we een van deze problemen eens bekijken.

Voorbeeld 1. Een materieel punt beweegt in een rechte lijn, de snelheid van zijn beweging op tijdstip t wordt gegeven door de formule v=gt. Vind de wet van beweging.
Oplossing. Laat s = s(t) de gewenste bewegingswet zijn. Het is bekend dat s"(t) = v(t). Dit betekent dat je om het probleem op te lossen een functie s = s(t) moet selecteren, waarvan de afgeleide gelijk is aan gt. Het is niet moeilijk om te raden dat $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Antwoord: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Laten we meteen opmerken dat het voorbeeld correct, maar onvolledig is opgelost. We hebben $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. In feite heeft het probleem oneindig veel oplossingen: elke functie van de vorm $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, waarbij C een willekeurige constante is, kan dienen als een wet van beweging, aangezien $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Om het probleem specifieker te maken, moesten we de beginsituatie vastleggen: geef de coördinaat aan van een bewegend punt op een bepaald moment, bijvoorbeeld op t = 0. Als bijvoorbeeld s(0) = s 0, dan gelijkheid s(t) = (gt 2)/2 + C krijgen we: s(0) = 0 + C, d.w.z. C = s 0. Nu is de bewegingswet op unieke wijze gedefinieerd: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

In de wiskunde krijgen onderling inverse bewerkingen verschillende namen, er worden speciale notaties bedacht, bijvoorbeeld: kwadratuur (x 2) en vierkantswortel ($\sqrt(x)$), sinus (sin x) en boogsinus (boogsin x) en enz. Het proces van het vinden van de afgeleide van een bepaalde functie wordt genoemd differentiatie, en de inverse bewerking, dat wil zeggen het proces van het vinden van een functie uit een gegeven afgeleide, is integratie.

De term ‘afgeleide’ zelf kan worden gerechtvaardigd ‘in alledaagse termen’: de functie y = f(x) ‘brengt geboorte’ aan een nieuwe functie y" = f"(x). De functie y = f(x) gedraagt zich alsof het een “ouder” is, maar wiskundigen noemen het uiteraard geen “ouder” of “producent”; ze zeggen dat dit het geval is, in relatie tot de functie y" = f"(x) , primaire afbeelding of primitief.

Definitie. De functie y = F(x) heet primitieve voor de functie y = f(x) op het interval X als de gelijkheid F"(x) = f(x) geldt voor $x \in X$

In de praktijk wordt het interval X meestal niet gespecificeerd, maar geïmpliceerd (als het natuurlijke domein van de definitie van de functie).

Laten we voorbeelden geven.
1) De functie y = x 2 is primitief voor de functie y = 2x, aangezien voor elke x de gelijkheid (x 2)" = 2x waar is
2) De functie y = x 3 is primitief voor de functie y = 3x 2, aangezien voor elke x de gelijkheid (x 3)" = 3x 2 waar is
3) De functie y = sin(x) is primitief voor de functie y = cos(x), aangezien voor elke x de gelijkheid (sin(x))" = cos(x) waar is

Bij het vinden van primitieve waarden, evenals derivaten, worden niet alleen formules gebruikt, maar ook enkele regels. Ze houden rechtstreeks verband met de overeenkomstige regels voor de berekening van derivaten.

We weten dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van zijn afgeleiden. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 1. De primitief van een som is gelijk aan de som van de primitieve getallen.

We weten dat de constante factor uit het teken van de afgeleide kan worden gehaald. Deze regel genereert de overeenkomstige regel voor het vinden van primitieve waarden.

Regel 2. Als F(x) een primitief is voor f(x), dan is kF(x) een primitief voor kf(x).

Stelling 1. Als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x), dan is de primitief voor de functie y = f(kx + m) de functie $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Stelling 2. Als y = F(x) een primitief is voor de functie y = f(x) op het interval X, dan heeft de functie y = f(x) oneindig veel primitieve woorden, en ze hebben allemaal de vorm y = F(x) + C.

Integratie methoden

Variabele vervangingsmethode (substitutiemethode)

De methode van integratie door substitutie impliceert de introductie van een nieuwe integratievariabele(dat wil zeggen, vervangingen). In dit geval wordt de gegeven integraal gereduceerd tot een nieuwe integraal, die in tabelvorm of herleidbaar is. Gemeenschappelijke methoden er is geen selectie van vervangingen. Het vermogen om vervanging correct te bepalen, wordt verworven door oefening.
Laat het nodig zijn om de integraal $\textstyle \int F(x)dx $. Laten we de substitutie $x= \varphi(t) $ maken waarbij $\varphi(t) $ een functie is die een continue afgeleide heeft.
Dan $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ en gebaseerd op de invariantie-eigenschap van de integratieformule voor de onbepaalde integraal, verkrijgen we de integratieformule door substitutie:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integratie van uitdrukkingen van de vorm $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Als m oneven is, m > 0, dan is het handiger om de substitutie sin x = t te maken.
Als n oneven is, n > 0, dan is het handiger om de substitutie cos x = t te maken.
Als n en m even zijn, is het handiger om de substitutie tg x = t te maken.

Integratie per deel

Gedeeltelijke integratie - toepassing van de volgende formule voor integratie:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
of:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel met onbepaalde integralen (antiderivatieven) van sommige functies

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

A)Directe integratie.

Het vinden van integralen van functies op basis van de directe toepassing van de eigenschappen van onbepaalde integralen en een tabel met basisintegratieformules. Laten we een voorbeeld bekijken van het vinden van de integraal van een functie door directe integratie.

Voorbeeld:

∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2 d X- 6∫X D X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.

In de overgrote meerderheid van de gevallen hebben we te maken met integralen van functies die niet door directe integratie kunnen worden gevonden. In dit geval is het noodzakelijk om een vervanging uit te voeren (vervang de variabele).

B)Integratie door substitutie (variabele vervanging).

Integratie door substitutie, of zoals het vaak wordt genoemd, de variabele substitutiemethode, is een van de meest effectieve en gebruikelijke integratiemethoden. De substitutiemethode is om van een gegeven integratievariabele naar een andere variabele te gaan om de integranduitdrukking te vereenvoudigen en te reduceren tot een van de tabellarische typen integralen. In dit geval wordt de keuze voor vervanging individueel door de uitvoerder bepaald, omdat er zijn geen algemene regels die aangeven welke vervanging plaatsvindt in dit geval nemen.

Voorbeeld: Zoek de integraal ∫ e 2х+3 d X.

Laten we een nieuwe variabele t introduceren die geassocieerd is met X volgende afhankelijkheid 2 X+ 3 =t.

Laten we de verschillen nemen tussen de linker- en rechterkant van deze gelijkheid: 2d X=dt;d X=dt/2.

Nu in plaats van 2 X+ 3 end X Laten we hun waarden vervangen door de integrand. Dan krijgen we: ∫ e 2х+3 d X=∫e t dt= e t + C. Terugkerend naar de vorige variabele, verkrijgen we uiteindelijk de uitdrukking:

∫e 2х+3 d X=e 2x+3 + C.

Om er zeker van te zijn dat de integraal correct wordt genomen, heb je een primitieve functie nodig e 2x+ 3 differentiëren en controleren of er zal zijn Is de afgeleide gelijk aan de integrandfunctie:

(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .

3. Bepaalde integraal en zijn eigenschappen.

Het concept van een bepaalde integraal wordt veel gebruikt op veel gebieden van wetenschap en technologie. Met zijn hulp worden gebieden begrensd door curven, volumes van willekeurige vorm, kracht en werk van een variabele kracht, het pad van een bewegend lichaam, traagheidsmomenten en vele andere grootheden berekend.

IN
In de overgrote meerderheid van de gevallen wordt het concept van een bepaalde integraal geïntroduceerd bij het oplossen van problemen bij het bepalen van het gebied van een kromlijnig trapezium. Laat er een continue functie zijn y =f( X) op het segment [ een, c]. Een cijfer begrensd door de curve y=f( X) ordinaten A Oh, V A N en het segment [ een, c] de x-as wordt een kromlijnig trapezium genoemd (Fig. 1).

Laten we onszelf de taak stellen: bepaal de oppervlakte S van een gebogen trapezium A A o A N V. Om dit te doen, verdelen we het segment [ een, c] op N niet nodig gelijke delen en wijs de verdeelpunten als volgt aan: A=X O < X 1 ‹ X 2 ‹ … ‹ X N = binnen.

Vanaf de deelpunten herstellen we de loodlijnen op het snijpunt met de curve y = f( X). We hebben dus het hele gebied dat door de curve wordt begrensd, verdeeld in N elementaire kromlijnige trapeziums. Laten we vanuit willekeurige punten van elk segment ∆ reconstrueren X i ordinaatf(C i) totdat deze de curve y =f( X). Vervolgens construeren we een getrapte figuur bestaande uit rechthoeken met een basis ∆ X i en hoogte f(C i). Elementair plein ie de rechthoek is S i =f(C i)(X i -X i -1 ), en het hele gebied S N het resulterende getrapte figuur zal gelijk zijn aan de som van de oppervlakten van de rechthoeken:

S N=f(Co)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C P- 1)(X N -X P- 1).

Om de invoer van dit bedrag te verkorten, voert u het symbool in
(sigma) – een teken dat de optelling van hoeveelheden betekent. Dan

S N =
.

Dit bedrag S P, die de integrale som wordt genoemd, kan groter of kleiner zijn dan de werkelijke waarde van een bepaald gebied. De waarde die het dichtst bij de werkelijke waarde van het gebied ligt, is de limiet van de som, op voorwaarde dat de elementaire segmenten worden verpletterd ( p →
), en de lengte van het grootste segment ∆ X maximaal zal naar nul neigen, d.w.z.:

S=
(4)

Deze cumulatieve somlimiet (als deze bestaat) wordt aangeroepen bepaalde integraal van functief( X) op het segment [ A,V] en geef aan:
=
(5)

(leest “definitieve integraal van A naar V ef van x de x”).

Nummers A En V worden respectievelijk de onder- en bovengrenzen van integratie genoemd, f( X) – subintegrale functie; X– integratievariabele. Met behulp van formules (4) en (5) kunnen we schrijven. Dat de oppervlakte van een kromlijnig trapezium numeriek gelijk is aan de integraal van de functie die het trapezium beperkt, genomen over het integratie-interval [A,V]:

Dit feit drukt de geometrische betekenis van een bepaalde integraal uit.

Laten we eens kijken naar de eigenschappen van de bepaalde integraal.

1. De bepaalde integraal is niet afhankelijk van de aanduiding van de variabele, dat wil zeggen:
=
.

2. De bepaalde integraal van een algebraïsche som is gelijk aan de algebraïsche som van bepaalde integralen van elke term:

= f 1 ( X)D x+ f 2 ( X)D X+ ….