Структура данных используется для осуществления рекурсии. Практические применения рекурсии
Рекурсией называется ситуация, когда подпрограмма вызывает сама себя. Впервые сталкиваясь с такой алгоритмической конструкцией, большинство людей испытывает определенные трудности, однако немного практики и рекурсия станет понятным и очень полезным инструментом в вашем программистском арсенале.
1. Сущность рекурсии
Процедура или функция может содержать вызов других процедур или функций. В том числе процедура может вызвать саму себя. Никакого парадокса здесь нет – компьютер лишь последовательно выполняет встретившиеся ему в программе команды и, если встречается вызов процедуры, просто начинает выполнять эту процедуру. Без разницы, какая процедура дала команду это делать.
Пример рекурсивной процедуры:
Procedure Rec(a: integer); begin if a>
Рассмотрим, что произойдет, если в основной программе поставить вызов, например, вида Rec(3). Ниже представлена блок-схема, показывающая последовательность выполнения операторов.
Рис. 1. Блок схема работы рекурсивной процедуры.
Процедура Rec вызывается с параметром a = 3. В ней содержится вызов процедуры Rec с параметром a = 2. Предыдущий вызов еще не завершился, поэтому можете представить себе, что создается еще одна процедура и до окончания ее работы первая свою работу не заканчивает. Процесс вызова заканчивается, когда параметр a = 0. В этот момент одновременно выполняются 4 экземпляра процедуры. Количество одновременно выполняемых процедур называют глубиной рекурсии .
Четвертая вызванная процедура (Rec(0)) напечатает число 0 и закончит свою работу. После этого управление возвращается к процедуре, которая ее вызвала (Rec(1)) и печатается число 1. И так далее пока не завершатся все процедуры. Результатом исходного вызова будет печать четырех чисел: 0, 1, 2, 3.
Еще один визуальный образ происходящего представлен на рис. 2.
Рис. 2. Выполнение процедуры Rec с параметром 3 состоит из выполнения процедуры Rec с параметром 2 и печати числа 3. В свою очередь выполнение процедуры Rec с параметром 2 состоит из выполнения процедуры Rec с параметром 1 и печати числа 2. И т. д.
В качестве самостоятельного упражнения подумайте, что получится при вызове Rec(4). Также подумайте, что получится при вызове описанной ниже процедуры Rec2(4), где операторы поменялись местами.
Procedure Rec2(a: integer); begin writeln(a); if a>0 then Rec2(a-1); end;
Обратите внимание, что в приведенных примерах рекурсивный вызов стоит внутри условного оператора. Это необходимое условие для того, чтобы рекурсия когда-нибудь закончилась. Также обратите внимание, что сама себя процедура вызывает с другим параметром, не таким, с каким была вызвана она сама. Если в процедуре не используются глобальные переменные, то это также необходимо, чтобы рекурсия не продолжалась до бесконечности.
Возможна чуть более сложная схема: функция A вызывает функцию B, а та в свою очередь вызывает A. Это называется сложной рекурсией . При этом оказывается, что описываемая первой процедура должна вызывать еще не описанную. Чтобы это было возможно, требуется использовать .
Procedure A(n: integer); {Опережающее описание (заголовок) первой процедуры} procedure B(n: integer); {Опережающее описание второй процедуры} procedure A(n: integer); {Полное описание процедуры A} begin writeln(n); B(n-1); end; procedure B(n: integer); {Полное описание процедуры B} begin writeln(n); if n
Опережающее описание процедуры B позволяет вызывать ее из процедуры A. Опережающее описание процедуры A в данном примере не требуется и добавлено из эстетических соображений.
Если обычную рекурсию можно уподобить уроборосу (рис. 3), то образ сложной рекурсии можно почерпнуть из известного детского стихотворения, где «Волки с перепуга, скушали друг друга». Представьте себе двух съевших друг друга волков, и вы поймете сложную рекурсию.
Рис. 3. Уроборос – змей, пожирающий свой хвост. Рисунок из алхимического трактата «Synosius» Теодора Пелеканоса (1478г).
Рис. 4. Сложная рекурсия.
3. Имитация работы цикла с помощью рекурсии
Если процедура вызывает сама себя, то, по сути, это приводит к повторному выполнению содержащихся в ней инструкций, что аналогично работе цикла. Некоторые языки программирования не содержат циклических конструкций вовсе, предоставляя программистам организовывать повторения с помощью рекурсии (например, Пролог, где рекурсия - основной прием программирования).
Для примера сымитируем работу цикла for. Для этого нам потребуется переменная счетчик шагов, которую можно реализовать, например, как параметр процедуры.
Пример 1.
Procedure LoopImitation(i, n: integer);
{Первый параметр – счетчик шагов, второй параметр – общее количество шагов}
begin
writeln("Hello N ", i); //Здесь любые инструкции, которые будут повторятся
if i Результатом вызова вида LoopImitation(1, 10) станет десятикратное выполнение инструкций с изменением счетчика от 1 до 10. В данном случае будет напечатано: Hello N 1 Вообще, не трудно видеть, что параметры процедуры это пределы изменения значений счетчика. Можно поменять местами рекурсивный вызов и подлежащие повторению инструкции, как в следующем примере. Пример 2.
Procedure LoopImitation2(i, n: integer);
begin
if i В этом случае, прежде чем начнут выполняться инструкции, произойдет рекурсивный вызов процедуры. Новый экземпляр процедуры также, прежде всего, вызовет еще один экземпляр и так далее, пока не дойдем до максимального значения счетчика. Только после этого последняя из вызванных процедур выполнит свои инструкции, затем выполнит свои инструкции предпоследняя и т.д. Результатом вызова LoopImitation2(1, 10) будет печать приветствий в обратном порядке: Hello N 10 Если представить себе цепочку из рекурсивно вызванных процедур, то в примере 1 мы проходим ее от раньше вызванных процедур к более поздним. В примере 2 наоборот от более поздних к ранним. Наконец, рекурсивный вызов можно расположить между двумя блоками инструкций. Например: Procedure LoopImitation3(i, n: integer);
begin
writeln("Hello N ", i); {Здесь может располагаться первый блок инструкций}
if i Здесь сначала последовательно выполнятся инструкции из первого блока затем в обратном порядке инструкции второго блока. При вызове LoopImitation3(1, 10) получим: Hello N 1 Потребуется сразу два цикла, чтобы сделать то же самое без рекурсии. Тем, что выполнение частей одной и той же процедуры разнесено по времени можно воспользоваться. Например: Пример 3: Перевод числа в двоичную систему.
Получение цифр двоичного числа, как известно, происходит с помощью деления с остатком на основание системы счисления 2. Если есть число , то его последняя цифра в его двоичном представлении равна Взяв же целую часть от деления на 2: получим число, имеющее то же двоичное представление, но без последней цифры. Таким образом, достаточно повторять приведенные две операции пока поле очередного деления не получим целую часть равную 0. Без рекурсии это будет выглядеть так: While x>0 do
begin
c:=x mod 2;
x:=x div 2;
write(c);
end;
Проблема здесь в том, что цифры двоичного представления вычисляются в обратном порядке (сначала последние). Чтобы напечатать число в нормальном виде придется запомнить все цифры в элементах массива и выводить в отдельном цикле. С помощью рекурсии нетрудно добиться вывода в правильном порядке без массива и второго цикла. А именно: Procedure BinaryRepresentation(x: integer);
var
c, x: integer;
begin
{Первый блок. Выполняется в порядке вызова процедур}
c:= x mod 2;
x:= x div 2;
{Рекурсивный вызов}
if x>0 then
BinaryRepresentation(x);
{Второй блок. Выполняется в обратном порядке}
write(c);
end;
Вообще говоря, никакого выигрыша мы не получили. Цифры двоичного представления хранятся в локальных переменных, которые свои для каждого работающего экземпляра рекурсивной процедуры. То есть, память сэкономить не удалось. Даже наоборот, тратим лишнюю память на хранение многих локальных переменных x. Тем не менее, такое решение кажется мне красивым. Говорят, что последовательность векторов задана рекуррентным соотношением, если задан начальный вектор и функциональная зависимость последующего вектора от предыдущего Простым примером величины, вычисляемой с помощью рекуррентных соотношений, является факториал Очередной факториал можно вычислить по предыдущему как: Введя обозначение , получим соотношение: Вектора из формулы (1) можно интерпретировать как наборы значений переменных. Тогда вычисление требуемого элемента последовательности будет состоять в повторяющемся обновлении их значений. В частности для факториала: X:= 1;
for i:= 2 to n do
x:= x * i;
writeln(x);
Каждое такое обновление (x:= x * i) называется итерацией
, а процесс повторения итераций – итерированием
. Обратим, однако, внимание, что соотношение (1) является чисто рекурсивным определением последовательности и вычисление n-го элемента есть на самом деле многократное взятие функции f от самой себя: В частности для факториала можно написать: Function Factorial(n: integer): integer;
begin
if n > 1 then
Factorial:= n * Factorial(n-1)
else
Factorial:= 1;
end;
Следует понимать, что вызов функций влечет за собой некоторые дополнительные накладные расходы, поэтому первый вариант вычисления факториала будет несколько более быстрым. Вообще итерационные решения работают быстрее рекурсивных. Прежде чем переходить к ситуациям, когда рекурсия полезна, обратим внимание еще на один пример, где ее использовать не следует. Рассмотрим частный случай рекуррентных соотношений, когда следующее значение в последовательности зависит не от одного, а сразу от нескольких предыдущих значений. Примером может служить известная последовательность Фибоначчи, в которой каждый следующий элемент есть сумма двух предыдущих: При «лобовом» подходе можно написать: Function Fib(n: integer): integer;
begin
if n > 1 then
Fib:= Fib(n-1) + Fib(n-2)
else
Fib:= 1;
end;
Каждый вызов Fib создает сразу две копии себя, каждая из копий – еще две и т.д. Количество операций растет с номером n
экспоненциально, хотя при итерационном решении достаточно линейного по n
количества операций. На самом деле, приведенный пример учит нас не КОГДА
рекурсию не следует использовать, а тому КАК
ее не следует использовать. В конце концов, если существует быстрое итерационное (на базе циклов) решение, то тот же цикл можно реализовать с помощью рекурсивной процедуры или функции. Например:
// x1, x2 – начальные условия (1, 1)
// n – номер требуемого числа Фибоначчи
function Fib(x1, x2, n: integer): integer;
var
x3: integer;
begin
if n > 1 then
begin
x3:= x2 + x1;
x1:= x2;
x2:= x3;
Fib:= Fib(x1, x2, n-1);
end else
Fib:= x2;
end;
И все же итерационные решения предпочтительны. Спрашивается, когда же в таком случае, следует пользоваться рекурсией? Любые рекурсивные процедуры и функции, содержащие всего один рекурсивный вызов самих себя, легко заменяются итерационными циклами. Чтобы получить что-то, не имеющее простого нерекурсивного аналога, следует обратиться к процедурам и функциям, вызывающим себя два и более раз. В этом случае множество вызываемых процедур образует уже не цепочку, как на рис. 1, а целое дерево. Существуют широкие классы задач, когда вычислительный процесс должен быть организован именно таким образом. Как раз для них рекурсия будет наиболее простым и естественным способом решения. Теоретической базой для рекурсивных функций, вызывающих себя более одного раза, служит раздел дискретной математики, изучающий деревья. Определение:
будем называть конечное множество T
, состоящее из одного или более узлов, таких что: Это определение является рекурсивным. Если коротко, то дерево это множество, состоящее из корня и присоединенных к нему поддеревьев, которые тоже являются деревьями. Дерево определяется через само себя. Однако данное определение осмысленно, так как рекурсия конечна. Каждое поддерево содержит меньше узлов, чем содержащее его дерево. В конце концов, мы приходим к поддеревьям, содержащим всего один узел, а это уже понятно, что такое. Рис. 3. Дерево. На рис. 3 показано дерево с семью узлами. Хотя обычные деревья растут снизу вверх, рисовать их принято наоборот. При рисовании схемы от руки такой способ, очевидно, удобнее. Из-за данной несогласованности иногда возникает путаница, когда говорят о том, что один из узлов находится над или под другим. По этой причине удобнее пользоваться терминологией, употребляемой при описании генеалогических деревьев, называя более близкие к корню узлы предками, а более далекие потомками. Графически дерево можно изобразить и некоторыми другими способами. Некоторые из них представлены на рис. 4. Согласно определению дерево представляет собой систему вложенных множеств, где эти множества или не пересекаются или полностью содержатся одно в другом. Такие множества можно изобразить как области на плоскости (рис. 4а). На рис. 4б вложенные множества располагаются не на плоскости, а вытянуты в одну линию. Рис. 4б также можно рассматривать как схему некоторой алгебраической формулы, содержащей вложенные скобки. Рис. 4в дает еще один популярный способ изображения древовидной структуры в виде уступчатого списка. Рис. 4. Другие способы изображения древовидных структур: (а) вложенные множества; (б) вложенные скобки; (в) уступчатый список. Уступчатый список имеет очевидное сходство со способом форматирования программного кода. Действительно, программа, написанная в рамках парадигмы структурного программирования, может быть представлена как дерево, состоящее из вложенных друг в друга конструкций. Также можно провести аналогию между уступчатым списком и внешним видом оглавлений в книгах, где разделы содержат подразделы, те в свою очередь поподразделы и т.д. Традиционный способ нумерации таких разделов (раздел 1, подразделы 1.1 и 1.2, подподраздел 1.1.2 и т.п.) называется десятичной системой Дьюи. В применении к дереву на рис. 3 и 4 эта система даст: 1. A; 1.1 B; 1.2 C; 1.2.1 D; 1.2.2 E; 1.2.3 F; 1.2.3.1 G; Во всех алгоритмах, связанных с древовидными структурами неизменно встречается одна и та же идея, а именно идея прохождения
или обхода дерева
. Это – такой способ посещения узлов дерева, при котором каждый узел проходится точно один раз. При этом получается линейная расстановка узлов дерева. В частности существует три способа: можно проходить узлы в прямом, обратном и концевом порядке. Алгоритм обхода в прямом порядке:
Данный алгоритм рекурсивен, так как прохождение дерева содержит прохождение поддеревьев, а они в свою очередь проходятся по тому же алгоритму. В частности для дерева на рис. 3 и 4 прямой обход дает последовательность узлов: A, B, C, D, E, F, G. Получающаяся последовательность соответствует последовательному слева направо перечислению узлов при представлении дерева с помощью вложенных скобок и в десятичной системе Дьюи, а также проходу сверху вниз при представлении в виде уступчатого списка. При реализации этого алгоритма на языке программирования попадание в корень соответствует выполнение процедурой или функцией некоторых действий, а прохождение поддеревьев – рекурсивным вызовам самой себя. В частности для бинарного дерева (где из каждого узла исходит не более двух поддеревьев) соответствующая процедура будет выглядеть так:
// Preorder Traversal – английское название для прямого порядка
procedure PreorderTraversal({Аргументы});
begin
//Прохождение корня
DoSomething({Аргументы});
//Прохождение левого поддерева
if {Существует левое поддерево} then
PreorderTransversal({Аргументы 2});
//Прохождение правого поддерева
if {Существует правое поддерево} then
PreorderTransversal({Аргументы 3});
end;
То есть сначала процедура производит все действия, а только затем происходят все рекурсивные вызовы. Алгоритм обхода в обратном порядке:
То есть проходятся все поддеревья слева на право, а возвращение в корень располагается между этими прохождениями. Для дерева на рис. 3 и 4 это дает последовательность узлов: B, A, D, C, E, G, F. В соответствующей рекурсивной процедуре действия будут располагаться в промежутках между рекурсивными вызовами. В частности для бинарного дерева:
// Inorder Traversal – английское название для обратного порядка
procedure InorderTraversal({Аргументы});
begin
//Прохождение левого поддерева
if {Существует левое поддерево} then
InorderTraversal({Аргументы 2});
//Прохождение корня
DoSomething({Аргументы});
//Прохождение правого поддерева
if {Существует правое поддерево} then
InorderTraversal({Аргументы 3});
end;
Алгоритм обхода в концевом порядке:
Для дерева на рис. 3 и 4 это даст последовательность узлов: B, D, E, G, F, C, A. В соответствующей рекурсивной процедуре действия будут располагаться после рекурсивных вызовов. В частности для бинарного дерева:
// Postorder Traversal – английское название для концевого порядка
procedure PostorderTraversal({Аргументы});
begin
//Прохождение левого поддерева
if {Существует левое поддерево} then
PostorderTraversal({Аргументы 2});
//Прохождение правого поддерева
if {Существует правое поддерево} then
PostorderTraversal({Аргументы 3});
//Прохождение корня
DoSomething({Аргументы});
end;
Если некоторая информация располагается в узлах дерева, то для ее хранения можно использовать соответствующую динамическую структуру данных. На Паскале это делается с помощью переменной типа запись (record), содержащей указатели на поддеревья того же типа. Например, бинарное дерево, где в каждом узле содержится целое число можно сохранить с помощью переменной типа PTree, который описан ниже: Type
PTree = ^TTree;
TTree = record
Inf: integer;
LeftSubTree, RightSubTree: PTree;
end;
Каждый узел имеет тип PTree. Это указатель, то есть каждый узел необходимо создавать, вызывая для него процедуру New. Если узел является концевым, то его полям LeftSubTree и RightSubTree присваивается значение nil
. В противном случае узлы LeftSubTree и RightSubTree также создаются процедурой New. Схематично одна такая запись изображена на рис. 5. Рис. 5. Схематичное изображение записи типа TTree. Запись имеет три поля: Inf – некоторое число, LeftSubTree и RightSubTree – указатели на записи того же типа TTree. Пример дерева, составленного из таких записей, показан на рисунке 6. Рис. 6. Дерево, составленное из записей типа TTree. Каждая запись хранит число и два указателя, которые могут содержать либо nil
, либо адреса других записей того же типа. Если вы ранее не работали со структурами состоящими из записей, содержащих ссылки на записи того же типа, то рекомендуем ознакомиться с материалом о . Рассмотрим алгоритм рисования деревца, изображенного на рис. 6. Если каждую линию считать узлом, то данное изображение вполне удовлетворяет определению дерева, данному в предыдущем разделе. Рис. 6. Деревце. Рекурсивная процедура, очевидно должна рисовать одну линию (ствол до первого разветвления), а затем вызывать сама себя для рисования двух поддеревьев. Поддеревья отличаются от содержащего их дерева координатами начальной точки, углом поворота, длиной ствола и количеством содержащихся в них разветвлений (на одно меньше). Все эти отличия следует сделать параметрами рекурсивной процедуры. Пример такой процедуры, написанный на Delphi, представлен ниже: Procedure Tree(Canvas: TCanvas; //Canvas, на котором будет рисоваться дерево
x,y: extended; //Координаты корня
Angle: extended; //Угол, под которым растет дерево
TrunkLength: extended; //Длина ствола
n: integer //Количество разветвлений (сколько еще предстоит
//рекурсивных вызовов));
var
x2, y2: extended; //Конец ствола (точка разветвления)
begin
x2:= x + TrunkLength * cos(Angle);
y2:= y - TrunkLength * sin(Angle);
Canvas.MoveTo(round(x), round(y));
Canvas.LineTo(round(x2), round(y2));
if n > 1 then
begin
Tree(Canvas, x2, y2, Angle+Pi/4, 0.55*TrunkLength, n-1);
Tree(Canvas, x2, y2, Angle-Pi/4, 0.55*TrunkLength, n-1);
end;
end;
Для получения рис. 6 эта процедура была вызвана со следующими параметрами: Tree(Image1.Canvas, 175, 325, Pi/2, 120, 15);
Заметим, что рисование осуществляется до рекурсивных вызовов, то есть дерево рисуется в прямом порядке. Согласно легенде в Великом храме города Бенарас, под собором, отмечающим середину мира, находится бронзовый диск, на котором укреплены 3 алмазных стержня, высотой в один локоть и толщиной с пчелу. Давным-давно, в самом начале времен монахи этого монастыря провинились перед богом Брамой. Разгневанный, Брама воздвиг три высоких стержня и на один из них поместил 64 диска из чистого золота, причем так, что каждый меньший диск лежит на большем. Как только все 64 диска будут переложены со стержня, на который Бог Брама сложил их при создании мира, на другой стержень, башня вместе с храмом обратятся в пыль и под громовые раскаты погибнет мир. Независимо от Брамы данную головоломку в конце 19 века предложил французский математик Эдуард Люка. В продаваемом варианте обычно использовалось 7-8 дисков (рис. 7). Рис. 7. Головоломка «Ханойские башни». Предположим, что существует решение для n
-1 диска. Тогда для перекладывания n
дисков надо действовать следующим образом: 1) Перекладываем n
-1 диск. Поскольку для случая n
= 1 алгоритм перекладывания очевиден, то по индукции с помощью выполнения действий (1) – (3) можем переложить произвольное количество дисков. Создадим рекурсивную процедуру, печатающую всю последовательность перекладываний для заданного количества дисков. Такая процедура при каждом своем вызове должна печатать информацию об одном перекладывании (из пункта 2 алгоритма). Для перекладываний из пунктов (1) и (3) процедура вызовет сама себя с уменьшенным на единицу количеством дисков.
//n – количество дисков
//a, b, c – номера штырьков. Перекладывание производится со штырька a,
//на штырек b при вспомогательном штырьке c.
procedure Hanoi(n, a, b, c: integer);
begin
if n > 1 then
begin
Hanoi(n-1, a, c, b);
writeln(a, " -> ", b);
Hanoi(n-1, c, b, a);
end else
writeln(a, " -> ", b);
end;
Заметим, что множество рекурсивно вызванных процедур в данном случае образует дерево, проходимое в обратном порядке. Задача синтаксического анализа заключается в том, чтобы по имеющейся строке, содержащей арифметическое выражение, и известным значениям, входящих в нее переменных, вычислить значение выражения. Процесс вычисления арифметических выражений можно представить в виде бинарного дерева. Действительно, каждый из арифметических операторов (+, –, *, /) требует двух операндов, которые также будут являться арифметическими выражениями и, соответственно могут рассматриваться как поддеревья. Рис. 8 показывает пример дерева, соответствующего выражению: Рис. 8. Синтаксическое дерево, соответствующее арифметическому выражению (6). В таком дереве концевыми узлами всегда будут переменные (здесь x
) или числовые константы, а все внутренние узлы будут содержать арифметические операторы. Чтобы выполнить оператор, надо сначала вычислить его операнды. Таким образом, дерево на рисунке следует обходить в концевом порядке. Соответствующая последовательность узлов называется обратной польской записью
арифметического выражения. При построении синтаксического дерева следует обратить внимание на следующую особенность. Если есть, например, выражение и операции сложения и вычитания мы будем считывать слева на право, то правильное синтаксическое дерево будет содержать минус вместо плюса (рис. 9а). По сути, это дерево соответствует выражению Облегчить составление дерева можно, если анализировать выражение (8) наоборот, справа налево. В этом случае получается дерево с рис. 9б, эквивалентное дереву 8а, но не требующее замены знаков. Аналогично справа налево нужно анализировать выражения, содержащие операторы умножения и деления. Рис. 9. Синтаксические деревья для выражения a
– b
+ c
при чтении слева направо (а) и справа налево (б). Такой подход не избавляет нас от рекурсии полностью. Однако он позволяет ограничиться только одним обращением к рекурсивной процедуре, что может быть достаточно, если мотивом является забота о максимальной производительности. Идея данного подхода в том, чтобы заменить рекурсивные вызовы простым циклом, который выполнится столько раз, сколько узлов в дереве, образованном рекурсивными процедурами. Что именно будет делаться на каждом шаге, следует определить по номеру шага. Сопоставить номер шага и необходимые действия – задача не тривиальная и в каждом случае ее придется решать отдельно. Например, пусть требуется выполнить k
вложенных циклов по n
шагов в каждом: For i1:= 0 to n-1 do
for i2:= 0 to n-1 do
for i3:= 0 to n-1 do
…
Если k
заранее неизвестно, то написать их явным образом, как показано выше невозможно. Используя прием, продемонстрированный в разделе 6.5 можно получить требуемое количество вложенных циклов с помощью рекурсивной процедуры: Procedure NestedCycles(Indexes: array of integer; n, k, depth: integer);
var
i: integer;
begin
if depth
Чтобы избавиться от рекурсии и свести все к одному циклу, обратим внимание, что если нумеровать шаги в системе счисления с основанием n
, то каждый шаг имеет номер, состоящий из цифр i1, i2, i3, … или соответствующих значений из массива Indexes. То есть цифры соответствуют значениям счетчиков циклов. Номер шага в обычной десятичной системе счисления: Всего шагов будет n k
. Перебрав их номера в десятичной системе счисления и переведя каждый из них в систему с основанием n
, получим значения индексов: M:= round(IntPower(n, k));
for i:= 0 to M-1 do
begin
Number:= i;
for p:= 0 to k-1 do
begin
Indexes := Number mod n;
Number:= Number div n;
end;
DoSomething(Indexes);
end;
Еще раз отметим, что метод не универсален и под каждую задачу придется придумывать что-то свое. 1. Определите, что сделают приведенные ниже рекурсивные процедуры и функции. (а) Что напечатает приведенная ниже процедура при вызове Rec(4)? Procedure Rec(a: integer);
begin
writeln(a);
if a>0 then
Rec(a-1);
writeln(a);
end;
(б) Чему будет равно значение функции Nod(78, 26)? Function Nod(a, b: integer): integer;
begin
if a > b then
Nod:= Nod(a – b, b)
else
if b > a then
Nod:= Nod(a, b – a)
else
Nod:= a;
end;
(в) Что будет напечатано приведенными ниже процедурами при вызове A(1)? Procedure A(n: integer);
procedure B(n: integer);
procedure A(n: integer);
begin
writeln(n);
B(n-1);
end;
procedure B(n: integer);
begin
writeln(n);
if n
(г) Что напечатает нижеприведенная процедура при вызове BT(0, 1, 3)? Procedure BT(x: real; D, MaxD: integer);
begin
if D = MaxD then
writeln(x)
else
begin
BT(x – 1, D + 1, MaxD);
BT(x + 1, D + 1, MaxD);
end;
end;
2. Уроборос – змей, пожирающий собственный хвост (рис. 14) в развернутом виде имеет длину L
, диаметр около головы D
, толщину брюшной стенки d
. Определите, сколько хвоста он сможет в себя впихнуть и в сколько слоев после этого будет уложен хвост? Рис. 14. Развернутый уроборос. 3. Для дерева на рис. 10а укажите последовательности посещения узлов при прямом, обратном и концевом порядке обхода. 4. Изобразите графически дерево, заданное с помощью вложенных скобок: (A(B(C, D), E), F, G). 5. Изобразите графически синтаксическое дерево для следующего арифметического выражения: Запишите это выражение в обратной польской записи. 6. Для приведенного ниже графа (рис. 15) запишите матрицу смежности и матрицу инцидентности. 1. Вычислив факториал достаточно большое количество раз (миллион или больше), сравните эффективность рекурсивного и итерационного алгоритмов. Во сколько раз будет отличаться время выполнения и как это отношение будет зависеть от числа, факториал которого рассчитывается? 2. Напишите рекурсивную функцию, проверяющую правильность расстановки скобок в строке. При правильной расстановке выполняются условия: (а) количество открывающих и закрывающих скобок равно. Примеры неправильной расстановки:)(, ())(, ())(() и т.п. 3. В строке могут присутствовать скобки как круглые, так и квадратные скобки. Каждой открывающей скобке соответствует закрывающая того же типа (круглой – круглая, квадратной- квадратная). Напишите рекурсивную функцию, проверяющую правильность расстановки скобок в этом случае. Пример неправильной расстановки: ([) ]. 4. Число правильных скобочных структур длины 6 равно 5: ()()(), (())(), ()(()), ((())), (()()). Указание
: Правильная скобочная структура минимальной длины «()». Структуры большей длины получаются из структур меньшей длины, двумя способами: (а) если меньшую структуру взять в скобки, 5. Создайте процедуру, печатающую все возможные перестановки для целых чисел от 1 до N. 6. Создайте процедуру, печатающую все подмножества множества {1, 2, …, N}. 7. Создайте процедуру, печатающую все возможные представления натурального числа N в виде суммы других натуральных чисел. 8. Создайте функцию, подсчитывающую сумму элементов массива по следующему алгоритму: массив делится пополам, подсчитываются и складываются суммы элементов в каждой половине. Сумма элементов в половине массива подсчитывается по тому же алгоритму, то есть снова путем деления пополам. Деления происходят, пока в получившихся кусках массива не окажется по одному элементу и вычисление суммы, соответственно, не станет тривиальным. Замечание
: Данный алгоритм является альтернативой . В случае вещественнозначных массивов он, обычно, позволяет получать меньшие погрешности округления. 10. Создайте процедуру, рисующую кривую Коха (рис. 12). 11. Воспроизведите рис. 16. На рисунке на каждой следующей итерации окружности в 2.5 раза меньше (этот коэффициент можно сделать параметром). 1. Д. Кнут. Искусство программирования на ЭВМ. т. 1. (раздел 2.3. «Деревья»). 1
/
5 В математике рекурсия имеет отношение к методу определения функций и числовых рядов: рекурсивно заданная
функция определяет своё значение через обращение к себе самой с другими аргументами. При этом возможно два варианта: Другим примером рекурсии в математике является числовой ряд, заданный рекуррентной формулой , когда каждый следующий член ряда вычисляется как результат функции от n предыдущих членов. Таким образом с помощью конечного выражения (представляющего собой совокупность реккурентной формулы и набора значений для первых n членов ряда) может даваться определение бесконечного ряда. Struct
element_of_list
{
element_of_list
*
next
;
/* указатель на следующий элемент того же типа */
int
data
;
/* некие данные */
};
Поскольку бесконечное число вложенных объектов невозможно разместить в конечной памяти, в реальности такие рекурсивно-определённые структуры всегда конечны. В заключительных (терминальных) ячейках обычно записываются пустые указатели, являющиеся одновременно флагами, указывающими программе, обрабатывающей структуру, что достигнут её конец. От лат recursio (возвращение). В общем случае так называется процесс повторения элементов «самоподобным образом». Яркий пример рекурсии - матрёшки. Рекурсивное определение: «матрёшка - это разъемная пустотелая деревянная кукла, содержащая внутри матрёшку меньшего размера». Вот такая рекурсия по-русски. И если бы не предел возможностей мастеров, идеальная матрёшка уходила бы в глубь себя до атомарного уровня. А то и глубже. Просто у Левши не нашлось мелкоскопа достаточной силы. Верхний предел теоретически тоже не ограничен, но баобабы подходящего размера на нашей планете не растут. В общем, по техническим причинам рекурсия должна быть конечной. В программировании (как и в математике) рекурсия - процесс вызова функцией самой себя (прямая рекурсия), либо вызов изнутри функции A функции B, которая в свою очередь содержит вызов функции A (косвенная или взаимная рекурсия). Разумеется, рекурсивные вызовы должны иметь выполнимое условие завершения, иначе такая программа «зависнет», как в бесконечном цикле - но, в отличие от бесконечного цикла, при бесконечной рекурсии она аварийно завершится переполнением стека. Самый надоевший пример рекурсии в математическом программировании - вычисление факториала. Не будем изменять славным традициям. Для тех, кто еще не проходил: N! (факториал N) - это произведение всех натуральных чисел от единицы до N (факториал нуля равен 1). Function factorial($n) {
if ($n == 1) {
return 1;
} else {
return intval($n * factorial($n - 1));
}
} «Ну, и зачем это здесь нужно?» - спросит нас нетерпеливый юный читатель - «Чушь научная, занудство, факториалы всякие… А практически к чему эту рекурсию приложить?» На самом деле применений рекурсии в веб-программировании гораздо больше, чем кажется. Потому что рекурсия - это, пожалуй, единственный способ обхода любой древовидной структуры, когда заранее неизвестны ни ее размеры, ни глубина вложенности. Кстати, построение и обход графов тоже без нее не обойдется. Это классика, господа - попробуйте каким-нибудь другим способом искать нужные файлы в юниксовом дереве директорий, и вам сразу станет понятно, что без рекурсии - никуда. Попробуйте обойтись без нее, строя карту сайта с иерархической структурой разделов в виде вложенных списков. Вы скорее повеситесь, чем ее построите, если заранее не знаете точно, сколькими уровнями ограничена глубина вложения. И даже если знаете, но попытаетесь обойтись без рекурсии, то вместо простой, прозрачной и безотказной функции соорудите громоздкую программную «этажерку на костылях». А когда закончите и вытрете вспотевший лоб, до вас дойдет мрачная правда жизни: при изменении глубины вложенности ваша развесистая конструкция моментально прекратит корректно работать. Поэтому применить ее где-то еще вам вряд ли удастся. Да, именно так. Поисковым системам от рекурсии тоже некуда деваться. С тех пор, как был заведен обычай мерить авторитетность сайта (документа) количеством ссылок, поисковики попались в рекурсивную ловушку, и пусть они блуждают в ней вечно (это искреннее доброе пожелание автора). Ссылочный «вес» сайта складывается из маленьких кусочков «веса» от всех тех, которые на него ссылаются. Чтобы вычислить этот вес для A, на которого ссылаются B, C и D, надо обсчитать их вес, который в свою очередь передается всякими другими, вес которых тоже нужно обсчитывать… и так по всей учтенной в поисковике Сети. Совершенно рекурсивная задачка. А вы говорите - сплошная теория. Самая что ни на есть реальная практика. Свой базовый алгоритм расчета PageRank создатели Google опубликовали давно. И как бы он с тех пор ни менялся, сколько бы его ни дополняли усовершенствованиями, основа остается прежней. Нельзя узнать, какую величину PageRank страница B передает по ссылке странице A, пока мы не сосчитали, какой PageRank получила страница B от всех прочих страниц, которые на нее сослались, а этого нельзя узнать, пока мы не посчитаем PageRank этих страниц… продолжать? Наверное, уже не надо. Это опять Она - Её Величество Рекурсия
. Под этим словом подразумевается процесс, обозначающий повторение одних и тех же элементов «самоподобным образом». Достойный пример такого процесса — русская матрешка, и если бы не предел возможностей, то такая бы игрушка повторяла себя до бесконечности. В программировании под этим термином понимается процесс вызова функцией саму себя, либо вызов таковой изнутри. Естественно, рекурсивные вызовы должны иметь вполне выполнимые условия завершения, иначе программа с другими условиями зависнет и наступит аварийное завершение с наличием переполненного стека. Примером математической рекурсии может служить уже всем изрядно надоевший пример — вычисление факториала. В действительности рекурсия в веб-программировании применяется довольно таки часто, а все потому, что рекурсия – это единственный вариант обхода любой стандартной структуры, когда точно не знают о ее реальных размерах и глубине вложения. Без нее также не обходится и построение графов. Это классический вариант. Чтобы убедиться в необходимости этого процесса, стоит попробовать построить карту сайта с разделами по иерархической структуре вложенных списков. Это будет нереально, если вы не ограничитесь заранее ее размерами и глубиной вложения. Но если, все-таки вы соорудите нечто подобное, то поймете, что в какой-то момент вся ваша конструкция зависнет и перестанет работать. Рекурсия в поисковых системах
Поисковые системы также зависят от рекурсии. Именно с того момента, когда был введен критерий авторитетности сайтов измерять количеством ссылок, поисковые системы также попались в эти сети. Ссылочная «масса» сайта складывается из мелких кусочков «масс» всех тех ресурсов, которые на него ссылаются. Чтобы высчитать этот показатель для одного сайта, необходимо просчитать «массу» всех ссылочных вариантов, которые в свою очередь состоят из других таких же компонентов, и так далее, по всей глубине поисковой сети. Вот вам и рекурсия на практике. Рекурсивный PageRank oт Google
Такое имя носит алгоритм расчета, созданный и опубликованный Google. Этот алгоритм известен уже давно, но сколько бы раз он не преобразовывался и не дополнялся всевозможными усовершенствованиями, в основе лежит все тот же рекурсивный метод. Суть всегда остается одна и та же: расчеты, перерасчеты и еще раз перерасчеты. В результате получается опять та же функция. Рекурсивный тИЦ от Яндекса
ТИЦ, созданный Яндексом, имеет точно такое же устройство, как и предыдущий алгоритм. Отличие заключается лишь в том, что он считается для всего сайта в целом, а не для каждой отдельной страницы. Именно поэтому поисковой системе Яндекс живется гораздо вольготнее, чем остальным, так как самих сайтов в разы меньше, чем страниц и пересчитать их намного легче. Однако этот показатель на выдачу в Яндексе не влияет. Для этих целей у него есть глубоко спрятанный ВИЦ, который является аналогом PageRank. Так что объем подсчетов у Яндекс также немалый. Рекурсивный алгоритм расчета, основанный на ссылочном весе, показал, что два сайта, имеющие ссылки друг на друга обладают нереально высоким весом. Поэтому сразу же, после публикации алгоритма PageRank, оптимизаторы приступили к раскручиванию рекурсивной линковки. Проведенные эксперименты подтвердили, что применяемый метод имеет эффективный результат. Пожалуйста, зарегистрируйтесь для комментирования.
Рекурсия достаточно распространённое явление, которое встречается не только в областях науки, но и в повседневной жизни. Например, эффект Дросте, треугольник Серпинского и т. д. Самый простой вариант увидеть рекурсию – это навести Web-камеру на экран монитора компьютера, естественно, предварительно её включив. Таким образом, камера будет записывать изображение экрана компьютера, и выводить его же на этот экран, получится что-то вроде замкнутого цикла. В итоге мы будем наблюдать нечто похожее на тоннель. В программировании рекурсия тесно связана с функциями, точнее именно благодаря функциям в программировании существует такое понятие как рекурсия или рекурсивная функция. Простыми словами, рекурсия – определение части функции (метода) через саму себя, то есть это функция, которая вызывает саму себя, непосредственно (в своём теле) или косвенно (через другую функцию). Типичными рекурсивными задачами являются задачи: нахождения n!, числа Фибоначчи. Такие задачи мы уже решали, но с использованием циклов, то есть итеративно. Вообще говоря, всё то, что решается итеративно можно решить рекурсивно, то есть с использованием рекурсивной функции. Всё решение сводится к решению основного или, как ещё его называют, базового случая. Существует такое понятие как шаг рекурсии или рекурсивный вызов. В случае, когда рекурсивная функция вызывается для решения сложной задачи (не базового случая) выполняется некоторое количество рекурсивных вызовов или шагов, с целью сведения задачи к более простой. И так до тех пор пока не получим базовое решение. Разработаем программу, в которой объявлена рекурсивная функция, вычисляющая n! "stdafx.h"
#include // код Code::Blocks // код Dev-C++ // factorial.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include В строках 7, 9, 21
объявлен тип данных unsigned long int , так как значение факториала возрастает очень быстро, например уже 10! = 3 628 800. Если не хватит размера типа данных, то в результате мы получим совсем не правильное значение. В коде объявлено больше операторов, чем нужно, для нахождения n!. Это сделано для того, чтобы, отработав, программа показала, что происходит на каждом шаге рекурсивных вызовов. Обратите внимание на выделенные строки кода, строки 23, 24, 28
— это рекурсивное решение n!. Строки 23, 24
являются базовым решением рекурсивной функции, то есть, как только значение в переменной f
будет равно 1 или 0 (так как мы знаем, что 1! = 1 и 0! = 1), прекратятся рекурсивные вызовы, и начнут возвращаться значения, для каждого рекурсивного вызова. Когда вернётся значение для первого рекурсивного вызова, программа вернёт значение вычисляемого факториала. В строке 28
функция factorial() вызывает саму себя, но уже её аргумент на единицу меньше. Аргумент каждый раз уменьшается, чтобы достичь частного решения. Результат работы программы (см. Рисунок 1). Enter n!: 5
Step 1
Result= 0
Step 2
Result= 0
Step 3
Result= 0
Step 4
Result= 0
5!=120 Рисунок 1 — Рекурсия в С++ По результату работы программы хорошо виден каждый шаг и результат на каждом шаге равен нулю, кроме последнего рекурсивного обращения. Необходимо было вычислить пять факториал. Программа сделала четыре рекурсивных обращения, на пятом обращении был найден базовый случай. И как только программа получила решение базового случая, она порешала предыдущие шаги и вывела общий результат. На рисунке 1 видно всего четыре шага потому, что на пятом шаге было найдено частное решение, что в итоге вернуло конечное решение, т. е. 120. На рисунке 2 показана схема рекурсивного вычисления 5!. В схеме хорошо видно, что первый результат возвращается, когда достигнуто частное решение, но никак не сразу, после каждого рекурсивного вызова. Рисунок 2 — Рекурсия в С++ Итак, чтобы найти 5! нужно знать 4! и умножить его на 5; 4! = 4 * 3! и так далее. Согласно схеме, изображённой на рисунке 2, вычисление сведётся к нахождению частного случая, то есть 1!, после чего по очереди будут возвращаться значения каждому рекурсивному вызову. Последний рекурсивный вызов вернёт значение 5!. Переделаем программу нахождения факториала так, чтобы получить таблицу факториалов. Для этого объявим цикл for , в котором будем вызывать рекурсивную функцию. // код Code::Blocks // код Dev-C++ // fibonacci.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include // код Code::Blocks // код Dev-C++ // hanoi_tower.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
// Программа, рекурсивно решающая задачу "Ханойская башня"
#include На рисунке 5 показан пример работы рекурсивной программы Ханойская башня. Сначала мы ввели количество дисков равное трём, потом ввели базовый стержень (первый), и обозначили конечный стержень (третий). Автоматически второй стержень стал вспомогательным. Программа выдала такой результат, что он полностью совпадает с анимационным решением данной задачи. Enter of numbers of disks: 3
Enter the number of basic rod: 1
Enter the number of final rod: 3
1) 1 -> 3
2) 1 -> 2
3) 3 -> 2
4) 1 -> 3
5) 2 -> 1
6) 2 -> 3
7) 1 -> 3 Рисунок 5 — Рекурсия в С++ Из рисунка видно, что сначала перемещается диск со стержня один на стержень три, потом со стержня один на стержень два, со стержня три на стержень
два и т. д. То есть программа всего лишь выдает последовательность перемещений дисков и минимальное количество шагов, за которые будут перемещены все диски.
Все эти задачи можно было решить итеративно. Возникает вопрос: “Как лучше решать, итеративно или рекурсивно?”. Отвечаю: “Недостаток рекурсии в том, что она затрачивает значительно больше компьютерных ресурсов, нежели итерация. Это выражается в большой нагрузке, как на оперативную память, так и на процессор. Если очевидно решение той или иной задачи итеративным способом, то им и надо воспользоваться иначе, использовать рекурсию!” В зависимости от решаемой задачи сложность написания программ изменяется при использовании того или иного метода решения. Но чаще задача, решённая рекурсивным методом с точки зрения читабельности кода, куда понятнее и короче.
Hello N 2
…
Hello N 10
…
Hello N 1
…
Hello N 10
Hello N 10
…
Hello N 14. Рекуррентные соотношения. Рекурсия и итерация
5. Деревья
5.1. Основные определения. Способы изображения деревьев
а) Имеется один специальный узел, называемый корнем данного дерева.
б) Остальные узлы (исключая корень) содержатся в попарно непересекающихся подмножествах , каждое из которых в свою очередь является деревом. Деревья называются поддеревьями
данного дерева.
5.2. Прохождение деревьев
5.3. Представление дерева в памяти компьютера
6. Примеры рекурсивных алгоритмов
6.1. Рисование дерева
6.2. Ханойские башни
В процессе требуется, чтобы больший диск ни разу не оказывался над меньшим. Монахи в затруднении, в какой же последовательности стоит делать перекладывания? Требуется снабдить их софтом для расчета этой последовательности.
2) Перекладываем n
-й диск на оставшийся свободным штырь.
3) Перекладываем стопку из n
-1 диска, полученную в пункте (1) поверх n
-го диска.6.3. Синтаксический анализ арифметических выражений
7.3. Определение узла дерева по его номеру
Контрольные вопросы
Задачи
(б) внутри любой пары открывающая – соответствующая закрывающая скобка, скобки расставлены правильно.
Напишите рекурсивную программу генерации всех правильных скобочных структур длины 2n
.
(б) если две меньших структуры записать последовательно.
Литература
2. Н. Вирт. Алгоритмы и структуры данных.Энциклопедичный YouTube
Пример рекурсии
Можно тупо перемножать числа от 1 до N в цикле. А можно соорудить функцию factorial(n), которая будет содержать условие и вызов самой себя. Если n равно единице, то функция возвращает значение 1, иначе возвращает значение n, умноженное на factorial(n-1).
Зарисовка на PHPПрактические применения рекурсии
«К подбитому глазу веб-программированию» - без колебаний ответим мы. И тут же это обоснуем.Рекурсия в поисковых системах
Рекурсивный PageRank от Google
Исходя из технических причин, рекурсия все-таки величина конечная.
Прокомментировать эту статью:
